tre dimensionerrediger
Rumkurve i 3D. positionsvektoren r parameteriseres af en skalar t.ved r = A er den røde linje tangenten til kurven, og det blå plan er normalt for kurven.
i tre dimensioner kan ethvert sæt tredimensionelle koordinater og deres tilsvarende basisvektorer bruges til at definere placeringen af et punkt i rummet—alt efter hvad der er det enkleste for den aktuelle opgave kan bruges.
almindeligvis bruger man det velkendte kartesiske koordinatsystem eller undertiden sfæriske polære koordinater eller cylindriske koordinater:
r ( t ) ≡ f ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ f ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ f ( r , θ , z ) ≡ f ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{justeret}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\kæmpe )} +å(t)\mathbf {\hat {e}} _{å},\\\end{aligned}}}
hvor t er en parameter på grund af deres rektangulære eller cirkulære symmetri. Disse forskellige koordinater og tilsvarende basisvektorer repræsenterer den samme positionsvektor. Mere generelle krøllede koordinater kunne bruges i stedet og er i sammenhænge som kontinuummekanik og generel relativitet (i sidstnævnte tilfælde har man brug for en ekstra tidskoordinat).
n dimensioneredit
lineær algebra muliggør abstraktion af en n-dimensionel positionsvektor. En positionsvektor kan udtrykkes som en lineær kombination af basisvektorer:
r = kurvei = 1 n i e i = 1 e 1 + 2 e 2 + kurvei = n n n . {\displaystyle \ mathbf {r} = \ sum _ {i=1}^{n}H_{i}\mathbf {e} _{i}=H_{1}\mathbf {e} _{1}+H_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +H_{n}\mathbf {e} _{n}.}
sættet med alle positionsvektorer danner positionsrum (et vektorrum, hvis elementer er positionsvektorerne), da positioner kan tilføjes (vektortilsætning) og skaleres i længden (skalær multiplikation) for at opnå en anden positionsvektor i rummet. Begrebet ” rum ” er intuitivt, da hver HSI (i = 1, 2, …, n) kan have en hvilken som helst værdi, definerer værdisamlingen et punkt i rummet.
dimensionen af positionsrummet er n (også betegnet dim(R) = n). Koordinaterne for vektoren r i forhold til basisvektorerne ei er HSI. koordinatvektoren danner koordinatvektoren eller n-tuplen (H1, H2, …, HN).
hver koordinat kan parameteriseres et antal parametre t. En parameter (t) beskriver en buet 1D-sti, to parametre(t1, t2) beskriver en buet 2D-overflade, tre(t1, t2, t3) beskriver et buet 3D-rumfang osv.
det lineære span for et basissæt B = {e1, e2,…, en} er lig med positionsrummet R, betegnet span (B) = R.