trei dimensiunimodificare
curba spațială în 3D. vectorul de poziție r este parametrizat de un scalar t.la r = A linia roșie este tangenta la curbă, iar planul albastru este normal la curbă.
în trei dimensiuni, orice set de coordonate tridimensionale și vectorii lor de bază corespunzători pot fi utilizați pentru a defini locația unui punct în spațiu-oricare dintre acestea este cea mai simplă pentru sarcina la îndemână poate fi utilizată.
în mod obișnuit, se folosește sistemul de coordonate carteziene familiar sau, uneori, coordonatele polare sferice sau coordonatele cilindrice:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aliniat}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\mare (}\theta (t),\phi (t){\mare )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\mare (}\theta (t){\mare )} + z(t) \mathbf {\hat {e}} _{z},\\ \ end{aliniat}}}
unde t este un parametru, datorită simetriei lor dreptunghiulare sau circulare. Aceste coordonate diferite și vectorii de bază corespunzători reprezintă același vector de poziție. Coordonatele curbilinii mai generale ar putea fi utilizate în schimb și sunt în contexte precum mecanica continuumului și relativitatea generală (în ultimul caz este nevoie de o coordonată de timp suplimentară).
n dimensionsEdit
algebra liniară permite abstractizarea unui vector de poziție n-dimensional. O poziție vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de baza vectori:
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n . {\displaystyle \ mathbf {r} = \ sumă _ {i = 1}^{n}x_{i} \ mathbf {e} _ {i}=x_{1} \ mathbf {e} _ {1}+x_{2} \ mathbf {e} _ {2}+ \ dotsb + x_{n} \ mathbf {e} _ {n}.}
mulțimea tuturor vectorilor de poziție formează spațiu de poziție (un spațiu vectorial ale cărui elemente sunt vectorii de poziție), deoarece pozițiile pot fi adăugate (adunare vectorială) și scalate în lungime (multiplicare scalară) pentru a obține un alt vector de poziție în spațiu. Noțiunea de” spațiu ” este intuitivă, deoarece fiecare xi (i = 1, 2, …, n) poate avea orice valoare, colecția de valori definește un punct în spațiu.
dimensiunea spațiului de poziție este n (de asemenea, notat dim(R) = n). Coordonatele vectorului r în raport cu vectorii de bază ei sunt xi. vectorul coordonatelor formează vectorul de coordonate sau n-tuplu (x1, x2, …, xn).
fiecare coordonată xi poate fi parametrizată un număr de parametri t. Un parametru xi(t) ar descrie o cale curbată 1D, doi parametri xi(t1, t2) descrie o suprafață curbată 2D, trei xi (t1, t2, t3) descrie un volum curbat 3D de spațiu și așa mai departe.
intervalul liniar al unui set de baze B = {E1, E2,…, en} este egal cu spațiul de poziție R, notat interval (B) = R.