zrozumienie rozkładu tłuszczu ogonowego

w części 1 omawiamy, co to znaczy, że zmienna losowa ma rozkład „tłuszczu ogonowego”.

daleko? Gruby?

aby zrozumieć tłusty ogon, musimy odpowiedzieć na następujące dwa pytania.

1. Jak daleko jest daleko?
2. Jak tłuszcz to tłuszcz?

aby mówić o ogonie, musimy określić, jak daleko jest daleko, aby zdecydować, jak daleko od środka jest wystarczająco daleko, aby powiedzieć, że „ogon”. Innymi słowy, od czego zaczyna się ogon? To zależy! Niestety, nie ma jednej odpowiedzi.

rozważmy rozkład normalny. Zauważ, że są dwa ogony: prawy i lewy. Jeśli chcemy na przykład opisać „prawy” ogon rozkładu z jednego odchylenia standardowego od średniej, to zacieniona część odnosi się do prawego ogona rozkładu normalnego.

formalnie możemy opisać ogon w następujący sposób:

• prawy ogon : P (x> x)
• lewy ogon : P (X≤ – x)

dla dużej wartości „x”. Teraz znamy pojęcie „ogona”.

#For normal distribution with value 'x=a'
a=1
1-pnorm(a) #right tail
pnorm(-a) #left tail

czy każda dystrybucja ma ogon?

zastanów się nad równomiernym rozkładem . Ma ogon? Na tym blogu jest napisane, że nie każda dystrybucja ma ogon.

jeśli chcesz, aby „zachowanie ogona” opisywało charakterystykę pliku pdf, gdy ” x ” staje się duży, to ograniczone dystrybucje nie mają ogonów. Niemniej jednak niektóre cechy ogonów można określić ilościowo. W szczególności, używając limitów i asymptotycznych zachowań można zdefiniować pojęcie ciężkich ogonów. SAS blog

wyjaśnię poniżej (wykładniczo) ograniczony / nie Ograniczony rozkład. Przypomnij sobie o równomiernym rozkładzie, kiedy tam dotrzesz!

Dlaczego powinniśmy dbać o „ogonkową” część dystrybucji?

ogonowa część dystrybucji była głównym problemem zarządzania ryzykiem. Na przykład dwie najczęściej stosowane miary ryzyka dla podziału zysku lub straty to wartość zagrożona (VaR) i oczekiwany niedobór (es)

dlaczego strata nie powraca?

• strata jest dosłownie minus (-) powrót
• przyjmowanie granicy do ujemnej nieskończoności jest nieintuicyjne. Bierzemy więc ujemną wartość zwracaną, tzn. obracając rozkład na osi y.

po prostu zobacz, jak Ilość VaR i ES są powiązane z „ogonem”. Nie musisz rozumieć matematyki lub znaczenia za nimi.

” należy pamiętać, że poniższy wykres jest rozkład strat nie zwraca!”

pomyśl o podziale straty, l, równoważnie (ujemnego) zwrotu, na niektóre aktywa w danym okresie posiadania. Dla zrozumienia Zakładamy, że zmienna losowa strat na jutro podąża za rozkładem normalnym:

następnie możemy obliczyć VaR w następujący sposób:

W drugiej linii możemy łatwo sprawdzić, czy VaR jest tylko ilością związaną z grubym ogonem. Aby uzyskać więcej informacji na temat VaR, sprawdź ROZDZIAŁ DRUGI książki „Quantitative Risk Management :Concepts, Techniques and Tools” oraz notatkę z wykładu Erica zivota na jego stronie internetowej.

alpha = 0.95 #significant level
VaR.alpha = qnorm(alpha, mu, sigma)
VaR.alpha = mu + sigma*qnorm(alpha, 0, 1)

podobnie widzimy, że oczekiwany niedobór to ilość związana z ogonową częścią dystrybucji:

W czwartym wierszu mówi „ES to oczekiwana strata w górnym „ogonie” rozkładu strat. Podobnie jak VaR, w przypadku rozkładu normalnego wygodnie jest obliczyć ES teraz, gdy jest to tylko średnia obciętego rozkładu normalnego.

alpha = 0.95
q.alpha.z = qnorm(alpha)
ES.alpha = mu + sigma*(dnorm(q.alpha.z)/(1-alpha))

jeśli ktoś jest ciekawy, dlaczego dzielimy przez 1-α, jest to po prostu stała normalizująca (lub czynnik skalujący), aby upewnić się, że całkowanie obciętego rozkładu strat jest jednym, co jest wymogiem, aby był to rozkład prawdopodobieństwa.

Wracając do historii „ogona”, chciałem tylko podkreślić, że dystrybucje ogona są szeroko stosowane jako narzędzie do zarządzania ryzykiem.

jak tłuszcz to tłuszcz? Jak ciężkie jest ciężkie?

ponieważ dowiedzieliśmy się, co to jest „ogon” w dystrybucji i gdzie jest używany, teraz nadszedł czas, aby porozmawiać o części „tłuszczu”. Wszyscy wiemy, że rozkład normalny nie ma tłustego ogona. Zamiast tego nauczono nas używać rozkładu student-t i logować rozkład normalny podczas modelowania serii zwrotu finansowego, aby uwzględnić właściwość „fat-tail”. Ale musimy znać definicję grubego ogona. Niestety, nie ma uniwersalnej definicji pojęcia tłuszcz.

postaram się wyjaśnić grubego ogona w języku angielskim, grafie i matematyce. Mam nadzieję, że spodoba ci się przynajmniej jeden z trzech.

• rozkład o ciężkim ogonie ma ogony cięższe niż rozkład wykładniczy (Bryson, 1974)
• rozkład ma ciężki ogon, gdy część ogonowa rozpada się wolniej niż rozkład wykładniczy.

dlaczego warto?

wygodnie jest używać rozkładu wykładniczego jako odniesienia. Pdf rozkładu wykładniczego zbliża się do zera „wykładniczo” szybko. Oznacza to, że ogon pliku pdf wygląda (ale zachowuje się inaczej niż) rozkład wykładniczy.

w języku grafu,

pokażę Ci 4 różne wykresy, które pokazują, co dzieje się w skrajnym prawym ogonie zestawu różnych rozkładów, jak poniżej:

• rozkład wykładniczy (exp)
• rozkład mocy (PL)
• rozkład normalny (N)
• rozkład Log-rozkład normalny (LN)
• rozkład Student-t
• rozkład Cauchy 'ego
• rozkład Levy’ ego
• rozkład Weibulla

Nie będę wyjaśniał każdej z tych dystrybucji. Zamiast tego, po prostu cieszmy się wykresem tych rozkładów, aby poczuć, co dzieje się w części ogonowej. Pierwszy wykres pokazuje część całego wykresu, której „x” leży w

z rysunkiem 5 powyżej, nie możemy powiedzieć, jak zachowuje się ogon. Ale oto kilka rzeczy, o których warto wspomnieć

• dystrybucje normal, student-t i Cauchy ’ ego są dystrybucjami dwuogniskowymi. Wszystkie pozostałe są rozkładami o jednym ogonie
• dla PL(2.5) i PL(3.5), istnieje skrzyżowanie nad punktem w pobliżu x=1.7, co oznacza, że PL(2.5) mA grubszy ogon.

przyjrzyjmy się, jak to wygląda, gdy ” x ” leży w. Należy pamiętać, że wartości w osi y stają się znacznie mniejsze.

P: co widzisz na tym wykresie?

Odp: najbardziej górna linia miałaby najgrubszy ogon! (Ale nie do końca!!!) I zobaczysz dlaczego!

wcześniej przeanalizujmy ważne fakty z rysunku 6 powyżej.

• rozkład normalny i exp(2) są zbliżone do 0, gdy x=5. Zwłaszcza dla rozkładu normalnego, jego wartość pdf 5 odchylenie standardowe wynosi 0,000001486 (=pnorm (5)). Jest to około 8000 razy mniejsze od rozkładu Cauchy ’ ego. Innymi słowy, 5 zdarzeń sigma jest 8000 razy bardziej prawdopodobne w rozkładzie Cauchy ’ ego niż w rozkładzie normalnym.
• na rysunku 6 należy pamiętać, że rozkład exp(0.2) znajduje się znacznie powyżej rozkładu normalnego logarytmu i rozkładu prawa mocy. Proszę sprawdzić, jak się odwraca na poniższych wykresach po rozszerzeniu zakresu wartości „x”.

zobaczmy, jak to wygląda, gdy ” x ” leży w . Ponownie, należy pamiętać, że wartości w osi y stają się znacznie mniejsze.

• zauważ, że niebieska linia exp(0.2) szybko rozpada się podczas przekraczania dwóch pozostałych, które są PL(2.5) i Cauchy. To właśnie oznacza „rozpada się wolniej niż rozkład wykładniczy”
• zaskakujące jest to, co dzieje się w pobliżu ’ x ’ równego 100. Jego wartość pdf PL (1.5) wynosi 0.0005. Nic dziwnego, że pierwszy i drugi moment (średnia i wariancja) są nieskończone dla PL (1.5). Szczegółowe informacje na ten temat zostaną omówione w następnym dokumencie. Zostańcie z nami!

przybliżmy oś y, aby zobaczyć, jak zachowuje się w szczegółach!

• co zaskakujące, Niebieska linia exp(0,2) zmniejsza się, przecinając PL(3,5) i LN(0,1). Ponadto, możemy zobaczyć, że LN(0,1) rozpada się szybciej niż PL(3.5) teraz, gdy przecina PL(3.5) i przechodzi pod nim.
• PL (1.5), PL(2.5) i rozkładów Levy ’ ego nie są nawet wyświetlane na tym wykresie.

w języku matematyki,

rozkład grubego ogona jest podklasą rozkładu grubego ogona. Oznacza to, że chociaż każdy rozkład gruboogonowy jest ciężkoogonowy, odwrotność nie jest prawdziwa(np. Weibull). Według notatek z wykładów Jaya Taylora, odróżniał ciężkostrawność od tłustości w następujący sposób.

definicja ciężkiego ogona

• rozkład mówi się, że ma prawy ciężki ogon, jeśli ogony są” nie „wykładniczo ograniczone

możemy to zinterpretować jako, że gdy” x ” staje się Duży, prędkość wykładniczego wzrostu jest szybsza niż prędkość malejącego prawdopodobieństwa na ciężkim prawym ogonie. Zastanów się nad tym!

zobacz jak to się łączy z angielską definicją.

• funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, która rozpada się wolniej niż wykładnik, nazywa się prawym ciężkim ogonem.

kiedy?

jeśli ciężki prawy ogon nie jest wystarczająco ciężki, tzn. rozpada się bardzo szybko, gdy ” x ” idzie do nieskończoności, wtedy równanie 1 zbiega się do zera. Oczywistym przykładem jest równomierny rozkład, jak omówiliśmy powyżej. Gdy ” x ” przekroczy jedynkę, prawdopodobieństwo X większego od jedynki staje się zerowe, więc jest wykładniczo ograniczone. Innym popularnym przykładem jest rozkład normalny. Niech X będzie normą normalną. Narysuj serię wykresów dla różnych wartości lambda, aby uzyskać

widzimy, że zbiega się do zera, więc ogony rozkładu normalnego są wykładniczo ograniczone.

f_exp = function(x, lambda){return (exp(lambda*x))
cdf_normal = function(x) pnorm(x)
ccdf_normal = function(x) {1-cdf_normal(x)}xs = seq(1,10,length=10000)
plot(xs, f_exp(xs,0.1)*ccdf_normal(xs), type='l', xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2)
abline(v=1, lty = 'dashed')
lines(xs,f_exp(xs,0.5)*ccdf_normal(xs), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1)*ccdf_normal(xs), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1.5)*ccdf_normal(xs), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2)*ccdf_normal(xs), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,3)*ccdf_normal(xs), col='darkblue', lwd=2)
grid()
legend(8, 0.15, 
legend=c("0.1", "0.5","1","1.5","2","3"), title = "lambda",
col=c("blue",'purple', "red",'orange','darkred','darkblue'), lwd=2, cex=1)

definicja ogona tłustego

• mówi się, że rozkład ma prawy ogon tłustego, jeśli istnieje dodatni wykładnik (Alfa) zwany indeksem ogona, taki, że

„~”oznacza to samo do stałej. Lub część ogonowa jest proporcjonalna do prawa mocy. Dokładnie, oznacza to, co następuje.

zapraszam do pominięcia, jeśli matematyka jest dla Ciebie „ciężka / Gruba”.

W związku z tym część ogonowa rozkładów tłuszczowych podlega prawu mocy (które jest ” x ” do potęgi minus Alfa). Dla tych, którzy nie są zaznajomieni z prawem władzy, nie martw się teraz. Pomyśl o wykresie, gdy alfa równa się dwa.

przypomnij sobie, że część ogonowa wygląda podobnie do prawa mocy, jak widzieliśmy na rysunkach 5-8 powyżej. Dokładniej wyjaśnię prawo władzy z tej serii.

podsumowanie

W tym dokumencie omówiliśmy pojęcie „tłustego ogona” intuicyjnie, graficznie i matematycznie. Aby zrozumieć „hartowany stabilny rozkład”, konieczne jest fundamentalne zrozumienie ogona tłuszczowego. Mam nadzieję, że ten dokument był pomocny, aby poprawić zrozumienie. Proszę skomentować poniżej, jeśli masz jakiekolwiek pytania. Mam nadzieję, że jesteście ciekawi, co będzie dalej. Następnym razem wrócę z „Journey to Tempered Stable Distribution”

f_exp = function(x, lambda, xmin) {lambda*exp(-lambda*(x-xmin))}
f_power = function (x, k, x_min) {
C = (k-1)*x_min^(k-1)
return (C*x^(-k))
}
f_cauchy = function(x) dcauchy(x)
f_levy = function(x) dlevy(x) # required package: 'rmulti'
f_weibul = function(x) dweibull(x,shape=1)
f_norm = function(x) dnorm(x)
f_lnorm = function(x) dlnorm(x)
f_t = function(x) dt(x,5)
xs = seq(0.1,100,length=1000)plot(xs, f_exp(xs,0.5,0.1),type='l',xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2,
main='Distributions on ', cex.main=1,
xlim=c(0,5),
ylim=c(0,2.5))
lines(xs,f_exp(xs,1,0.1), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2,0.1), col='bisque3', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,1.5, 1), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,2.5, 1), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,3.5, 1), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_norm(xs),col='black', lwd=2)
lines(xs,f_lnorm(xs), col='darkgreen', lwd=2)
lines(xs,f_t(xs), col='deeppink', lwd=2)
lines(xs, f_cauchy(xs), col='darkblue', lwd=2)
lines(xs, f_levy(xs), col='azure4', lwd=2)
lines(xs, f_weibul(xs), col='springgreen', lwd=2)
abline(v=2, lty = 'dashed')
abline(v=3, lty = 'dashed')
grid()
legend(3.5, 2.5, 
legend=c("exp(0.2)", "exp(1)", 'exp(2)', "PL(1.5)", 'PL(2.5)', 'PL(3.5)', 'N(0,1)','LN(0,1)','student-t(5)','Cauchy','Levy','Weibull'),
col=c("blue",'purple', 'bisque3',"red",'orange','darkred', 'black','darkgreen','deeppink','darkblue', 'azure4','springgreen'), lwd=2, cex=0.8)

Jay Taylor, Heavy-tailed distribution (2013), notatki z wykładów,

Eric Zivot, środki ryzyka (2013), notatki z wykładów

Aaron Clauset, wnioskowanie, modele i symulacje dla złożonych systemów (2011), notatki z wykładów

https://blogs.sas.com/content/iml/2014/10/13/fat-tailed-and-long-tailed-distributions.html