Três dimensionsEdit
Espaço de curva em 3D. A posição do vetor r é parametrizada por um escalar t. R = uma linha vermelha é a reta tangente a curva, e o plano azul é normal à curva.
Em três dimensões, qualquer conjunto tridimensional de coordenadas e sua correspondente base de vetores pode ser usado para definir a localização de um ponto no espaço—o que for mais simples para a tarefa em mãos, pode ser usado.
comumente, usa-se o sistema de coordenadas cartesianas, ou às vezes coordenadas polares esféricas, ou coordenadas cilíndricas:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{alinhado}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )}+z (t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{alinhado}}}}}
em que t é um parâmetro, devido à sua simetria rectangular ou circular. Estas diferentes coordenadas e Vectores de base correspondentes representam o mesmo vector de posição. Coordenadas curvilíneas mais gerais poderiam ser usadas em vez disso e são em contextos como mecânica do contínuo e relatividade geral (neste último caso, é preciso uma coordenada de tempo adicional).
n dimensionsEdit
Linear algebra allows for the abstraction of an N-dimensional position vector. Um vetor de posição pode ser expresso como uma combinação linear de vetores de base:
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e N. {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
O conjunto de todos os vetores posição formas posição do espaço (em um espaço vetorial cujos elementos são os vetores posição), uma vez que as posições podem ser adicionados (vetor de adição) e a escala de comprimento (multiplicação escalar) para obter outra posição do vetor no espaço. A noção de “espaço” é intuitiva, uma vez que cada xi (i = 1, 2, …, n) pode ter qualquer valor, a coleção de valores define um ponto no espaço.
a dimensão do espaço de posição é n (Também denotado dim(R) = n). As coordenadas do vetor r em relação aos vetores de base ei são xi. o vetor de coordenadas forma o vetor de coordenadas ou n-tupla (x1, x2, …, xn).
cada coordenada xi pode ser parametrizada um número de parâmetros T. Um parâmetro xi(t) descreve um caminho 1D curvado, dois parâmetros xi(t1, t2) descreve uma superfície 2D curvada, três xi (t1, t2, t3) descreve um volume 3D curvado de espaço, e assim por diante.
a extensão linear de um conjunto de base B = {e1, e2,…, en} é igual ao espaço de posição R, espaço denotado(B) = R.