Ergodicidade

Ergodicidade ocorre em grandes configurações em física e matemática. Todas estas configurações são unificadas por uma descrição matemática comum, a do sistema dinâmico de conservação de medidas. Uma descrição informal disto, e uma definição de ergodicidade em relação a ele, é dada imediatamente abaixo. Isto é seguido por uma descrição da ergodicidade em processos estocásticos. Eles são um e o mesmo, apesar de usar notação e linguagem dramaticamente diferentes. A review of ergodicity in physics, and in geometry follows. Em todos os casos, a noção de ergodicidade é exatamente a mesma que para os sistemas dinâmicos; não há diferença, exceto para o outlook, Notação, estilo de pensar e as revistas onde os resultados são publicados.

Measure-preserving dynamical systemsEdit

The mathematical definition of ergodicity aims to capture ordinary every-day ideas about randomness. Isso inclui idéias sobre sistemas que se movem de tal forma que (eventualmente) preencher todo o espaço, tais como a difusão e o movimento Browniano, bem como noções do senso comum, de mistura, tais como a mistura de tintas, bebidas, ingredientes de cozinha, processo industrial, mistura de fumaça em um cheio de fumo quarto, a poeira dos anéis de Saturno, e assim por diante. Para fornecer uma base matemática sólida, descrições de sistemas ergódicos começam com a definição de um sistema dinâmico de preservação de medidas. Isto é escrito como (X, A, μ, T). {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}

o conjunto X {\displaystyle X}

é o espaço total a preencher: a taça Misturadora, a sala cheia de fumo, etc. A medida µ {\displaystyle \mu }

entende-se por definir o volume natural do espaço X {\displaystyle X}

e de sua subspaces. A coleção de subspaces é indicado por Um {\displaystyle {\mathcal {Um}}}

, e o tamanho de qualquer subconjunto A ⊂ X {\displaystyle Um\subconjunto X}

é μ ( Uma ) {\displaystyle \mu (Um)}

; o tamanho é o seu volume. Ingenuamente, poderíamos imaginar Um {\displaystyle {\mathcal {Um}}}

para ser o conjunto de potência de X {\displaystyle X}

; isso não funciona muito bem, como nem todos os subconjuntos de um espaço que tem um volume (famosa, a de Banach-Tarski paradoxo). Assim, convencionalmente, um {\displaystyle {\mathcal {A}}}

consiste nos subconjuntos mensuráveis-os subconjuntos que têm um volume. É sempre tomado como um conjunto Borel – a coleção de subconjuntos que podem ser construídos tomando interseções, uniões e conjuntos complementos; estes podem sempre ser tomados para serem mensuráveis.

a evolução temporal do sistema é descrita por um mapa T: X → X {\displaystyle T:X\to X}

. Dado um subconjunto A ⊂ X {\displaystyle Um\subconjunto X}

, o seu mapa de T ( A ) {\displaystyle T(A)}

vai, em geral, ser uma versão deformada de Uma {\displaystyle A}

– é achatada ou esticada, dobrado ou cortado em pedaços. Exemplos matemáticos incluem o mapa do padeiro e o mapa da Ferradura, ambos inspirados na panificação. O conjunto T (a) {\displaystyle T (A)}

deve ter o mesmo volume que um {\displaystyle A}

; o esmagamento / alongamento não altera o volume do espaço, apenas a sua distribuição. Tal sistema é “preservador de medida” (preservador de área, preservador de volume).

uma dificuldade formal surge quando se tenta conciliar o volume de conjuntos com a necessidade de preservar o seu tamanho sob um mapa. O problema surge porque, em geral, vários pontos diferentes no domínio de uma função podem mapear para o mesmo ponto em sua gama; que é, não pode ser x ≠ y {\displaystyle x\neq y}

com T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T(y)}

. Pior, um único ponto x ∈ X {\displaystyle x\in X}

não tem tamanho. Estas dificuldades podem ser evitadas por trabalhar com o inverso do mapa T − 1 : A → A {\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {Um}}}

; ele vai mapa de qualquer subconjunto A ⊂ X {\displaystyle Um\subconjunto X}

para as peças que estavam reunidos para fazer isso: estas peças são T − 1 ( A ) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\em {\mathcal {Um}}}

. Tem a propriedade importante de não perder a noção de onde as coisas vieram. Mais fortemente, ele tem a importante propriedade de que qualquer medida de preservação do mapa A → A {\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {Um}}}

é o inverso de algumas mapa X → X {\displaystyle X\X}

. A correta definição de um volume de preservação do mapa é aquele para o qual m ( A ) = µ ( T − 1 ( Um ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(Um))}

porque T − 1 ( Uma ) {\displaystyle T^{-1}(Um)}

descreve todas as peças-peças de que Um {\displaystyle A}

veio.

um está agora interessado em estudar a evolução do tempo do sistema. Se um conjunto A ∈ A {\displaystyle Uma\no {\mathcal {Um}}}

, eventualmente, vem encher todos de X {\displaystyle X}

durante um longo período de tempo (isto é, se T n ) {\displaystyle T^{n}(Um)}

abordagens todos X {\displaystyle X}

para n grande {\displaystyle n}

), o sistema é dito ser ergódica. Se cada Um {\displaystyle A}

comporta-se dessa forma, o sistema é um sistema conservador, colocados em contraste a um dissipador de sistema, onde alguns subconjuntos De {\displaystyle A}

afastar-se, para nunca mais ser devolvido. Um exemplo seria a água a correr pela encosta abaixo — uma vez que ela desce, ela nunca mais voltará a subir. O lago que se forma no fundo deste rio pode, no entanto, tornar-se bem misturado. O teorema da decomposição ergódica afirma que todo sistema ergódico pode ser dividido em duas partes: a parte conservadora e a parte dissipativa. A mistura é uma afirmação mais forte do que a ergodicidade. A mistura pede ergódica propriedade para conter entre quaisquer dois conjuntos A , B {\displaystyle A,B}

, e não apenas entre alguns definir Uma {\displaystyle A}

e X {\displaystyle X}

. Isto é, dado dois conjuntos A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}

, um sistema é dito ser (topologicamente) da mistura se existe um inteiro N {\displaystyle N}

tal que, para todo A , B {\displaystyle Um,B}

e n > N {\displaystyle n>N}

, tem-se que T n ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }

. Aqui, ∩ {\displaystyle \cap }

denota o conjunto interseção e ∅ {\displaystyle \varnothing }

é o conjunto vazio. Outras noções de mistura incluem mistura forte e fraca, que descrevem a noção de que as substâncias misturadas se misturam em todos os lugares, em proporção igual. Isto pode não ser trivial, como mostra a experiência prática de tentar misturar substâncias pegajosas e pegajosas.

processos Ergódicos edit

a discussão acima apela a um sentido físico de um volume. O volume não tem que ser literalmente uma parte do espaço 3D; pode ser um volume abstracto. Este é geralmente o caso em sistemas estatísticos, onde o volume (a medida) é dado pela probabilidade. O volume total corresponde à probabilidade um. Esta correspondência funciona porque os axiomas da teoria da probabilidade são idênticos aos da teoria da medida; estes são os axiomas de Kolmogorov.

a ideia de um volume pode ser muito abstrata. Considere, por exemplo, o conjunto de todos os possíveis lançamentos de moedas: o conjunto de sequências infinitas de cabeças e caudas. Atribuindo o volume de 1 a este espaço, é claro que metade de todas essas sequências começam com cabeças, e a metade começa com caudas. Pode-se seccionam este volume de outras maneiras: pode-se dizer “eu não me importo com o primeiro n − 1 {\displaystyle n-1}

coin-flips; mas eu quero que o n {\displaystyle n}

‘º de cabeças, e então eu não me importo sobre o que vem depois”. Isto pode ser escrito como o conjunto de ( ∗ , ⋯ , ∗ , h , ∗ , ⋯ ) {\displaystyle (*,\cdots ,*,h*,\cdots )}

onde ∗ {\displaystyle *}

é “don’t care” h {\displaystyle h}

é “chefes”. O volume deste espaço é outra vez (obviamente!) metade.

o acima é suficiente para construir um sistema dinâmico de medida, em sua totalidade. Os conjuntos de h {\displaystyle h}

ou t {\displaystyle t}

em ocorrendo a n {\displaystyle n}

‘º lugar, são chamados de cilindro de conjuntos. O conjunto de todas as intersecções possíveis, uniões e complementos dos conjuntos de cilindros então formam o conjunto Borel a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

acima definido. Em termos formais, os conjuntos de cilindros formam a base para uma topologia no espaço X {\displaystyle X}

de todos os possíveis flips de moedas de comprimento infinito. A medida µ {\displaystyle \mu }

tem todos o senso comum de propriedades esperamos para: a medida de um cilindro em conjunto com h {\displaystyle h}

no m {\displaystyle m}

‘ª posição, e t {\displaystyle t}

no k {\displaystyle k}

‘th posição é, obviamente, 1/4, e assim por diante. Estas propriedades de bom senso persistem para set-complement e set-union: tudo, exceto para a h {\displaystyle h}

e t {\displaystyle t}

em locais de m {\displaystyle m}

e k {\displaystyle k}

tem, obviamente, o volume de 3/4. Todos juntos, estes formam os axiomas de uma medida Sigma-aditiva; sistemas dinâmicos de medida sempre usam medidas sigma-aditiva. Para os lançamentos de moedas, esta medida é chamada de medida Bernoulli.

para o processo moeda-flip, o operador de evolução temporal t {\displaystyle T}

é o operador de mudança que diz “jogue fora a primeira moeda-flip, e mantenha o resto”. Formalmente, se ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

é uma seqüência de coin-flips, então T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. A medida é obviamente invariante por turnos: enquanto estamos a falar de um conjunto A ∈ A {\displaystyle Uma\no {\mathcal {A}}}

onde o primeiro coin-flip x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}

é o “não me importo” valor, em seguida, o volume μ ( Uma ) {\displaystyle \mu (Um)}

não muda: µ ( A ) = µ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T(Um))}

. A fim de evitar falar sobre o primeiro coin-flip, é mais fácil definir o T − 1 {\displaystyle T^{-1}}

como a inserção de um “don’t care” valor na primeira posição: T − 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}

. Com esta definição, se, obviamente, tem-se que µ ( T − 1 ( A ) ) = µ ( A ) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (Um)}

sem restrições em Uma {\displaystyle Um}

. Este é mais uma vez um exemplo de porque T – 1 {\displaystyle T^{-1}}

é usado nas definições formais.

o desenvolvimento acima toma um processo aleatório, O processo de Bernoulli , e converte-o em um sistema dinâmico preservador de medidas ( X , A , μ, T ) . {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}

a mesma conversão (equivalência, isomorfismo) pode ser aplicada a qualquer processo estocástico. Assim, uma definição informal de ergodicidade é que uma sequência é ergódica se ela visita todos OS X {\displaystyle X}

; tais sequências são “típicas” para o processo. Outro é o de que suas propriedades estatísticas podem ser deduzidos a partir de um único, suficientemente longo, amostra aleatória do processo (assim uniformemente amostragem todos X {\displaystyle X}

), ou que qualquer coleta de amostras aleatórias de um processo deve representar a média propriedades estatísticas de todo o processo (que é, amostras retiradas de maneira uniforme a partir de X {\displaystyle X}

são representativos de X {\displaystyle X}

como um todo. No presente exemplo, uma sequência de flipes de Moedas, onde metade são cabeças, e a outra metade são caudas, é uma sequência “típica”.

há vários pontos importantes a serem feitos sobre o processo de Bernoulli. Se se escreve 0 para caudas e 1 Para cabeças, obtém-se o conjunto de todas as cadeias infinitas de dígitos binários. Estes correspondem à expansão base-dois dos números reais. Explicitamente, dada uma seqüência ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

, o correspondente número real é y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

A afirmação de que o processo de Bernoulli é ergódica é equivalente à afirmação de que os números reais são distribuídas de maneira uniforme. O conjunto de todas essas cadeias de caracteres pode ser escrito de várias maneiras: { h, t } ∞ = { h, t } ω = {0, 1 } ω = 2 ω = 2 n. {\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}

Este conjunto é o conjunto de Cantor, às vezes chamado de Cantor espaço para evitar confusão com o Cantor função C ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

No final, todas estas coisas são “a mesma coisa”.

o conjunto de Cantor desempenha papéis-chave em muitos ramos da matemática. Em matemática recreativa, ela sustenta o período de duplicação fractais; em análise, ela aparece em uma grande variedade de teoremas. Uma chave para os processos estocásticos é a decomposição em Wold, que afirma que qualquer processo estacionário pode ser decomposto em um par de processos não correlacionados, um determinístico, e o outro sendo um processo de média móvel.

The Ornstein isomorphism theorem states that every stationary stochastic process is equivalent to a Bernoulli scheme (a Bernoulli process with an n-sided (and possibly unfair) gaming die). Outros resultados incluem que todo sistema ergódico não-dissipativo é equivalente ao odômetro Markov, às vezes chamado de “máquina de adição”, porque parece uma adição de escola primária, ou seja, tomando uma sequência de dígitos base-N, adicionando um, e propagando os bits carry. A prova de equivalência é muito abstrata; compreender o resultado não é: adicionando um em cada passo de tempo, cada Estado possível do odômetro é visitado, até que ele role, e começa novamente. Da mesma forma, os sistemas ergódicos visitam cada Estado, uniformemente, passando para o próximo, até que todos tenham sido visitados.

sistemas que geram sequências (infinitas) de letras N são estudados por meio de dinâmicas simbólicas. Casos especiais importantes incluem sub-shifts de tipo finito e sistemas soficos.Os sistemas físicos podem ser divididos em três categorias: mecânica clássica, que descreve máquinas com um número finito de partes móveis, mecânica quântica, que descreve a estrutura dos átomos, e mecânica estatística, que descreve gases, líquidos, sólidos; isto inclui física da matéria condensada. O caso da mecânica clássica é discutido na próxima seção, sobre ergodicidade em Geometria. Quanto à mecânica quântica, embora haja uma concepção do Caos quântico, não há uma definição clara de ergodocidade; o que pode ser é muito debatido. Esta seção analisa a ergodicidade na mecânica estatística.

a definição abstrata acima de um volume é necessária como o cenário apropriado para definições de ergodicidade na física. Considere um recipiente de líquido, ou gás, ou plasma, ou outra coleção de átomos ou partículas. Cada partícula x i {\displaystyle x_{i}}

tem uma posição 3D, e uma velocidade 3D, e é assim descrito por seis números: um ponto no espaço tridimensional R 6 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.

Se existem N {\displaystyle N}

dessas partículas no sistema, uma descrição completa requer 6 N {\displaystyle 6N}

números. Qualquer sistema é apenas um ponto em R 6 n. {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.

sistema físico não é tudo de R 6 N {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}

, é claro; se é uma caixa de largura, altura e comprimento W × H × L {\displaystyle W\times H\times L}

, em seguida, um ponto é ( W × H × L × R 3 ) N . {\displaystyle (W\vezes H\vezes L\vezes \mathbb {R} ^{3})^{n}.}

{\displaystyle (W\vezes H\vezes L\vezes \mathbb {R} ^{3})^{n}.As velocidades não podem ser infinitas: eles são escalados por alguma medida de probabilidade, por exemplo a medida Boltzmann–Gibbs para um gás. Nenhum-o-menos, para n {\displaystyle N}

perto do número de Avogadro, este é obviamente um espaço muito grande. Este espaço é chamado de conjunto canônico. Um sistema físico é considerado ergódico se algum ponto representativo do sistema vier a visitar todo o volume do sistema. Para o exemplo acima, isso significa que qualquer dado átomo não apenas as visitas a cada parte da caixa W × H × L {\displaystyle W\times H\times L}

com uniforme de probabilidade, mas fá-lo com toda a velocidade, com probabilidade dada pela distribuição de Boltzmann para que a velocidade (de modo uniforme com relação a essa medida). A hipótese ergódica afirma que os sistemas físicos são ergódicos. Múltiplas escalas de tempo estão no trabalho: gases e líquidos parecem ser ergódicos em escalas de tempo curtas. Ergodicidade em um sólido pode ser visto em termos dos modos vibracionais ou fonons, como obviamente os átomos em um sólido não trocam locais. Os óculos representam um desafio para a hipótese ergódica; as escalas de tempo são supostas estar nos milhões de anos, mas os resultados são controversos. Os óculos de Spin apresentam dificuldades particulares. As provas matemáticas formais de ergodicidade na física estatística são difíceis de obter; a maioria dos sistemas de corpo de muitas dimensões são considerados ergódicos, sem prova matemática. Exceções incluem os Bilhares dinâmicos, que modelam colisões Tipo Bola de bilhar de átomos em um gás ideal ou plasma. O primeiro teorema da ergodicidade de esfera dura foi para os Bilhares de Sinai, que considera duas bolas, uma delas tomada como sendo estacionária, na origem. À medida que a segunda bola colide, ela se afasta; aplicando condições de contorno periódicas, ela retorna para colidir novamente. Por apelo à homogeneidade, este retorno da bola “segunda” pode ser tomado como “apenas outro átomo” que entrou em alcance, e está se movendo para colidir com o átomo na origem (que pode ser tomado como apenas “qualquer outro átomo”.) Esta é uma das poucas provas formais que existem; não há declarações equivalentes, por exemplo, para átomos em um líquido, interagindo através de forças de van der Waals, mesmo que fosse senso comum acreditar que tais sistemas são ergódicos (e mistura). No entanto, podem ser apresentados argumentos físicos mais precisos.Ergodicidade em geometryEdit

Ergodicidade é um fenômeno de grande difusão no estudo de variedades Riemanianas. Uma sequência rápida de exemplos, de simples a complicado, ilustra este ponto. Todos os sistemas mencionados abaixo provaram ser ergódicos através de provas formais rigorosas. A rotação irracional de um círculo é ergódica: a órbita de um ponto é tal que, eventualmente, cada outro ponto do círculo é visitado. Tais rotações são um caso especial do mapa de troca de intervalos. As expansões beta de um número São ergódicas: as expansões beta de um número real não são feitas em base-N, mas em base-β {\displaystyle \beta }

para alguns β . beta.

a versão refletida da expansão beta é o mapa da tenda; há uma variedade de outros mapas ergódicos do intervalo da unidade. Movendo-se para duas dimensões, Os Bilhares aritméticos com ângulos irracionais são ergódicos. Pode-se também pegar um retângulo plano, esmagá-lo, cortá-lo e remontá-lo; este é o mapa de baker anteriormente mencionado. Seus pontos podem ser descritos pelo conjunto de cadeias bi-infinitas em duas letras, ou seja, estendendo-se tanto para a esquerda quanto para a direita; como tal, parecem duas cópias do processo de Bernoulli. Se alguém se deforma de lado durante o esmagamento, obtém-se o mapa do Gato Do Arnold. Na maioria das maneiras, o mapa do gato é prototípico de qualquer outra transformação similar.

para superfícies não planas, tem-se que o fluxo Geodésico de qualquer superfície de Riemann compacta curva negativa é ergódico. Uma superfície é “compacta” no sentido de que tem área de superfície finita. O fluxo geodésico é uma generalização da idéia de se mover em uma “linha reta” em uma superfície curva: tais linhas retas são geodésicas. Um dos primeiros casos estudados é o bilhar de Hadamard, que descreve a geodesia na superfície de Bolza, topologicamente equivalente a um donut com dois buracos. Ergodicidade pode ser demonstrada informalmente, se alguém tem um sharpie e algum exemplo razoável de um donut de dois holdos: começando em qualquer lugar, em qualquer direção, uma tentativa de desenhar uma linha reta; governantes são úteis para isso. Não leva muito tempo para descobrir que não estamos voltando ao ponto de partida. (Claro, Desenho torto também pode explicar isso; é por isso que temos provas.)

estes resultados estendem-se a dimensões mais elevadas. O fluxo geodésico para coletores compactos riemannianos curvados negativamente é ergódico. Um exemplo clássico para isso é o fluxo Anosov, que é o fluxo horociclo em uma variedade hiperbólica. Isto pode ser visto como uma espécie de fibração Hopf. Tais fluxos ocorrem comumente na mecânica clássica, que é o estudo em física de Máquinas Móveis de dimensão finita, e.g. o pêndulo duplo e assim por diante. A mecânica clássica é construída sobre variedades simpléticas. Os fluxos em tais sistemas podem ser desconstruídos em variedades estáveis e instáveis; como regra geral, quando isso é possível, os resultados de movimentos caóticos. Que isto é genérico pode ser visto observando que o feixe cotangente de uma variedade Riemaniana é (sempre) uma variedade simplética; o fluxo geodésico é dado por uma solução para as equações de Hamilton–Jacobi para esta variedade. Em termos de canónico coordenadas ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}

sobre a co-tangente do distribuidor, o Hamiltoniano ou de energia é dada por H = 1 2 ∑ i j g i j ( q ) p i, p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}

com o g i j {\displaystyle g^{ij}}

a (ou o inverso do tensor mī etrico e p i {\displaystyle p_{i}}

o momento. A semelhança com a energia cinética E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

de um ponto de partículas é quase acidental; esse é todo o ponto de chamar a essas coisas “energia”. Neste sentido, o comportamento caótico com órbitas ergódicas é um fenômeno mais ou menos genérico em grandes extensões da geometria. Foram fornecidos resultados de Ergodicidade em superfícies de tradução, grupos hiperbólicos e geometria sistólica. As técnicas incluem o estudo dos fluxos ergódicos, a decomposição Hopf, e o teorema de Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. Uma classe importante de sistemas é o axioma a sistemas.

uma série de resultados tanto de classificação como de “anti-classificação” foram obtidos. O teorema do isomorfismo de Ornstein também se aplica aqui; novamente, afirma que a maioria destes sistemas são isomórficos a algum esquema de Bernoulli. Isto liga muito bem estes sistemas de volta à definição de ergodicidade dada para um processo estocástico, na seção anterior. Os resultados da classificação anti-classificam que há mais do que um número infinito contável de sistemas ergódicos de medida não equivalentes-preservando sistemas dinâmicos. Isto talvez não seja inteiramente uma surpresa, pois pode-se usar pontos no conjunto do Cantor para construir sistemas semelhantes, mas diferentes. Ver medida-preservando sistema dinâmico para um breve levantamento de alguns dos resultados Anti-classificação.

desenvolvimento histórico

a ideia de ergodicidade nasceu no campo da termodinâmica, onde era necessário relacionar os estados individuais das moléculas de gás com a temperatura de um gás como um todo e sua evolução temporal. Para fazer isso, era necessário dizer exatamente o que significa para que os gases se misturassem bem, de modo que o equilíbrio termodinâmico pudesse ser definido com rigor matemático. Uma vez que a teoria foi bem desenvolvida na física, ela foi rapidamente formalizada e estendida, de modo que a teoria ergódica tem sido uma área independente da matemática em si. Como parte dessa progressão, coexistem mais de uma definição ligeiramente diferente de ergodicidade e multidões de interpretações do conceito em diferentes campos.Por exemplo, na física clássica o termo implica que um sistema satisfaz a hipótese ergódica da termodinâmica, sendo o espaço de estado relevante o espaço de posição e momento. Na teoria dos sistemas dinâmicos, o espaço de Estado é geralmente considerado um espaço de fase mais geral. Por outro lado, na teoria da codificação, o espaço de Estado é frequentemente discreto tanto no tempo como no estado, com uma estrutura menos concomitante. Em todos esses campos, as ideias de média de tempo e média de conjunto também podem levar bagagem extra—como é o caso com as muitas possíveis funções termodinamicamente relevantes de partição usadas para definir médias de conjunto em física, novamente. Como tal, a formalização teórica da medida do conceito também serve como uma disciplina unificadora.

EtymologyEdit

O termo ergódica é comumente pensado para derivar das palavras gregas ἔργον (ergon: “trabalho”) e ὁδός (hodos: “caminho”, “forma”), escolhidos por Ludwig Boltzmann, enquanto ele estava trabalhando em um problema de mecânica estatística. Ao mesmo tempo, também se afirma ser uma derivação de ergomonodo, cunhada por Boltzmann em um artigo relativamente obscuro de 1884. A etimologia também parece ser contestada de outras formas.