Ergodicitet

Ergodicitet forekommer i brede omgivelser inden for fysik og matematik. Alle disse indstillinger er forenet af en fælles matematisk beskrivelse, den af det målebevarende dynamiske system. En uformel beskrivelse af dette og en definition af ergodicitet med hensyn til det gives umiddelbart nedenfor. Dette efterfølges af en beskrivelse af ergodicitet i stokastiske processer. De er en og samme, på trods af at de bruger dramatisk forskellige notationer og sprog. En gennemgang af ergodicity i fysik og i geometri følger. I alle tilfælde er begrebet ergodicitet nøjagtig det samme som for dynamiske systemer; der er ingen forskel, bortset fra udsigter, notation, tankegang og de tidsskrifter, hvor resultaterne offentliggøres.

Målbevarende dynamiske systemerrediger

den matematiske definition af ergodicitet sigter mod at fange almindelige hverdagsideer om tilfældighed. Dette inkluderer ideer om systemer, der bevæger sig på en sådan måde, at (til sidst) fylder hele rummet, såsom diffusion og brunisk bevægelse, samt sund fornuft om blanding, såsom blanding af maling, drikkevarer, madlavningsingredienser, industriel procesblanding, røg i et røgfyldt rum, støvet i Saturns ringe og så videre. For at give et solidt matematisk fodfæste begynder beskrivelser af ergodiske systemer med definitionen af et målebevarende dynamisk system. Dette er skrevet som (H, A, H, T). {\displaystyle (S, {\mathcal {A}},\mu, T).}

sæt {\displaystyle}

forstås som det samlede rum, der skal fyldes: blandeskålen, det røgfyldte rum osv. Målestokken {\displaystyle \ mu }

forstås at definere det naturlige rumfang i rummet

og dets underrum. Samlingen af underrum er betegnet med en {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, og størrelsen af en given delmængde A L {\displaystyle a\delmængde s}

er L ( a ) {\displaystyle \mu (a)}

; størrelsen er dens volumen. Naivt kunne man forestille sig en {\displaystyle {\mathcal {A}}}

at være strømsættet af {\displaystyle}

; dette fungerer ikke helt, da ikke alle undergrupper af et rum har et volumen (berømt Banach-Tarski-paradokset). Således konventionelt a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

består af de målbare undergrupper—de undergrupper, der har et volumen. Det anses altid for at være et Borelsæt—samlingen af undergrupper, der kan konstrueres ved at tage kryds, fagforeninger og sætkomplementer; disse kan altid tages for at være målbare.

systemets tidsudvikling er beskrevet af et kort T: T:X\to K}

.

, dens kort T ( A) {\displaystyle T(A)}

vil generelt være en deformeret version af en {\displaystyle A}

– den er presset eller strakt, foldet eller skåret i stykker. Matematiske eksempler inkluderer bagerkortet og hesteskokortet, begge inspireret af brødfremstilling. Sættet T(a) {\displaystyle T(A)}

skal have samme volumen som a {\displaystyle A}

; klemningen / strækningen ændrer ikke rummets rumfang, kun dens fordeling. Et sådant system er” målebevarelse ” (områdebevarelse, volumenbevarelse).

en formel vanskelighed opstår, når man forsøger at forene mængden af sæt med behovet for at bevare deres størrelse under et kort. Problemet opstår, fordi flere forskellige punkter i domænet for en funktion generelt kan kortlægges til det samme punkt i dets rækkevidde; det vil sige, at der kan være en k {\displaystyle k \ nek y}

med T (H ) = T (y) {\displaystyle T (H)=T (y)}

. Værre er, at et enkelt punkt er

har ingen størrelse. Disse vanskeligheder kan undgås ved at arbejde med det inverse kort T − 1: A List a {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal {A}}\til {\mathcal {A}}}

; det vil kortlægge en given delmængde a {\displaystyle A \ delmængde}

til de dele, der blev samlet for at gøre det: disse dele er T − 1(A) bogstav a {\displaystyle T^{-1} (A)\i {\mathcal {a)}}}

. Det har den vigtige egenskab at ikke miste overblikket over, hvor tingene kom fra. Stærkere har den den vigtige egenskab, at enhver (målebevarende) kortlægger en Lot a {\displaystyle {\mathcal {A}}\til {\mathcal {A}}}

er den inverse af nogle kort, der hedder {\displaystyle ‘S\til’}

. Den korrekte definition af et volumenbevarende kort er et, for hvilket prisT (a) = prisT (T − 1 (A )) {\displaystyle \mu (a)=\mu (T^{-1}(A))}

fordi T − 1 ( a ) {\displaystyle T^{-1} (A)}

beskriver alle de stykker-dele, som a {\displaystyle a}

kom fra.

man er nu interesseret i at studere systemets tidsudvikling. Hvis et sæt en List a {\displaystyle A \ in {\mathcal {A}}}

til sidst kommer til at udfylde alle {\displaystyle h}

over en lang periode ( det vil sige, Hvis T n(a ) {\displaystyle T^{n} (A))}

nærmer sig alle {\displaystyle N}

for store n {\displaystyle n}

), systemet siges at være ergodisk. Hvis hvert sæt a {\displaystyle A}

opfører sig på denne måde, er systemet et konservativt system, placeret i modsætning til et dissipativt system, hvor nogle undergrupper a {\displaystyle a}

vandre væk, aldrig at blive returneret til. Et eksempel ville være vand, der løber ned ad bakke – når det er kørt ned, vil det aldrig komme op igen. Søen, der dannes i bunden af denne flod, kan dog blive godt blandet. Den ergodiske nedbrydningssætning siger, at hvert ergodisk system kan opdeles i to dele: den konservative del og den dissipative del.

blanding er en stærkere erklæring end ergodicitet. Blanding beder om, at denne ergodiske egenskab skal holdes mellem to sæt a, b {\displaystyle A, B}

, og ikke kun mellem nogle sæt a {\displaystyle a}

og

. Det vil sige givet et hvilket som helst to sæt A, B-bogstav a {\displaystyle A , B\i {\mathcal {A}}}

, et system siges at være (topologisk) blanding , hvis der er et heltal N {\displaystyle N}

sådan, at der for alle A-værdier er en , b {\displaystyle A,B}

og N > n {\displaystyle N>n}

, man har den T N ( A) til B til {\displaystyle t^{n}(a)\cap b\til \varnothing }

. Her er det, at {\displaystyle \cap }

betegner sæt kryds og larp {\displaystyle \varnothing }

er det tomme sæt. Andre forestillinger om blanding inkluderer stærk og svag blanding, der beskriver forestillingen om, at de blandede stoffer blandes overalt, i lige stor grad. Dette kan være ikke-trivielt, som praktisk erfaring med at forsøge at blande klæbrige, klæbrige stoffer viser.

Ergodic processesEdit

ovenstående diskussion appellerer til en fysisk følelse af et volumen. Lydstyrken behøver ikke bogstaveligt talt være en del af 3D-rummet; det kan være noget abstrakt volumen. Dette er generelt tilfældet i statistiske systemer, hvor volumenet (foranstaltningen) er givet af sandsynligheden. Det samlede volumen svarer til Sandsynlighed en. Denne korrespondance fungerer, fordi sandsynlighedsteoriens aksiomer er identiske med målteoriens; disse er Kolmogorov-aksiomerne.

ideen om et volumen kan være meget abstrakt. Overvej for eksempel sættet med alle mulige møntflips: sættet med uendelige sekvenser af hoveder og haler. Tildeling af volumen på 1 til dette rum er det klart, at halvdelen af alle sådanne sekvenser starter med hoveder, og halvdelen starter med haler. Man kan skære dette volumen op på andre måder: man kan sige “Jeg er ligeglad med den første n – 1 {\displaystyle n-1}

møntflips; men jeg vil have n {\displaystyle n}

‘at være hoveder, og så er jeg ligeglad med, hvad der kommer efter det”. Dette kan skrives som Sættet (prit, prit, prit , h, prit, prit ) {\displaystyle (*, \ cdots,*, h,*, \ cdots )}

hvor *}

er “ligeglad” og h {\displaystyle h}

er “hoveder”. Volumenet af dette rum er igen (selvfølgelig!) halvdelen.

ovenstående er nok til at opbygge et målebevarende dynamisk system i sin helhed. Sættene af h {\displaystyle h}

eller t {\displaystyle t}

forekommer i n {\displaystyle n}

‘th sted kaldes cylinder sæt. Sættet med alle mulige kryds, fagforeninger og komplement til cylindersætene danner derefter Borelsættet A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

defineret ovenfor. Formelt set danner cylindersætene basen for en topologi på rummet

af alle mulige uendelige længde møntflips. Måletor {\displaystyle \ mu }

har alle de fornuftige egenskaber, man kunne håbe på: målingen af et cylindersæt med h {\displaystyle h}

I m {\displaystyle m}

‘th position, og t {\displaystyle t}

i k {\displaystyle k}

‘stillingen er naturligvis 1/4, og så videre. Disse sunde fornuft egenskaber fortsætter for set-komplement og set-union: alt undtagen h {\displaystyle h}

og t {\displaystyle t}

på steder m {\displaystyle m}

og K {\displaystyle k}

selvfølgelig har volumen på 3/4. Alt sammen danner disse aksiomer af en sigma-additiv foranstaltning; målebevarende dynamiske systemer bruger altid Sigma-additive foranstaltninger. For møntflips kaldes denne foranstaltning Bernoulli-foranstaltningen.

til møntflip-processen, tidsevolutionsoperatøren T {\displaystyle T}

er skiftoperatøren, der siger “smid den første møntflip, og hold resten”. Hvis ( 1, 2 , 2 ) {\displaystyle ({1}, {2},\cdots )}

er en sekvens af møntflips, så er T ( 1, 2 , l ) = ( 2, 3 , l) {\displaystyle T ({1}, l_{2},\cdots) =({2}, {3},\cdots )}

. Foranstaltningen er naturligvis skift-invariant: så længe vi taler om nogle sæt en Lotte a {\displaystyle A \ in {\mathcal {A}}}

hvor den første møntflip 1 = Lotte {\displaystyle S_{1}=*}

er værdien “ligeglad”, så ændres lydstyrken ( a ) {\displaystyle \mu (a)}

ændres ikke: prisT ( a ) = prisT ( T ( a ) ) {\displaystyle \mu (a)=\mu (T(a)) {\displaystyle \ mu (a) = \ mu (T (A)))}

. For at undgå at tale om den første møntflip er det lettere at definere T-1 {\displaystyle T^{-1}}

som indsættelse af en” ligeglad ” − værdi i den første position: T-1 ( 1 , 2, 2) = (1 , 2 , 2 ) {\displaystyle T^{-1} ({1}, {2}, \ cdots) =(*, 1{1},2},\cdots) = ( * , 1{1}, 2}, \ cdots )}

. Med denne definition har man naturligvis den list (T-1 (a)) = list (a) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (a))}

uden begrænsninger på en {\displaystyle A}

. Dette er igen et eksempel på hvorfor T-1 {\displaystyle T^{-1}}

anvendes i de formelle definitioner.

ovenstående udvikling tager en tilfældig proces, Bernoulli-processen , og konverterer den til et målebevarende dynamisk system ( H , A , L, T ) . {\displaystyle (S, {\mathcal {A}},\mu, T).}

den samme konvertering (ækvivalens, isomorfisme) kan anvendes på enhver stokastisk proces. Således er en uformel definition af ergodicitet, at en sekvens er ergodisk, hvis den besøger alle

; sådanne sekvenser er “typiske” for processen. En anden er, at dens statistiske egenskaber kan udledes af en enkelt, tilstrækkelig lang tilfældig prøve af processen (således ensartet prøveudtagning af alle {\displaystyle}

), eller at enhver samling af tilfældige prøver fra en proces skal repræsentere de gennemsnitlige statistiske egenskaber for hele processen (dvs.prøver, der er trukket ensartet fra {\displaystyle}

er repræsentative for

som helhed.) I det foreliggende eksempel er en sekvens af møntflips, hvor halvdelen er hoveder, og halvdelen er haler, en “typisk” sekvens.

der er flere vigtige punkter, der skal gøres om Bernoulli-processen. Hvis man skriver 0 for haler og 1 For hoveder, får man sæt af alle uendelige strenge af binære cifre. Disse svarer til basen-to udvidelse af reelle tal. Eksplicit, givet en sekvens (1 , 2, liter ) {\displaystyle (1{1}, {2},\cdots )}

, det tilsvarende reelle tal er y = LITS n = 1 LITS n 2 n {\displaystyle y= \ sum _{n=1}^{\infty } {\frac {lis_{n}}{2^{n}}}}

erklæringen om, at Bernoulli-processen er ergodisk, svarer til udsagnet om, at de reelle tal er ensartet fordelt. Sættet af alle sådanne strenge kan skrives på forskellige måder: { h, t} Larv = { h , t } Larv = { 0, 1 } Larv = 2 Larv = 2 N . {\displaystyle \{h, t\}^{\infty }=\{h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}

dette sæt er Cantor-Sættet, undertiden kaldet Cantor-rummet for at undgå forvirring med Cantor-funktionen C (H) = liter n = 1 liter n 3 n {\displaystyle C(H)= \ sum _{n=1}^{\infty } {\frac {H_{n}}{3^{n}}}}

i sidste ende er disse alle “det samme”.

Cantor-Sættet spiller nøgleroller i mange grene af matematik. I rekreativ matematik understøtter den periodedobling fraktaler; i analyse vises det i en lang række sætninger. En nøgle til stokastiske processer er nedbrydning, der siger, at enhver stationær proces kan nedbrydes til et par ukorrelerede processer, den ene deterministisk, og den anden er en glidende gennemsnitsproces.

Ornstein isomorfisme sætning siger, at enhver stationær stokastisk proces svarer til en Bernoulli-ordning (en Bernoulli-proces med en n-sidet (og muligvis uretfærdig) spil dø). Andre resultater inkluderer, at ethvert ikke-dissipativt ergodisk system svarer til Markov kilometertæller, undertiden kaldet en “tilføjelsesmaskine”, fordi det ligner elementærskoletilsætning, det vil sige at tage en base-n-cifret sekvens, tilføje en og udbrede bærebitene. Beviset for ækvivalens er meget abstrakt; at forstå resultatet er ikke: ved at tilføje et på hvert trin, besøges enhver mulig tilstand af kilometertælleren, indtil den ruller over og starter igen. Ligeledes besøger ergodiske systemer hver stat ensartet og går videre til den næste, indtil de alle er blevet besøgt.

systemer, der genererer (uendelige) sekvenser af N-bogstaver, studeres ved hjælp af symbolsk dynamik. Vigtige særlige tilfælde omfatter subshifts af finite type og sofic systemer.

Ergodicitet i fysikredit

fysiske systemer kan opdeles i tre kategorier: klassisk mekanik, der beskriver maskiner med et begrænset antal bevægelige dele, kvantemekanik, der beskriver atomernes struktur og statistisk mekanik, der beskriver gasser, væsker, faste stoffer; Dette inkluderer kondenseret materiefysik. Sagen om klassisk mekanik diskuteres i næste afsnit om ergodicitet i geometri. Hvad angår kvantemekanik, selvom der er en opfattelse af kvantekaos, er der ingen klar definition af ergodocity; hvad dette kan være diskuteres varmt. Dette afsnit gennemgår ergodicitet i statistisk mekanik.

ovenstående abstrakte definition af et volumen er påkrævet som den passende indstilling for definitioner af ergodicitet i fysik. Overvej en beholder med væske eller gas eller plasma eller anden samling af atomer eller partikler. Hver eneste partikel i {\displaystyle I}}

har en 3D-position og en 3D-hastighed og beskrives således med seks tal: et punkt i seksdimensionelt rum R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}

hvis der er n {\displaystyle N}

af disse partikler i systemet, kræver en komplet beskrivelse 6 n {\displaystyle 6n}

tal. Ethvert system er kun et enkelt punkt i R 6 N . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}

det fysiske system er ikke alle af R 6 N {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}}

, selvfølgelig; hvis det er en kasse med bredde, højde og længde V bogstav H bogstav L {\displaystyle V\gange H\gange L}

så er der et punkt i ( V bogstav H L. 3 ) n . {\displaystyle (B \ gange h \ gange L \gange \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}

hastigheden kan heller ikke være uendelig: de skaleres af en eller anden sandsynlighedsmåling, for eksempel boltsmann–Gibbs-måling for en gas. Ikke desto mindre, for N {\displaystyle N}

tæt på Avogadros nummer er dette naturligvis et meget stort rum. Dette rum kaldes det kanoniske ensemble.

et fysisk system siges at være ergodisk, hvis et repræsentativt punkt i systemet til sidst kommer til at besøge hele systemets volumen. For ovenstående eksempel indebærer dette, at et givet atom ikke kun besøger alle dele af kassen med H med L {\displaystyle med \ gange h \ gange L}

med ensartet sandsynlighed, men det gør det med enhver mulig hastighed, med Sandsynlighed givet af Boltsmann-fordelingen for den hastighed (så ensartet med hensyn til dette mål). Den ergodiske hypotese siger, at fysiske systemer faktisk er ergodiske. Flere tidsskalaer er på arbejde: gasser og væsker ser ud til at være ergodiske over korte tidsskalaer. Ergodicitet i et fast stof kan ses med hensyn til vibrationstilstande eller fononer, da naturligvis atomerne i et fast stof ikke udveksler placeringer. Briller udgør en udfordring for den ergodiske hypotese; tidsskalaer antages at være i millioner af år, men resultaterne er omstridte. Spinbriller giver særlige vanskeligheder.

formelle matematiske beviser for ergodicitet i statistisk fysik er svære at komme med; de fleste højdimensionelle mange-kropssystemer antages at være ergodiske uden matematisk bevis. Undtagelser omfatter den dynamiske billard, som model billardkugle-type kollisioner af atomer i en ideel gas eller plasma. Den første hard-sphere ergodicity sætning var for Sinai ‘ s billard, der betragter to bolde, en af dem taget som stationær, ved oprindelsen. Når den anden bold kolliderer, bevæger den sig væk; anvendelse af periodiske randbetingelser vender den derefter tilbage for at kollidere igen. Ved appel til homogenitet kan denne tilbagevenden af den “anden” bold i stedet anses for at være “bare et andet atom”, der er kommet inden for rækkevidde, og bevæger sig for at kollidere med atomet ved oprindelsen (som kan anses for at være bare “ethvert andet atom”.) Dette er et af de få formelle beviser, der findes; der er ingen ækvivalente udsagn f.eks. for atomer i en væske, der interagerer via van Der Vaals kræfter, selvom det ville være sund fornuft at tro, at sådanne systemer er ergodiske (og blanding). Mere præcise fysiske argumenter kan dog fremsættes.

Ergodicity in geometryEdit

Ergodicity er et bredt spredt fænomen i studiet af Riemannian manifolds. En hurtig sekvens af eksempler, fra simpelt til kompliceret, illustrerer dette punkt. Alle nedenstående systemer har vist sig at være ergodiske via strenge formelle beviser. Den irrationelle rotation af en cirkel er ergodisk: et punkts bane er sådan, at hvert andet punkt i cirklen til sidst besøges. Sådanne rotationer er et specielt tilfælde af intervalludvekslingskortet. Beta-udvidelserne af et tal er ergodiske: betaudvidelser af et reelt tal udføres ikke i base-N, men i base-length {\displaystyle \ beta }

for nogle kur . {\displaystyle \ beta .}

den reflekterede version af beta-udvidelsen er teltkort; der er en række andre ergodiske kort over enhedsintervallet. Flytning til to dimensioner er den aritmetiske billard med irrationelle vinkler ergodisk. Man kan også tage et fladt rektangel, klemme det, klippe det og samle det igen; dette er det tidligere nævnte bagerkort. Dens punkter kan beskrives ved sæt af bi-uendelige strenge i to bogstaver, det vil sige at strække sig til både venstre og højre; som sådan ser det ud som to kopier af Bernoulli-processen. Hvis man deformerer sidelæns under klemningen, får man Arnolds katkort. På de fleste måder er kattekortet prototypisk af enhver anden lignende transformation.

for ikke-flade overflader har man, at den geodesiske strøm af enhver negativt buet kompakt Riemann-overflade er ergodisk. En overflade er “kompakt” i den forstand, at den har et endeligt overfladeareal. Den geodesiske strømning er en generalisering af ideen om at bevæge sig i en “lige linje” på en buet overflade: sådanne lige linjer er geodesik. Et af de tidligste undersøgte tilfælde er Hadamards billard, der beskriver geodesik på Bolseoverfladen, topologisk svarende til en doughnut med to huller. Ergodicitet kan demonstreres uformelt, hvis man har en sharpie og et rimeligt eksempel på en to-hulet doughnut: starter hvor som helst, i enhver retning, forsøger man at tegne en lige linje; linealer er nyttige til dette. Det tager ikke så lang tid at opdage, at man ikke kommer tilbage til udgangspunktet. (Selvfølgelig kan skæv tegning også redegøre for dette; derfor har vi bevis.)

disse resultater strækker sig til højere dimensioner. Den geodesiske strømning til negativt buede kompakte Riemannian manifolds er ergodisk. Et klassisk eksempel på dette er Anosov-strømmen, som er horocycle-strømmen på en hyperbolsk manifold. Dette kan ses som en slags Hopf-fibration. Sådanne strømme forekommer almindeligvis i klassisk mekanik, som er studiet i fysik af finite-dimensionelle bevægelige maskiner, f. eks. dobbelt pendul og så videre. Klassisk mekanik er konstrueret på symplektiske manifolder. Strømmen på sådanne systemer kan dekonstrueres til stabile og ustabile manifolder; som en generel regel, når dette er muligt, resulterer kaotisk bevægelse. At dette er generisk kan ses ved at bemærke, at cotangentbundtet af en Riemannian manifold er (altid) en symplektisk manifold; den geodesiske strømning er givet ved en løsning på Hamilton–Jacobi-ligningerne for denne manifold. Med hensyn til de kanoniske koordinater ( k , p ) {\displaystyle (k, p)}

på cotangentmanifolden er Hamiltonian eller energi givet af H = 1 2 i j g i j ( K ) p I P J {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{IJ}(k)p_{i}p_{j}}

med g i J {\displaystyle g^{ij}}

den (inverse af) metriske tensor og p i {\displaystyle p_{i}}

momentum. Ligheden med den kinetiske energi E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

af en punktpartikel er næppe tilfældig; dette er hele pointen med at kalde sådanne ting “energi”. I denne forstand er kaotisk opførsel med ergodiske baner et mere eller mindre generisk fænomen i store geometriområder.

Ergodicitetsresultater er tilvejebragt i translationsoverflader, hyperbolske grupper og systolisk geometri. Teknikker inkluderer undersøgelse af ergodiske strømme, det Hopf nedbrydning, og Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo sætning. En vigtig klasse af systemer er aksiom a-systemer.

der er opnået en række både klassificerings-og “anti-klassificeringsresultater”. Ornstein isomorfisme sætning gælder også her; igen siger det, at de fleste af disse systemer er isomorfe for nogle Bernoulli-ordninger. Dette binder temmelig pænt disse systemer tilbage i definitionen af ergodicitet givet til en stokastisk proces i det foregående afsnit. Anti-klassificeringsresultaterne angiver, at der er mere end et uendeligt antal ulige ergodiske målebevarende dynamiske systemer. Dette er måske ikke helt en overraskelse, da man kan bruge punkter i Cantor-sættet til at konstruere lignende, men forskellige systemer. Se målebevarende dynamisk system for en kort undersøgelse af nogle af anti-klassificeringsresultaterne.

Historisk udviklingRediger

ideen om ergodicitet blev født inden for termodynamik, hvor det var nødvendigt at relatere de enkelte tilstande af gasmolekyler til temperaturen af en gas som helhed og dens tidsudvikling deraf. For at gøre dette var det nødvendigt at angive, hvad det præcist betyder for gasser at blande godt sammen, så termodynamisk ligevægt kunne defineres med matematisk strenghed. Når teorien var veludviklet i fysik, blev den hurtigt formaliseret og udvidet, så ergodisk teori længe har været et uafhængigt område af matematik i sig selv. Som en del af denne progression eksisterer mere end en lidt anden definition af ergodicitet og mange fortolkninger af begrebet på forskellige områder.

for eksempel indebærer udtrykket i klassisk fysik, at et system opfylder den ergodiske hypotese om termodynamik, hvor det relevante tilstandsrum er position og momentumrum. I dynamiske systemteori anses statsrummet normalt for at være et mere generelt faserum. På den anden side i kodningsteori er tilstandsrummet ofte diskret i både tid og tilstand med mindre sammenhængende struktur. På alle disse områder kan ideerne om tidsgennemsnit og ensemblegennemsnit også bære ekstra bagage—som det er tilfældet med de mange mulige termodynamisk relevante partitionsfunktioner, der bruges til at definere ensemblegennemsnit i fysik, tilbage igen. Som sådan tjener måleteoretisk formalisering af konceptet også som en samlende disciplin.

Etymologidit

udtrykket ergodisk menes almindeligvis at stamme fra de græske ord “” (Ergon: “arbejde”) og””””””””), som valgt af Ludvig boltsmann, mens han arbejdede på et problem inden for statistisk mekanik. Samtidig hævdes det også at være en afledning af ergomonode, opfundet af Boltsmann i et relativt uklart papir fra 1884. Etymologien synes også at være anfægtet på andre måder.