5.1 Introducere
mecanica fluidelor în general și straturile limită în special sunt complexe din punct de vedere matematic. O astfel de complexitate uneori nu numai că avansează studiul și înțelegerea fluidelor, dar avansează și disciplina matematică aplicată. Matematica continuă să permită să se tragă concluzii atât de necesare din mai multe discipline. În acest scop, numeroși matematicieni continuă să aducă contribuții semnificative la disciplina dinamicii fluidelor.
problemele stratului limită implică o schimbare rapidă a valorii unei variabile fizice într-o regiune limitată a spațiului și constituie o anumită clasă de probleme singulare de perturbare. În acest sens, aproape toate problemele stratului limită implică ecuații diferențiale în care cel mai mare termen derivat este înmulțit cu un parametru mic. De asemenea, stratul limită este întotdeauna considerat semiinfinit, motivul principal fiind libertatea de a lua în considerare efectele limită finale în care se pot aștepta toate imponderabilele și imaginabile. Considerarea unei suprafețe infinite ar putea fi atât de dificilă încât să distragă atenția de la interesul principal al anchetei în primă instanță. Acestea fiind spuse, nu există nimic care să interzică tinerei generații de cercetători să se confrunte cu această problemă, având în vedere avantajul lor de expunere la un corp relativ mai mare de cunoștințe decât generațiile precedente.
hidro – sau dinamica fluidelor este guvernată de ecuații diferențiale parțiale neliniare (PDE), care sunt foarte dificil de rezolvat analitic. Din câte știm, nu există o soluție generală în formă închisă la aceste ecuații. Ecuațiile de guvernare ale stratului limită se bazează în primul rând pe o simplificare a sistemului ecuațiilor diferențiale parțiale neliniare de ordinul doi (PDE), care sunt cunoscute sub numele de ecuațiile de mișcare Navier-Stokes (NS) pentru fluxurile vâscoase. Simplificarea oferită de Prandtl în 1908 este denumită în general ecuații ale stratului limită Prandtl (PBL). Spre deosebire de ecuațiile NS, care sunt eliptice, ecuațiile stratului limită sunt de natură parabolică, iar tehnicile utilizate pentru a le rezolva se bazează pe legile asemănării în fluxurile stratului limită.
trei metode primare pot fi utilizate pentru a rezolva problemele stratului limită: similitudinea sau metoda diferențială (cea mai comună abordare), metoda integrală și metoda soluției numerice complete . Multe cazuri speciale de PDE neliniare au dus la modificări adecvate ale variabilelor sau transformări de întindere, în funcție de sarcina pe care sunt destinate să o îndeplinească. Unele transformări liniarizează sistemul de ecuații luate în considerare, în timp ce altele transformă sistemul într-unul pentru care există o soluție. Transformările care reduc un sistem de PDE la un sistem de ecuații diferențiale obișnuite (Ode) prin exploatarea unei simetrii inerente a problemei sunt adesea considerate „transformări de similitudine.”Metoda similarității este metoda originală Blasius care a fost dezvoltată pentru a rezolva analitic problemele stratului limită. Blasius a introdus și a folosit o variabilă independentă numită variabila de similitudine la ecuațiile stratului limită ale Prandtl . Aceasta s-a bazat pe premisa că viteza este similară geometric de-a lungul direcției de curgere, unde PDE-urile de conservare sunt convertite în Ode. Transformarea similitudinii surprinde creșterea stratului limită și simplifică semnificativ analiza și soluția ecuațiilor de guvernare. Găsirea unei variabile de similitudine care este potrivită pentru ca transformarea să aibă loc este mai degrabă o artă decât o știință și necesită o perspectivă bună asupra problemei. Numerele variabilelor independente din PDE sunt convertite cu atenție într-o singură variabilă independentă (cunoscută sub numele de variabilă de similitudine). Condițiile limită inițiale inițiale sunt, de asemenea, transformate în mod egal în condiții limită adecvate în noua variabilă combinată.
tehnica de transformare a similitudinii este un instrument indispensabil pentru analiza comportamentului mecanic al fluidelor în procesele generale și în special ale stratului limită. Tehnicile asimptotice ne permit să facem simplu un sistem complex, care oferă apoi o formă luminată de empirism la care ne referim ca similitudine. Au fost dezvoltate mai multe metode și abordări pentru a găsi variabile de similitudine, de exemplu, teorema lui Vaschy–Buckingham Pi . Cea mai riguroasă și sistematică abordare a găsirii variabilelor de similitudine se bazează pe grupul de transformări Lie . Premisa abordării grupului Lie este că fiecare variabilă din ecuația inițială este supusă unei transformări infinitezimale. Cererea ca ecuația să fie invariantă în cadrul acestor transformări duce la determinarea simetriilor potențiale sau posibile. Această abordare a fost aplicată în mod obișnuit ecuațiilor stratului limită. Potrivit teoriei stratului limită, autorii au oferit o prezentare cuprinzătoare a metodelor clasice, inclusiv mai multe rezultate posibile în funcție de perspectiva problemei care trebuie rezolvată. Metoda directă Clarkson-Krustal, care este utilizată pentru a găsi reduceri de similitudine, a fost utilizată în ecuațiile instabile ale stratului limită. Este important să rețineți că variabila de similitudine găsită nu este unică sau specifică unei singure probleme; poate fi aplicată altor probleme similare ori de câte ori este cazul. Mai mult, Hansen a discutat despre metoda „variabila de întindere” utilizată pentru a găsi transformări de similitudine. În general, problemele de similitudine reduc ecuațiile PBL originale la o formă care este invariantă în ceea ce privește transformările afine. Câmpul fluxului local este apoi rezolvat prin soluții analitice / numerice ale PDE care guvernează stratul limită. Caracteristic, profilurile de viteză ale fluxurilor stratului limită produc o suită de curbe și parcele homotetice. De ce sunt de obicei homotetice? În ceea ce privește profilul de viteză, de exemplu, normalizăm cu uu-ul și acest lucru tinde sau se apropie de unitate. În mod similar, în ceea ce privește profilul de temperatură, normalizăm prin temperatura freestream, sau T−T, iar acest lucru tinde sau se apropie de zero. Metodele integrale, într-o altă privință, produc soluții în formă închisă prin asumarea unui profil de viteză, temperatură și transfer de masă de concentrație. Aceasta implică integrarea ecuațiilor de la perete la fluxul liber, rezultând astfel o performanță generală care include creșterea stratului limită. În cele din urmă, metoda numerică completă folosește scheme numerice bine dovedite și coduri practice de simulare cu computere de mare viteză pentru a rezolva mai multe probleme ale stratului limită.
trebuie remarcat faptul că unele studii din literatura de specialitate discută rezultatele lor ca soluții exacte. Atenție în acest sens este importantă. În general, atunci când vorbim de „soluții exacte” ale ecuațiilor fundamentale, cum ar fi ecuațiile NS, și aceasta ar putea fi ecuațiile ns complete sau oricare dintre formele lor aproximate, atâta timp cât soluțiile obținute obținute prin orice tehnică sunt într-adevăr la fel de exacte pe cât vin, adică nu există o soluție mai bună găsită. Exactitatea se referă la soluția ecuației în sine. Dacă ecuația în cauză a fost o aproximare a unei ecuații mai robuste, atunci pretenția de exactitate a soluției ar trebui să fie doar la soluția aproximativă.