her er nogle grundlæggende definitioner og egenskaber af linjer og vinkler i geometri. Disse begreber testes i mange konkurrencedygtige optagelsesprøver som GMAT, GRE, CAT.
linjesegment: et linjesegment har to endepunkter med en bestemt længde.
Ray: en stråle har et slutpunkt og strækker sig uendeligt i en retning.
lige linje: En lige linje har hverken start-eller slutpunkt og er af uendelig længde.
akut vinkel: vinklen, der er mellem 0 liter og 90 liter, er en spids vinkel, kur A i nedenstående figur.
stump vinkel: vinklen, der er mellem 90 og 180, er en stump vinkel, l B som vist nedenfor.
ret vinkel: den vinkel, der er 90 poler, er en ret vinkel, poler C som vist nedenfor.
lige vinkel: Vinklen, der er 180 liter, er en lige vinkel, en AOB i figuren nedenfor.
supplerende vinkler:
i figuren ovenfor kaldes Kral AOC + Kral = Kral AOB = 180 Kral
hvis summen af to vinkler er 180 Kral, så kaldes vinklerne supplerende vinkler.
to rette vinkler supplerer altid hinanden.
parret af tilstødende vinkler, hvis sum er en lige vinkel, kaldes et lineært par.
komplementære vinkler:
∠COA + list AOB = 90 list
hvis summen af to vinkler er 90 list, kaldes de to vinkler komplementære vinkler.
tilstødende vinkler:
vinklerne, der har en fælles arm og et fælles toppunkt, kaldes tilstødende vinkler.
i figuren ovenfor er der en vinkel, der støder op til hinanden. Deres fælles arm er OA og fælles toppunkt er ‘O’.
lodret modsatte vinkler:
når to linjer skærer hinanden, kaldes vinklerne modsat hinanden ved skæringspunktet (toppunktet) lodret modsatte vinkler.
i figuren ovenfor er
h og y to krydsende linjer.
Lira A og lira C laver et par lodret modsatte vinkler og
Lira B og lira D laver et andet par lodret modsatte vinkler.
vinkelrette linjer: når der er en ret vinkel mellem to linjer, siges linjerne at være vinkelret på hinanden.
her siges linjerne OA og OB at være vinkelret på hinanden.
parallelle linjer:
her er A og B to parallelle linjer, krydset af en linje p.
linjen p kaldes en tværgående, det, der skærer to eller flere linjer (ikke nødvendigvis parallelle linjer) på forskellige punkter.
som det ses i figuren ovenfor, når en tværgående skærer to linjer, dannes 8 vinkler.
lad os overveje detaljerne i en tabelform for nem reference.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Vinkler | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| indvendige vinkler på samme side af tværgående | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
når en tværgående skærer to parallelle linjer,
- de tilsvarende vinkler er ens.
- de lodret modsatte vinkler er ens.
- de alternative indvendige vinkler er ens.
- de alternative udvendige vinkler er ens.
- parret af indvendige vinkler på samme side af tværgående er supplerende.
vi kan sige, at linjerne er parallelle, hvis vi kan verificere mindst en af de ovennævnte betingelser.
lad os se på nogle eksempler.
løst eksempler
eksempel 1. Hvis linjerne m og n er parallelle med hinanden, skal du bestemme vinklerne kr.5 og kr. 7.
løsning:
bestemmelse af et par kan gøre det muligt at finde alle de andre vinkler. Følgende er en af de mange måder at løse dette spørgsmål på.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 da de er lodret modsatte vinkler.
Derfor, ∠4 = 125°
∠4 er en af de indvendige vinkler på samme side af tværgående.
Derfor, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 siden lodret modsatte vinkler.
derfor, ∠5 = ∠7 = 55°
Bemærk: Nogle gange kan linjernes parallelle egenskab ikke nævnes i problemstillingen, og linjerne kan synes at være parallelle med hinanden; men de kan ikke være det. Det er vigtigt at afgøre, om to linjer er parallelle ved at verificere vinklerne og ikke ved udseende.
eksempel 2. Hvis kr. a = 120 kr. og kr.H = 60 kr. Find ud af, om linjerne er parallelle.
løsning:
givet krysantemum a = 120 krysantemum og krysantemum h = 60 krysantemum.
da tilstødende vinkler er supplerende, er kr. a + kr. B = 180°
120 + ∠B = 180 liter B = 60 liter.
det er givet, at KRH = 60 KRH. Vi kan se, at kr B og kr H er udvendige alternative vinkler.
når udvendige alternative vinkler er ens, er linjerne parallelle.
derfor er linjerne p og K parallelle.
vi kan bekræfte dette ved hjælp af andre vinkler.
hvis Karr H = 60 Karr, Karr E = 120 Karr, da disse to er på en lige linje, er de supplerende.
Nu, Kr.A = Kr. E = 120 Kr. A og e er tilsvarende vinkler.
når tilsvarende vinkler er ens, er linjerne parallelle.
ligeledes kan vi bevise at bruge andre vinkler også.
eksempel 3. Hvis p og K er to linjer parallelt med hinanden og p = 50 p, skal du finde alle vinklerne i nedenstående figur.
løsning:
det er givet kr.e = 50 kr.
de to linjer er parallelle
.
da kr .E og kr. A er tilsvarende vinkler, kr. a = 50 kr.
ret de lodret modsatte vinkler er ens.
da kr.A og kr. C er lodret modsat hinanden, kr. C = 50 kr.
da kr.E og kr. G er lodret modsat hinanden, kr. G = 50 kr.
turt de indvendige vinkler på samme side af tværgående er supplerende.
kr E + kr D = 180 kr 50 + kr D = 180 kr D = 130°
→ ∠d og B er lodret modsatte vinkler. Så Kr B = 130 Kr.