5.1 Introduction
Fluid mechanics in general and boundary layers in particular are mathematically complex. Tal complexidade às vezes não só avança o estudo e a compreensão dos fluidos, mas também avança a disciplina matemática aplicada. A matemática continua a permitir que conclusões muito necessárias sejam retiradas de várias disciplinas. Para este fim, numerosos matemáticos continuam a fazer contribuições significativas para a disciplina da dinâmica dos fluidos.Problemas de camada limite envolvem uma rápida mudança no valor de uma variável física sobre uma região limitada de espaço, e eles constituem uma classe particular de problemas de perturbação singular. A este respeito, quase todos os problemas da camada limite envolvem equações diferenciais em que o termo derivado mais alto é multiplicado por um pequeno parâmetro. Além disso, a camada limite é sempre considerada como semiinfinita, a principal razão é a liberdade de ter que considerar os efeitos limite finais onde todos os imponderáveis e imagináveis podem ser esperados. Considerar uma superfície infinita pode ser tão difícil de distrair do principal interesse da investigação em primeira instância. Dito isto, não há nada que proíba a geração mais jovem de pesquisadores de enfrentar este problema, considerando sua vantagem de exposição a um corpo de conhecimento relativamente maior do que as gerações anteriores.
Hidro – or fluid dynamics is governed by nonlinear partial differential equations( PDEs), which are very difficult to solve analytically. Tanto quanto sabemos, não existe uma solução geral de forma fechada para estas equações. As equações que regem a camada limite são principalmente baseadas em uma simplificação do sistema das equações diferenciais parciais de segunda ordem (PDEs), que são conhecidas como equações de movimento de Navier-Stokes (NS) para fluxos viscosos. A simplificação oferecida por Prandtl em 1908 é geralmente referida como equações de camada limite de Prandtl (PBL). Ao contrário das equações NS, que são elípticas, as equações de camada limite são parabólicas na natureza, e as técnicas usadas para resolvê-las são baseadas nas leis de similaridade nos fluxos de camada limite.
três métodos primários podem ser usados para resolver problemas de camada limite: o método de similaridade ou diferencial (abordagem mais comum), o método integral e o método de solução numérica completa . Muitos casos especiais de PDEs não-lineares levaram a mudanças apropriadas em variáveis ou transformações de alongamento, dependendo da tarefa que eles estão destinados a realizar. Algumas transformações linearizam o sistema de equações em consideração, enquanto outras transformam o sistema para um para o qual existe uma solução. As transformações que reduzem um sistema de PDEs a um sistema de equações diferenciais ordinárias (ODEs) explorando uma simetria inerente do problema são muitas vezes consideradas como “transformações de similaridade”. O método de similaridade é o método Blasius original que foi desenvolvido para resolver problemas de camada limite analiticamente. Blasius introduziu e empregou uma variável independente chamada variável de similaridade às equações de camada limite de Prandtl . Isto foi baseado na premissa de que a velocidade é geometricamente similar ao longo da direção do fluxo, onde PDEs de conservação são convertidos em ODEs. A transformação de similaridade captura o crescimento da camada limite e simplifica significativamente a análise e a solução das equações governantes. A descoberta de uma variável de similaridade que é adequada para a transformação a ocorrer é uma arte ao invés de uma ciência, e requer ter bons insights sobre o problema. Os números de variáveis independentes nos PDEs são cuidadosamente convertidos em uma única variável independente (conhecida como a variável similaridade). As condições iniciais de contorno originais também são igualmente transformadas em condições de contorno adequadas na nova variável combinada.
a técnica de transformação de similaridade é uma ferramenta indispensável para a análise do comportamento mecânico fluido em geral e especialmente processos de camada limite. As técnicas assintóticas nos permitem fazer simples um sistema complexo, que então fornece uma forma iluminada de empirismo a que nos referimos como similaridade. Vários métodos e abordagens foram desenvolvidos para encontrar variáveis de similaridade, por exemplo, o teorema de Vaschy–Buckingham Pi . A abordagem mais rigorosa e sistemática de encontrar variáveis de similaridade é baseada no grupo de Lie de transformações . A premissa da abordagem Lie-group é que cada variável na equação inicial é submetida a uma transformação infinitesimal. A demanda de que a equação é invariante sob estas transformações leva à determinação do potencial ou possíveis simetrias. This approach has been rotinely applied to boundary layer equations. Apropos boundary layer theory, the authors of provided a comprehensive account of classical methods, including several possible outcomes depending on the perspective of the problem to be solved. O método direto Clarkson-Krustal, que é usado para encontrar reduções de similaridade, foi empregado em equações de camada limite instável. É importante notar que a variável de similaridade encontrada não é única ou peculiar a um único problema; ela pode ser aplicada a outros problemas semelhantes sempre que apropriado. Além disso, Hansen discutiu o método “stretching variable” usado para encontrar transformações de similaridade. Em geral, os problemas de similaridade reduzem as equações de PBL originais a uma forma que é invariante no que diz respeito às transformações afinadas. O campo de fluxo local é então resolvido através de soluções analíticas/numéricas dos PDEs que governam a camada limite. Caracteristicamente, os perfis de velocidade dos fluxos da camada limite rendem um conjunto de curvas homotéticas e gráficos. Porque são tipicamente homotéticos? Em relação ao perfil de velocidade, por exemplo, normalizamos por uu∞ e isso tende ou se aproxima da unidade. Similarmente, em relação ao perfil de temperatura, normalizamos pela temperatura de freestream, ou T−T∞, e isso tende a ou se aproxima de zero. Métodos integrais, em outro aspecto, produzem soluções em forma fechada, assumindo um perfil de transferência de velocidade, temperatura e massa de concentração. Envolve a integração das equações da parede para o fluxo livre, gerando assim um desempenho global que inclui o crescimento da camada limite. Finalmente, o método numérico completo usa esquemas numéricos bem provados e códigos práticos de simulação com computadores de alta velocidade para resolver vários problemas de camada limite.
deve-se notar que alguns estudos na literatura discutem seus resultados como soluções exatas. É importante que haja prudência a este respeito. Geralmente, quando falamos de “soluções exatas” de equações fundamentais, como as equações NS, e estas podem ser as equações NS completas ou qualquer uma de suas formas aproximadas, desde que as soluções obtidas por qualquer técnica sejam realmente tão exatas quanto elas vêm, ou seja, não há melhor solução encontrada. A exatidão refere-se à solução da própria equação. Se a equação em questão tem sido uma aproximação de uma equação mais robusta, então a reivindicação da exatidão da solução deve ser apenas para a solução aproximada.