ao usar Símbolos matemáticos para descrever a função zeta de Riemann, ela é representada como uma série infinita:
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 N S , R E ( S ) > 1. {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
onde R e ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
é a parte real do número complexo s {\displaystyle s}
. Por exemplo, se s = a + i b {\displaystyle s=a+ib}
e , em seguida, R ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(onde i 2 = − 1 {\displaystyle eu^{2}=-1}
).
isto faz uma sequência. Os primeiros termos desta seqüência seria,
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
e assim por diante
no Entanto, isso não se aplica para os números, onde R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, pois se podemos interpretar esta função como uma soma infinita, a soma não converge. Em vez disso, diverge. Isto significa que em vez de se aproximar de um valor específico, ele vai ficar infinitamente grande. Riemann usou a continuação analítica, de modo que ele poderia dar um valor a todos os números exceto 1. ζ ( 1 ) {\displaystyle \zeta (1)}
representa a série harmônica, que diverge, o que significa que a soma não perto de um número específico.
Leonhard Euler descobriu os primeiros resultados sobre a série que esta função representa no século XVIII. Ele provou que a função Zeta pode ser escrita como um produto infinito de números primos. Em notação matemática:
ζ ( s ) = ∏ p | prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{|p{\text{primeiro}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
