når du bruger matematiske symboler til at beskrive Riemann-funktionen, er den repræsenteret som en uendelig serie:
Karin ( s) = Karin n = 1 Karin 1 n s , R e ( s) > 1. {\displaystyle \Seta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\firkant \mathrm {Re} (s)>1.}
hvor R e (s) {\displaystyle \ mathrm {Re} (s)}
er den reelle del af det komplekse tal s {\displaystyle s}
. For eksempel, hvis s = A + i b {\displaystyle s=a+ib}
, så r e ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(hvor jeg 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
dette gør en sekvens. De første par udtryk i denne sekvens ville være
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
og så videre
dette gælder dog ikke for tal, hvor r e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {re} (s)<1}
, da hvis vi fortolker denne funktion som en uendelig sum, konvergerer summen ikke. I stedet afviger det. Det betyder, at i stedet for at nærme sig en bestemt værdi, bliver den uendeligt stor. Riemann brugte analytisk fortsættelse, så han kunne give en værdi til alle tal undtagen 1. Larsen (1)(1)}
repræsenterer den harmoniske serie, der afviger, hvilket betyder, at summen ikke nærmer sig noget specifikt tal.
Leonhard Euler opdagede de første resultater om serien, som denne funktion repræsenterer i det attende århundrede. Han beviste, at funktionen kan skrives som et uendeligt produkt af primtal. I matematisk notation:
LIT ( s) = lit p / prime 1 1 − p − s {\displaystyle \Seta (s)= \ prod _{p / {\tekst{prime}}} {\frac {1}{1-p^{- s}}}}
