iată câteva definiții și proprietăți de bază ale liniilor și unghiurilor în geometrie. Aceste concepte sunt testate în multe examene de admitere competitive, cum ar fi GMAT, GRE, CAT.
segment de linie: un segment de linie are două puncte finale cu o lungime definită.
rază: o rază are un punct final și se extinde infinit într-o direcție.
linie dreaptă: O linie dreaptă nu are nici punct de început, nici punct final și are o lungime infinită.
unghi ascuțit: unghiul care este cuprins între 0 și 90 la sută este un unghi ascuțit, la sută a în figura de mai jos.
unghi obtuz: unghiul care este cuprins între 90 și 180, este un unghi obtuz, conform indicațiilor de mai jos.
unghi drept: unghiul care este de 90 la sută este un unghi drept, la sută la sută c, după cum se arată mai jos.
unghi drept: Unghiul care este de 180% este un unghi drept, AOB-ul din figura de mai jos.
unghiuri suplimentare:
în figura de mai sus, AOC + AOC + AOB = 180.
două unghiuri drepte se completează întotdeauna reciproc.
perechea de unghiuri adiacente a căror sumă este un unghi drept se numește pereche liniară.
unghiuri complementare:
∠COA + AOB AOB = 90 AOB
dacă suma a două unghiuri este de 90 AOB, atunci cele două unghiuri se numesc unghiuri complementare.
unghiuri adiacente:
unghiurile care au un braț comun și un vârf comun se numesc unghiuri adiacente.
în figura de mai sus, boa și AOC sunt unghiuri adiacente. Brațul lor comun este OA, iar vârful comun este ‘O’.
unghiuri opuse vertical:
când două linii se intersectează, unghiurile formate opuse una față de cealaltă în punctul de intersecție (vârf) se numesc unghiuri verticale opuse.
în figura de mai sus,
x și y sunt două linii care se intersectează.
– a și C-o pereche de unghiuri opuse vertical, iar
– B și d-o altă pereche de unghiuri opuse vertical.
linii perpendiculare: când există un unghi drept între două linii, se spune că liniile sunt perpendiculare între ele.
aici, se spune că liniile OA și OB sunt perpendiculare între ele.
linii paralele:
aici, A și B sunt două linii paralele, intersectate de o linie p.
linia p se numește transversal, ceea ce intersectează două sau mai multe linii (nu neapărat linii paralele) în puncte distincte.
după cum se vede în figura de mai sus, când o transversală intersectează două linii, se formează 8 unghiuri.
să luăm în considerare detaliile într-o formă tabelară pentru o referință ușoară.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Unghiuri | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| unghiuri interioare pe aceeași parte a transversal | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
când o transversală intersectează două linii paralele,
- unghiurile corespunzătoare sunt egale.
- unghiurile opuse vertical sunt egale.
- unghiurile interioare alternative sunt egale.
- unghiurile exterioare alternative sunt egale.
- perechea de unghiuri interioare de pe aceeași parte a transversalului este suplimentară.
putem spune că liniile sunt paralele dacă putem verifica cel puțin una dintre condițiile menționate mai sus.
să aruncăm o privire la câteva exemple.
exemple rezolvate
Exemplul 1. Dacă liniile m și n sunt paralele între ele, atunci se determină unghiurile 5 și 7.
soluție:
determinarea unei perechi poate face posibilă găsirea tuturor celorlalte unghiuri. Următoarea este una dintre numeroasele modalități de a rezolva această întrebare.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 deoarece sunt unghiuri opuse vertical.
prin urmare, ∠4 = 125°
∠4 este unul dintre unghiurile interioare de pe aceeași parte a transversalului.
prin urmare, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 deoarece unghiuri opuse vertical.
prin urmare, ∠5 = ∠7 = 55°
notă: uneori, proprietatea paralelă a liniilor nu poate fi menționată în declarația problemă și liniile pot părea paralele între ele; dar ele nu pot fi. Este important să determinați dacă două linii sunt paralele verificând unghiurile și nu prin aspect.
Exemplul 2. Dacă a = 120 a = 120 a = 60 a. Determinați dacă liniile sunt paralele.
soluție:
având în vedere a = 120 A = 120 a = 60 a.
având în vedere că unghiurile adiacente sunt suplimentare, A + A + B = 180°
120 + ∠B = 180 Int. Int. B = 60 int.int.
se indică faptul că H = 60 h = 60. Se poate observa că, în afara unghiurilor alternative, se pot observa că, în funcție de numărul de unghiuri, se pot observa unghiuri alternative.
când unghiurile alternative exterioare sunt egale, liniile sunt paralele.
prin urmare, liniile P și q sunt paralele.
putem verifica acest lucru folosind alte unghiuri.
în cazul în care H = 60, E = 120, având în vedere că cele două sunt în linie dreaptă, ele sunt suplimentare.
Acum, A = A = 120. A și e sunt unghiuri corespunzătoare.
când unghiurile corespunzătoare sunt egale, liniile sunt paralele.
de asemenea, putem dovedi folosind și alte unghiuri.
Exemplul 3. Dacă p și q sunt două linii paralele între ele și XQX = 50 XQX, găsiți toate unghiurile din figura de mai jos.
soluție:
se administrează: e = 50.
cele două linii sunt paralele
XV unghiurile corespunzătoare sunt egale.
din moment ce unghiurile E și a sunt corespunzătoare, a = 50 .
XV unghiurile opuse vertical sunt egale.
de la data la care se află în poziție verticală una față de cealaltă, de la data la care se află în poziție verticală una față de cealaltă, de la data la care se află în poziție verticală, la data de 50.
Deoarece ∠E și ∠G vertical sunt opuse unul altuia, ∠G = 50°.
XV unghiurile interioare de pe aceeași parte a transversalului sunt suplimentare.
e + E + E = 180 50 + E = 180= 130°
→ ∠D și B sunt unghiuri opuse vertical. Deci, B = 130 B = 130.