5.1 introduktion
væskemekanik generelt og grænselag i særdeleshed er matematisk komplekse. En sådan kompleksitet til tider fremmer ikke kun studiet og forståelsen af væsker, men fremmer også den anvendte matematikdisciplin. Matematik fortsætter med at give mulighed for meget nødvendige konklusioner, der skal drages fra flere discipliner. Til dette formål fortsætter adskillige matematikere med at yde betydelige bidrag til disciplinen med væskedynamik.
Grænselagsproblemer involverer en hurtig ændring i værdien af en fysisk variabel over et begrænset område af rummet, og de udgør en bestemt klasse af enestående forstyrrelsesproblemer. I denne henseende involverer næsten alle grænselagsproblemer differentialligninger, hvor det højeste afledte udtryk multipliceres med en lille parameter. Også, grænselaget betragtes altid som semiinfinit, hovedårsagen er frihed fra at skulle overveje slutgrænseeffekter, hvor alle uovervindelige og tænkelige kan forventes. At betragte en uendelig overflade kan være så vanskelig at distrahere fra undersøgelsens hovedinteresse i første omgang. Når det er sagt, er der intet, der forbyder den yngre generation af forskere at konfrontere dette problem i betragtning af deres fordel ved eksponering for relativt større viden end foregående generationer.
Hydro – eller væskedynamik styres af ikke-lineære partielle differentialligninger (PDE ‘ er), som er meget vanskelige at løse analytisk. Så vidt vi ved, findes der ingen generel lukket form løsning på disse ligninger. Grænselagets styrende ligninger er primært baseret på en forenkling af systemet med andenordens ikke-lineære partielle differentialligninger (PDE ‘ er), som er kendt som Navier–Stokes (NS) bevægelsesligninger for viskøse strømme. Den forenkling, der tilbydes af Prandtl i 1908, kaldes generelt Prandtl grænselag (PBL) ligninger. I modsætning til NS-ligningerne, som er elliptiske, er grænselagsligninger parabolske, og de teknikker, der bruges til at løse dem, er baseret på lovene om lighed i grænselagstrømme.
tre primære metoder kan bruges til at løse grænselagsproblemer: ligheden eller differentieringsmetoden (mest almindelige tilgang), den integrerede metode og den fulde numeriske løsningsmetode . Mange specielle tilfælde af ikke-lineære PDE ‘ er har ført til passende ændringer i variabler eller strækningstransformationer, afhængigt af den opgave, de er beregnet til at udføre. Nogle transformationer lineariserer det pågældende ligningssystem, mens andre omdanner systemet til en, for hvilken der findes en løsning. De transformationer, der reducerer et system af PDE ‘er til et system med almindelige differentialligninger (Ode’ er) ved at udnytte en iboende symmetri af problemet betragtes ofte som “lighedstransformationer.”Lighedsmetoden er den oprindelige Blasius-metode, der blev udviklet til at løse grænselagsproblemer analytisk. Blasius introducerede og anvendte en uafhængig variabel kaldet lighedsvariablen til Prandtls grænselagligninger . Dette var baseret på den forudsætning, at hastigheden er geometrisk ens langs strømningsretningen, hvor bevarings-PDE ‘er konverteres til Ode’ er. Lighedstransformationen indfanger grænselagets vækst og forenkler analysen og løsningen af de styrende ligninger betydeligt. Fundet af en lighedsvariabel, der er egnet til, at transformationen finder sted, er en kunst snarere end en videnskab, og det kræver god indsigt i problemet. Antallet af uafhængige variabler i PDE ‘ erne konverteres omhyggeligt til en enkelt uafhængig variabel (kendt som lighedsvariablen). De oprindelige indledende randbetingelser omdannes også lige til passende randbetingelser i den nye kombinerede variabel.
lighedstransformationsteknikken er et uundværligt redskab til analyse af væskemekanisk adfærd generelt og især grænselagsprocesser. Asymptotiske teknikker giver os mulighed for at gøre simpelt et komplekst system, som derefter giver mulighed for en oplyst form for empirisme, som vi omtaler som lighed. Flere metoder og tilgange er blevet udviklet til at finde lighedsvariabler, for eksempel Vaschy–Buckingham Pi-sætningen . Den mest strenge og systematiske tilgang til at finde lighedsvariabler er baseret på Lie-gruppen af transformationer . Forudsætningen for Lie-group-tilgangen er, at hver variabel i den indledende ligning udsættes for en uendelig lille transformation. Kravet om, at ligningen er invariant under disse transformationer, fører til bestemmelse af de potentielle eller mulige symmetrier. Denne tilgang er rutinemæssigt anvendt på grænselagligninger. Apropos grænselagsteori, forfatterne af leverede en omfattende redegørelse for klassiske metoder, herunder flere mulige resultater afhængigt af perspektivet på det problem, der skal løses. Clarkson-Krustal direkte metode, som bruges til at finde lighedsreduktioner, blev anvendt til ustabile grænselagligninger. Det er vigtigt at bemærke, at lighedsvariablen, der findes, ikke kun er unik eller ejendommelig for et problem; det kan anvendes på andre lignende problemer, hvor det er relevant. Desuden diskuterede Hansen metoden” strækvariabel”, der blev brugt til at finde lighedstransformationer. Samlet set reducerer lighedsproblemer de oprindelige PBL-ligninger til en form, der er uforanderlig med hensyn til affine transformationer. Det lokale strømningsfelt løses derefter gennem analytiske / numeriske løsninger af PDE ‘ erne, der styrer grænselaget. Karakteristisk, hastighedsprofilerne for grænselagstrømme giver en række homotetiske kurver og plots. Hvorfor er de typisk homotetiske? Med hensyn til hastighedsprofilen normaliserer vi for eksempel med uu-kur, og dette har tendens til eller nærmer sig enhed. Tilsvarende, hvad angår temperaturprofilen, vi normaliserer ved freestream temperatur, eller t-t kur, og dette har tendens til eller nærmer sig nul. Integrerede metoder giver i en anden henseende lukkede løsninger ved at antage en profil af hastighed, temperatur og koncentrationsmasseoverførsel. Det indebærer integration af ligningerne fra væggen til fri strøm, hvilket giver en samlet præstation, der omfatter væksten af grænselaget. Endelig bruger den fulde numeriske metode velprøvede numeriske ordninger og praktiske simuleringskoder med højhastighedscomputere til at løse flere grænselagsproblemer.
det skal bemærkes, at nogle studier i litteraturen diskuterer deres resultater som nøjagtige løsninger. Forsigtighed i denne henseende er vigtig. Generelt, når vi taler om “nøjagtige løsninger” af grundlæggende ligninger, såsom NS-ligningerne, og dette kan være de fulde NS-ligninger eller en hvilken som helst af deres tilnærmede former, så længe de opnåede løsninger opnået ved en hvilken som helst teknik faktisk er så nøjagtige som de kommer, det vil sige, der findes ingen bedre løsning. Nøjagtigheden henviser til løsningen af selve ligningen. Hvis den pågældende ligning har været en tilnærmelse af en mere robust ligning, bør kravet om nøjagtighed af løsningen kun være den omtrentlige løsning.