Aqui estão algumas definições básicas e propriedades de linhas e ângulos de geometria. Estes conceitos são testados em muitos exames de admissão competitivos como GMAT, GRE, CAT.
segmento de linha: um segmento de linha tem dois pontos finais com um comprimento definido.
Raio: Um raio tem um ponto final e se estende infinitamente em uma direção.
linha recta: Uma linha reta não tem ponto de partida nem de fim e é de comprimento infinito.
ângulo agudo: o ângulo que está entre 0° e 90° é um ângulo agudo, ∠A na figura abaixo.
ângulo Obtuso: O ângulo entre 90° e 180° é um ângulo obtuso, ∠B, como mostrado abaixo.
ângulo reto: o ângulo que é 90° é um ângulo reto, ∠C como mostrado abaixo.
ângulo reto: O ângulo que é 180° é um ângulo reto, ∠AOB na figura abaixo.
Suplementares ângulos:
Na figura acima, ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°
Se a soma de dois ângulos é 180°, em seguida, os ângulos são chamados de ângulos suplementares.
dois ângulos retos complementam-se sempre.
o par de ângulos adjacentes cuja soma é um ângulo reto é chamado de par linear.
ângulos complementares:
∠COA + ∠AOB = 90°
Se a soma de dois ângulos é 90°, em seguida, os dois ângulos são chamados de ângulos complementares.
ângulos adjacentes:
os ângulos que têm um braço comum e um vértice comum são chamados ângulos adjacentes.
na figura acima, ∠BOA EOC COA são ângulos adjacentes. Seu braço comum é OA e o vértice comum é “O”.
ângulos verticalmente opostos:
quando duas linhas se intersectam, os ângulos formados opostos um ao outro no ponto de intersecção (vértice) são chamados ângulos verticalmente opostos.
Na figura acima,
x e y são duas linhas de interseção.
54 A E ∠C Fazer um par de Ângulos verticalmente opostos e
54 B E ∠D fazer outro par de Ângulos verticalmente opostos.
linhas perpendiculares: quando há um ângulo reto entre duas linhas, as linhas são ditas perpendiculares umas às outras.
aqui, as linhas OA e OB são ditas perpendiculares umas às outras.
linhas Paralelas:
Aqui, A e B são duas linhas paralelas, interligadas por uma linha de p.
A linha p é chamado de transversal, o que faz interseção de duas ou mais linhas (não necessariamente em paralelo linhas) em distintos pontos.
como se vê na figura acima, quando um transversal intersecta duas linhas, formam-se 8 ângulos.
vamos considerar os detalhes em uma forma tabular para fácil referência.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Ângulos | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Ângulos Interiores do mesmo lado da transversal | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
Quando uma transversal intercepta duas linhas paralelas,
- Os ângulos correspondentes são iguais.
- os ângulos verticalmente opostos são iguais.
- os ângulos interiores alternativos são iguais.
- os ângulos exteriores alternativos são iguais.
- o par de ângulos interiores do mesmo lado do transversal é suplementar.
podemos dizer que as linhas são paralelas se pudermos verificar pelo menos uma das condições acima mencionadas.
vejamos alguns exemplos.
exemplos resolvidos
exemplo 1. Se as linhas m e n forem paralelas entre si, então determinar os ângulos ∠5 e ∠7.Linhas paralelas exemplo 1
solução:
determinar um par pode tornar possível encontrar todos os outros ângulos. A seguir está uma das muitas maneiras de resolver esta questão.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 uma vez que são ângulos verticalmente opostos.
Portanto,, ∠4 = 125°
∠4 é um dos ângulos interiores do mesmo lado da transversal.
Portanto,, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 desde verticalmente ângulos opostos.
Portanto, ∠5 = ∠7 = 55°
nota: às vezes, a propriedade paralela das linhas pode não ser mencionada na declaração do problema e as linhas podem parecer paralelas umas às outras; mas podem não ser. É importante determinar se duas linhas são paralelas verificando os ângulos e não pela aparência.
Exemplo 2. Se ∠a = 120° E ∠H = 60°. Determinar se as linhas são paralelas.
Solução:
Dado ∠A = 120° e ∠H = 60°.
uma vez que os ângulos adjacentes são suplementares, ∠a + ∠B = 180°
120 + ∠B = 180 → ∠b = 60°.
é dado que ∠H = 60°. Podemos ver que ∠B E H H são ângulos exteriores alternativos.Quando os ângulos exteriores alternativos são iguais, as linhas são paralelas.
portanto, as linhas p E q são paralelas.
podemos verificar isto usando outros ângulos.
If ∠H = 60°, ∠e = 120° since those two are on a straight line, they are supplementary.
Now, ∠A = ∠E = 120°. ∠A E and e são ângulos correspondentes.
quando os ângulos correspondentes são iguais, as linhas são paralelas.Da mesma forma, podemos provar usando outros ângulos também.
exemplo 3. Se p e q forem duas linhas paralelas entre si e ∠e = 50°, encontrar todos os ângulos na figura abaixo.Linhas paralelas exemplo 3
solução:
é administrado ∠e = 50°.
as duas linhas são paralelas
→ os ângulos correspondentes são iguais.
desde ∠E E and A São ângulos correspondentes, ∠a = 50° .
→ os ângulos verticalmente opostos são iguais.
desde ∠a E ∠C são verticalmente opostos um ao outro, ∠C = 50°.
uma vez que ∠e E and G são verticalmente opostos um ao outro, ∠g = 50°.
→ os ângulos interiores do mesmo lado do transversal são suplementares.
E E + 180 D = 180 ° → 50 + = D = 180 ° → → D = 130°
→ ∠D e ∠B são ângulos verticalmente opostos. Então ∠B = 130°.