când se utilizează simboluri matematice pentru a descrie funcția Riemann Zeta, este reprezentată ca o serie infinită:
(S) = (S)) (N = 1 (s)) (1) (s) (s) (s) > 1. {\displaystyle \ zeta (s)=\sumă _{n = 1}^{\infty} {\frac {1}{n^{s}}}, \quad \ mathrm {Re} (s)>1.}
unde R E (S) {\displaystyle \ mathrm {Re} (s)}
este partea reală a numărului complex s {\displaystyle S}
. De exemplu, dacă s = a + i b {\displaystyle S=a+ib}
, atunci R E ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(unde i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
aceasta face o secvență. Primii termeni ai acestei secvențe ar fi,
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
și așa mai departe
cu toate acestea, acest lucru nu se aplică pentru numerele în care r e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {re} (s)<1}
, deoarece dacă interpretăm această funcție ca o sumă infinită, suma nu converge. În schimb, se deosebește. Aceasta înseamnă că, în loc să se apropie de o valoare specifică, va deveni infinit de mare. Riemann a folosit continuarea analitică, astfel încât să poată da o valoare tuturor numerelor, cu excepția 1. ( 1 ) {\displaystyle \Zeta (1)}
reprezintă seria armonică, care diferă, ceea ce înseamnă că suma nu se apropie de niciun număr specific.
Leonhard Euler a descoperit primele rezultate despre seria pe care această funcție o reprezintă în secolul al XVIII-lea. El a dovedit că funcția Zeta poate fi scrisă ca un produs infinit al numerelor prime. În notație matematică:
ζ ( s ) = ∏ p | prim 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
