Ergodicitatea

Ergodicitatea apare în medii largi în fizică și matematică. Toate aceste setări sunt unificate printr-o descriere matematică comună, cea a sistemului dinamic de conservare a măsurii. O descriere informală a acestui lucru și o definiție a ergodicității în raport cu aceasta sunt date imediat mai jos. Aceasta este urmată de o descriere a ergodicității în procesele stocastice. Ele sunt una și aceeași, în ciuda folosind notație dramatic diferite și limbaj. Urmează o revizuire a ergodicității în fizică și în geometrie. În toate cazurile, noțiunea de ergodicitate este exact aceeași cu cea pentru sistemele dinamice; nu există nicio diferență, cu excepția perspectivei, notației, stilului de gândire și revistelor în care sunt publicate rezultatele.

sisteme dinamice de conservare a Măsuriloredit

definiția matematică a ergodicității își propune să surprindă idei obișnuite de zi cu zi despre aleatorie. Aceasta include idei despre sisteme care se mișcă în așa fel încât (în cele din urmă) să umple tot spațiul, cum ar fi difuzia și mișcarea browniană, precum și Noțiuni de bun simț de amestecare, cum ar fi amestecarea vopselelor, băuturilor, ingredientelor de gătit, amestecarea proceselor industriale, fumul într-o cameră plină de fum, praful din inelele lui Saturn și așa mai departe. Pentru a oferi o bază matematică solidă, descrierile sistemelor ergodice încep cu definirea unui sistem dinamic care păstrează măsura. Acest lucru este scris ca (X, a, XV, T). {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu ,T).}

setul X {\displaystyle X}

se înțelege a fi spațiul total care trebuie umplut: vasul de amestecare, camera plină de fum etc. Măsura x {\displaystyle \ mu }

se înțelege pentru a defini volumul natural al spațiului X {\displaystyle X}

și al subspațiilor sale. Colecția de subspații este notată cu un {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, iar mărimea oricărui subset dat a X {\displaystyle a\subset X}

este egală cu A ( a ) {\displaystyle \mu (A)}

; dimensiunea este volumul său. Naiv, s-ar putea imagina un {\displaystyle {\mathcal {A}}}

pentru a fi setul de putere al lui X {\displaystyle X}

; acest lucru nu funcționează, deoarece nu toate subseturile unui spațiu au un volum (faimos, paradoxul Banach-Tarski). Astfel, în mod convențional, un {\displaystyle {\mathcal {A}}}

constă din subseturile măsurabile—subseturile care au un volum. Este întotdeauna considerat a fi un set Borel—colecția de subseturi care pot fi construite luând intersecții, uniuni și complemente de seturi; acestea pot fi considerate întotdeauna măsurabile.

evoluția în timp a sistemului este descrisă de o hartă T: X X X {\displaystyle T:X\to X}

. Având în vedere un subset un X {\displaystyle a\subset X}

, harta sa T ( A ) {\displaystyle T(A)}

va fi în general o versiune deformată a unui {\displaystyle A}

– este strivit sau întins, pliat sau tăiat în bucăți. Exemplele matematice includ Harta brutarului și harta potcoavei, ambele inspirate din fabricarea pâinii. Setul T ( a ) {\displaystyle T(A)}

trebuie să aibă același volum ca un {\displaystyle A}

; strivirea/întinderea nu modifică volumul spațiului, ci doar distribuția acestuia. Un astfel de sistem este „conservarea măsurii” (conservarea zonei, conservarea volumului).

o dificultate formală apare atunci când cineva încearcă să reconcilieze volumul seturilor cu necesitatea de a-și păstra dimensiunea sub o hartă. Problema apare deoarece, în general, mai multe puncte diferite din domeniul unei funcții se pot mapa la același punct din intervalul său; adică, pot exista x xq y {\displaystyle x \ neq y}

cu T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T (y)}

. Mai rău, un singur punct x x x {\displaystyle x \ în x}

nu are Dimensiune. Aceste dificultăți pot fi evitate prin lucrul cu harta inversă T − 1: A A {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal {a}} \ la {\mathcal {A}}}

; se va mapa orice subset dat a X {\displaystyle a\subset X}

la piesele care au fost asamblate pentru a face: aceste părți sunt T − 1 ( A) A {\displaystyle T ^ {-1}(A) \ în {\mathcal {A}}}

. Are proprietatea importantă de a nu pierde evidența de unde provin lucrurile. Mai puternic, are proprietatea importantă că orice hartă (de conservare a măsurii) a o {\displaystyle {\mathcal {a}} \ la {\mathcal {A}}}

este inversul unei hărți X X {\displaystyle X\la X}

. Definiția corectă a unei hărți de conservare a volumului este una pentru care ( a) = (T − 1 ( a ) ) {\displaystyle \mu (a)=\mu (T^{-1}(a))}

deoarece T − 1(a) {\displaystyle T^{-1} (a)}

descrie toate piesele-părți din care a provenit un {\displaystyle A}

.

unul este acum interesat să studieze evoluția în timp a sistemului. În cazul în care un set de a a {\displaystyle A\în {\mathcal {A}}}

ajunge în cele din urmă să umple tot X {\displaystyle X}

pe o perioadă lungă de timp (adică dacă T N ( A ) {\displaystyle t^{n}(a)}

se apropie de TOATE x {\displaystyle X}

pentru n {\displaystyle n mare}

), se spune că sistemul este ergodic. Dacă fiecare set a {\displaystyle A}

se comportă în acest fel, sistemul este un sistem conservator, plasat în contrast cu un sistem disipativ, unde unele subseturi a {\displaystyle A}

rătăcesc, pentru a nu mai fi returnate niciodată. Un exemplu ar fi apa care curge în jos – odată ce este rulat în jos, nu va veni înapoi din nou. Lacul care se formează în partea de jos a acestui râu poate, totuși, să devină bine amestecat. Teorema descompunerii ergodice afirmă că fiecare sistem ergodic poate fi împărțit în două părți: partea conservatoare și partea disipativă.

amestecarea este o afirmație mai puternică decât ergodicitatea. Amestecarea cere ca această proprietate ergodică să se mențină între oricare două seturi A, B {\displaystyle A, B}

, și nu doar între unele set a {\displaystyle A}

și X {\displaystyle X}

. Adică, având în vedere oricare două seturi A , B,A {\displaystyle A,B\în {\mathcal {a}}}

, se spune că un sistem se amestecă (topologic) dacă există un număr întreg N {\displaystyle n}

astfel încât , pentru toate,B {\displaystyle A,B}

și n > n {\displaystyle n>n}

, unul are că T N ( A)

. Aici, {\displaystyle \cap}

indică intersecția mulțimii și {\displaystyle \varnothing }

este mulțimea goală. Alte noțiuni de amestecare includ amestecarea puternică și slabă, care descriu noțiunea că substanțele mixte se amestecă peste tot, în proporție egală. Acest lucru poate fi non-banal, așa cum arată experiența practică de a încerca să amestece substanțe lipicioase și lipicioase.

procese Ergodicedit

discuția de mai sus face apel la un sens fizic al unui volum. Volumul nu trebuie să fie literalmente o parte din spațiul 3D; poate fi un volum abstract. Acesta este în general cazul sistemelor statistice, unde volumul (măsura) este dat de probabilitate. Volumul total corespunde probabilității unu. Această corespondență funcționează deoarece axiomele teoriei probabilității sunt identice cu cele ale teoriei măsurii; acestea sunt axiomele Kolmogorov.

ideea unui volum poate fi foarte abstractă. Luați în considerare, de exemplu, setul tuturor monedelor posibile: setul de secvențe infinite de capete și cozi. Atribuind volumul de 1 acestui spațiu, este clar că jumătate din toate aceste secvențe încep cu capete, iar jumătate încep cu cozi. Se poate tăia acest volum în alte moduri: se poate spune „Nu-mi pasă de primul N-1 {\displaystyle n-1}

monede-flips; dar vreau n {\displaystyle n}

‘să fie capete, și atunci nu-mi pasă de ceea ce vine după aceea”. Acest lucru poate fi scris ca setul (x, x, x , x, x, x, x, x,x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x )}

unde {\displaystyle *}

este „nu-mi pasă” și h {\displaystyle h}

este „capete”. Volumul acestui spațiu este din nou (evident!) jumătate.

cele de mai sus sunt suficiente pentru a construi un sistem dinamic de conservare a măsurilor, în întregime. Seturile de h {\displaystyle h}

sau t {\displaystyle t}

care apare în n {\displaystyle n}

‘locul se numesc seturi de cilindri. Setul tuturor intersecțiilor, uniunilor și complementelor posibile ale seturilor de cilindri formează apoi setul Borel a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

definit mai sus. În termeni formali, seturile de cilindri formează baza pentru o topologie pe spațiul X {\displaystyle X}

a tuturor monedelor cu lungime infinită posibile. Măsura {\displaystyle \mu }

are toate proprietățile de bun simț pe care le-am putea spera: măsura unui cilindru setat cu h {\displaystyle h}

în m {\displaystyle m}

‘poziția T și t {\displaystyle t}

în k {\displaystyle k}

‘poziția Th este, evident, 1/4, și așa mai departe. Aceste proprietăți De bun simț persistă pentru set-complement și set-union: totul, cu excepția h {\displaystyle h}

și t {\displaystyle t}

în locații m {\displaystyle M}

și k {\displaystyle k}

evident, are volumul de 3/4. Toate împreună, acestea formează axiomele unei măsuri sigma-aditive; sistemele dinamice care păstrează măsurile folosesc întotdeauna măsuri Sigma-aditive. Pentru moneda flips, această măsură se numește măsura Bernoulli.

pentru procesul de răsturnare a monedei, operatorul de evoluție a timpului t {\displaystyle T}

este operatorul de schimbare care spune”aruncați prima monedă și păstrați restul”. În mod formal, dacă ( x 1 , x 2, XV ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

este o secvență de monede-flips, apoi T ( x 1 , x 2, XV ) = ( x 2 , x 3, XV ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. Măsura este evident invariantă în schimbare: atâta timp cât vorbim despre un set de a a {\displaystyle A A \ în {\mathcal {a}}}

unde prima monedă-flip x 1 = {\displaystyle x_{1}=*}

este valoarea” nu-mi pasă”, atunci volumul ( a ) {\displaystyle \mu (A)}

nu se modifică: (a) = (t ) ) {\displaystyle \mu ( A)=\mu (t (a)))}

. Pentru a evita să vorbim despre prima monedă-flip, este mai ușor să definiți T-1 {\displaystyle T^{-1}}

ca inserare a unei valori „nu-mi pasă” în prima poziție: T − 1 (x 1, x 2, hectolix) = (x1, x2, x2 ) {\displaystyle T^{-1} (x_{1}, x_{2}, \ cdots ) =(*, x_{1}, x_{2}, \ cdots )}

. Cu această definiție, unul are în mod evident că ( T − 1 ( A)) = (a ) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (a)}

fără constrângeri asupra unui {\displaystyle A}

. Acesta este din nou un exemplu de ce T-1 {\displaystyle T^{-1}}

este folosit în definițiile formale.

dezvoltarea de mai sus ia un proces aleatoriu, procesul Bernoulli, și îl convertește într-un sistem dinamic de conservare a măsurii ( X , a , XV , T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}}, \ mu ,T).}

aceeași conversie (echivalență, izomorfism) poate fi aplicată oricărui proces stocastic. Astfel, o definiție informală a ergodicității este că o secvență este ergodică dacă vizitează tot X {\displaystyle X}

; astfel de secvențe sunt „tipice” pentru proces. Alta este că proprietățile sale statistice pot fi deduse dintr-un singur eșantion aleatoriu suficient de lung al procesului (eșantionând astfel uniform toate X {\displaystyle X}

) sau că orice colecție de eșantioane aleatorii dintr-un proces trebuie să reprezinte proprietățile statistice medii ale întregului proces (adică eșantioane extrase uniform din X {\displaystyle X}

sunt reprezentative pentru X {\displaystyle x}

ca întreg.) În exemplul de față, o secvență de monede flips, unde jumătate sunt capete și jumătate sunt cozi, este o secvență „tipică”.

există câteva puncte importante care trebuie făcute cu privire la procesul Bernoulli. Dacă se scrie 0 pentru cozi și 1 pentru capete, se obține setul tuturor șirurilor infinite de cifre binare. Acestea corespund extinderii bazei-două a numerelor reale. În mod explicit, având în vedere o secvență (x 1 , x 2, XV ) {\displaystyle (x_{1}, x_{2}, \ cdots )}

, numărul real corespunzător este y = x n = 1 x n 2 n {\displaystyle y = \ sum _ {n=1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

afirmația că procesul Bernoulli este ergodic este echivalentă cu afirmația că numerele reale sunt distribuite uniform. Setul tuturor acestor șiruri poate fi scris într-o varietate de moduri: { h, t } XlX = {h , t } XlX = { 0, 1 } XlX = 2 XlX = 2 N . {\displaystyle \ {h, t\}^{\infty } = \ {h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega } = 2 ^ {\omega } = 2 ^ {\mathbb {N} }.}

acest set este setul Cantor, uneori numit spațiul Cantor pentru a evita confuzia cu funcția Cantor C (x) = 1 N = 1 x n 3 n {\displaystyle C (x)=\sum _{n = 1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

în cele din urmă, toate acestea sunt „același lucru”.

setul Cantor joacă roluri cheie în multe ramuri ale matematicii. În matematica recreativă, stă la baza fractalilor care dublează perioada; în analiză, apare într-o mare varietate de teoreme. O cheie pentru procesele stocastice este descompunerea Wold, care afirmă că orice proces staționar poate fi descompus într-o pereche de procese necorelate, unul determinist, iar celălalt fiind un proces mediu în mișcare.

teorema izomorfismului Ornstein afirmă că fiecare proces stochastic staționar este echivalent cu o schemă Bernoulli (un proces Bernoulli cu o matriță de joc n-verso (și posibil nedreaptă)). Alte rezultate includ că fiecare sistem ergodic nedisipativ este echivalent cu odometrul Markov, numit uneori „mașină de adăugat”, deoarece arată ca adăugarea școlii elementare, adică luând o secvență de cifre de bază-N, adăugând una și propagând biții de transport. Dovada echivalenței este foarte abstractă; înțelegerea rezultatului nu este: prin adăugarea unuia la fiecare pas de timp, fiecare stare posibilă a contorului este vizitată, până când se răstoarnă și începe din nou. La fel, sistemele ergodice vizitează fiecare stare, uniform, trecând la următoarea, până când toate au fost vizitate.

sistemele care generează secvențe (infinite) de n litere sunt studiate prin intermediul dinamicii simbolice. Cazurile speciale importante includ sub-deplasări de tip finit și sisteme sofic.

Ergodicitatea în fizicăedit

sistemele fizice pot fi împărțite în trei categorii: mecanica clasică, care descrie mașinile cu un număr finit de părți în mișcare, mecanica cuantică, care descrie structura atomilor și mecanica statistică, care descrie gazele, lichidele, solidele; aceasta include fizica materiei condensate. Cazul mecanicii clasice este discutat în secțiunea următoare, despre ergodicitatea în geometrie. În ceea ce privește mecanica cuantică, deși există o concepție despre haosul cuantic, nu există o definiție clară a ergodocității; ceea ce ar putea fi acest lucru este dezbătut aprig. Această secțiune analizează ergodicitatea în mecanica statistică.

definiția abstractă de mai sus a unui volum este necesară ca setare adecvată pentru definițiile ergodicității în fizică. Luați în considerare un recipient de lichid, gaz sau plasmă sau altă colecție de atomi sau particule. Fiecare particulă x i {\displaystyle x_{i}}

are o poziție 3D și o viteză 3D și este astfel descris de șase numere: un punct în spațiul șase-dimensional R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}

dacă există N {\displaystyle N}

din aceste particule în sistem, o descriere completă necesită 6 n {\displaystyle 6N}

numere. Orice sistem este doar un singur punct în R 6 N . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}

sistemul fizic nu este tot din R 6 n {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}}

, desigur; dacă este o cutie cu lățime, înălțime și lungime W, H, L, L, 9283>atunci un punct este în ( W, H, L, L, L, 3 ) N . {\displaystyle (W\ori H \ ori l \ ori \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}

nici vitezele nu pot fi infinite: acestea sunt scalate de o anumită măsură de probabilitate, de exemplu măsura Boltzmann–Gibbs pentru un gaz. Cu toate acestea, pentru N {\displaystyle N}

aproape de numărul lui Avogadro, acesta este evident un spațiu foarte mare. Acest spațiu se numește ansamblul canonic.

se spune că un sistem fizic este ergodic dacă vreun punct reprezentativ al sistemului vine în cele din urmă să viziteze întregul volum al sistemului. Pentru exemplul de mai sus, acest lucru implică faptul că orice atom dat nu numai că vizitează fiecare parte a casetei W, W, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, x}

cu probabilitate uniformă, dar o face cu fiecare viteză posibilă, cu probabilitate dată de distribuția Boltzmann pentru acea viteză (deci, uniformă în raport cu acea măsură). Ipoteza ergodică afirmă că sistemele fizice sunt de fapt ergodice. Mai multe scale de timp sunt la locul de muncă: gaze și lichide par a fi ergodic peste scale de timp scurt. Ergodicitatea într-un solid poate fi privită în termeni de moduri vibraționale sau fononi, deoarece, evident, atomii dintr-un solid nu schimbă locații. Ochelarii reprezintă o provocare pentru ipoteza ergodică; se presupune că scalele de timp sunt în milioane de ani, dar rezultatele sunt controversate. Ochelarii Spin prezintă dificultăți deosebite.

dovezile matematice formale ale ergodicității în fizica statistică sunt greu de găsit; majoritatea sistemelor cu multe corpuri de dimensiuni înalte sunt presupuse a fi ergodice, fără dovezi matematice. Excepțiile includ biliardul dinamic, care modelează coliziuni de atomi de tip bilă de biliard într-un gaz sau plasmă ideală. Prima teoremă a ergodicității sferei dure a fost pentru biliardul Sinai, care consideră două bile, una dintre ele luată ca fiind staționară, la origine. Pe măsură ce a doua minge se ciocnește, se îndepărtează; aplicând condiții limită periodice, apoi revine să se ciocnească din nou. Prin apel la omogenitate, această întoarcere a” celei de-a doua „bile poate fi considerată în schimb” doar un alt atom „care a intrat în raza de acțiune și se mișcă pentru a se ciocni cu atomul de la origine (care poate fi considerat a fi doar”orice alt atom”.) Aceasta este una dintre puținele dovezi formale care există; nu există afirmații echivalente, de ex.pentru atomii dintr-un lichid, care interacționează prin forțele van der Waals, chiar dacă ar fi de bun simț să credem că astfel de sisteme sunt ergodice (și se amestecă). Cu toate acestea, se pot face argumente fizice mai precise.

Ergodicitatea în geometrie

Ergodicitatea este un fenomen larg răspândit în studiul varietăților riemanniene. O secvență rapidă de exemple, de la simplu la complicat, ilustrează acest punct. Toate sistemele menționate mai jos s-au dovedit a fi ergodice prin dovezi formale riguroase. Rotația irațională a unui cerc este ergodică: orbita unui punct este de așa natură încât, în cele din urmă, orice alt punct din cerc este vizitat. Astfel de rotații sunt un caz special al hărții de schimb de intervale. Expansiunile beta ale unui număr sunt ergodice: extinderile beta ale unui număr real nu se fac în base-N, ci în base-XV {\displaystyle \ beta }

pentru un anumit număr de persoane . {\displaystyle \ beta .}

versiunea reflectată a expansiunii beta este harta cortului; există o varietate de alte hărți ergodice ale intervalului unității. Trecând la două dimensiuni, biliardul aritmetic cu unghiuri iraționale este ergodic. De asemenea, se poate lua un dreptunghi plat, se poate tăia, se poate tăia și se poate reasambla; aceasta este harta brutarului menționată anterior. Punctele sale pot fi descrise de setul de șiruri bi-infinite în două litere, adică extinzându-se atât la stânga, cât și la dreapta; ca atare, arată ca două copii ale procesului Bernoulli. Dacă cineva se deformează lateral în timpul zdrobirii, se obține harta pisicii lui Arnold. În cele mai multe moduri, harta pisicii este prototipică a oricărei alte transformări similare.

pentru suprafețele care nu sunt plane, se spune că fluxul geodezic al oricărei suprafețe Riemann compacte curbate negativ este ergodic. O suprafață este „compactă” în sensul că are suprafață finită. Fluxul geodezic este o generalizare a ideii de a se deplasa într-o „linie dreaptă” pe o suprafață curbată: astfel de linii drepte sunt geodezice. Unul dintre primele cazuri studiate este biliardul lui Hadamard, care descrie geodezice pe suprafața Bolza, echivalent topologic cu o gogoașă cu două găuri. Ergodicitatea poate fi demonstrată informal, dacă cineva are un sharpie și un exemplu rezonabil de gogoașă cu două găuri: începând de oriunde, în orice direcție, se încearcă trasarea unei linii drepte; conducătorii sunt utili pentru acest lucru. Nu durează atât de mult pentru a descoperi că cineva nu se întoarce la punctul de plecare. (Desigur, desenul strâmb poate explica și acest lucru; de aceea avem dovezi.)

aceste rezultate se extind la dimensiuni superioare. Fluxul geodezic pentru varietățile riemanniene compacte curbate negativ este ergodic. Un exemplu clasic pentru aceasta este fluxul Anosov, care este fluxul horociclului pe un colector hiperbolic. Acest lucru poate fi văzut ca un fel de fibrare Hopf. Astfel de fluxuri apar frecvent în mecanica clasică, care este studiul în fizica mașinilor în mișcare cu dimensiuni finite, de ex. pendulul dublu și așa mai departe. Mecanica clasică este construită pe colectoare simplectice. Fluxurile pe astfel de sisteme pot fi deconstruite în colectoare stabile și instabile; ca regulă generală, atunci când acest lucru este posibil, rezultă o mișcare haotică. Faptul că acest lucru este generic poate fi văzut observând că pachetul cotangent al unei varietăți riemanniene este (întotdeauna) o varietate simplectică; fluxul geodezic este dat de o soluție la ecuațiile Hamilton–Jacobi pentru această varietate. În termeni de coordonate canonice (q , p ) {\displaystyle (q, p)}

pe mulțimea cotangentă, Hamiltonianul sau energia este dată de H=1 2 ( q ) p i p j {\displaystyle H = {\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{IJ}(q) p_{i}p_{j}}

cu g i J {\displaystyle G^{ij}}

(inversul) tensorului metric și p i {\displaystyle p_{i}}

impulsul. Asemănarea cu energia cinetică E = 1 2 m v 2 {\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

unei particule punctuale nu este deloc întâmplătoare; acesta este întregul punct de a numi astfel de lucruri „energie”. În acest sens, comportamentul haotic cu orbite ergodice este un fenomen mai mult sau mai puțin generic în zone mari de geometrie.

rezultatele Ergodicității au fost furnizate în suprafețele de translație, grupurile hiperbolice și geometria sistolică. Tehnicile includ studiul fluxurilor ergodice, descompunerea Hopf și teorema Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. O clasă importantă de sisteme sunt Axioma a sisteme.

au fost obținute o serie de rezultate atât de clasificare, cât și de „anti-clasificare”. Teorema izomorfismului Ornstein se aplică și aici; din nou, afirmă că majoritatea acestor sisteme sunt izomorfe pentru unele schema Bernoulli. Acest lucru leagă destul de bine aceste sisteme înapoi în definiția ergodicității dată pentru un proces stocastic, în secțiunea anterioară. Rezultatele anti-clasificare afirmă că există mai mult decât un număr infinit de sisteme dinamice inechivalente ergodice care păstrează măsurile. Poate că aceasta nu este în întregime o surpriză, deoarece se pot folosi puncte în setul Cantor pentru a construi sisteme similare, dar diferite. A se vedea sistemul dinamic de conservare a măsurilor pentru o scurtă anchetă a unora dintre rezultatele anti-clasificare.

dezvoltare Istoricăedit

ideea ergodicității s-a născut în domeniul termodinamicii, unde a fost necesar să se raporteze stările individuale ale moleculelor de gaz la temperatura unui gaz în ansamblu și evoluția sa în timp a acestuia. Pentru a face acest lucru, a fost necesar să se precizeze exact ce înseamnă ca gazele să se amestece bine împreună, astfel încât echilibrul termodinamic să poată fi definit cu rigoare matematică. Odată ce teoria a fost bine dezvoltată în fizică, a fost formalizată și extinsă rapid, astfel încât teoria ergodică a fost mult timp o zonă independentă a matematicii în sine. Ca parte a acestei progresii, coexistă mai multe definiții ușor diferite ale ergodicității și mulțimi de interpretări ale conceptului în diferite domenii.

de exemplu, în fizica clasică termenul implică faptul că un sistem satisface ipoteza ergodică a termodinamicii, spațiul de stare relevant fiind poziția și spațiul impulsului. În teoria sistemelor dinamice, spațiul de stare este de obicei considerat a fi un spațiu de fază mai general. Pe de altă parte, în teoria codificării, spațiul de stare este adesea discret atât în timp, cât și în stare, cu o structură mai puțin concomitentă. În toate aceste domenii, ideile despre media timpului și media ansamblului pot transporta, de asemenea, bagaje suplimentare—așa cum este cazul numeroaselor funcții de partiție posibile relevante termodinamic utilizate pentru a defini mediile ansamblului în fizică, înapoi. Ca atare, măsura formalizarea teoretică a conceptului servește și ca disciplină unificatoare.

Etimologieedit

termenul ergodic este de obicei considerat a deriva din cuvintele grecești („Ergon”: „muncă”) și („Hodos”: „cale”, „cale”), așa cum a fost ales de Ludwig Boltzmann în timp ce lucra la o problemă în mecanica statistică. În același timp, se pretinde, de asemenea, că este o derivare a ergomonode, inventat de Boltzmann într-o lucrare relativ obscură din 1884. Etimologia pare a fi contestată și în alte moduri.