Um diese Seite zu verstehen, müssen Sie zuerst Tensoren verstehen! Gute Quellen sind die Bücher von J.F. Nye , G.E. Dieter und D.R. Lovett, auf die im Abschnitt Going Further in diesem TLP Bezug genommen wird. Viele Bachelor-Universitätskurse in Physik oder Ingenieurwissenschaften haben eine Reihe von Vorlesungen über Tensoren, wie der Kurs an der Cambridge University Department of Materials Science und Metallurgie, das Handout für die hier gefunden werden kann.
Der Spannungstensor ist ein Feldtensor – er hängt von Faktoren außerhalb des Materials ab. Damit eine Spannung das Material nicht bewegt, muss der Spannungstensor symmetrisch sein: σij = σji – er hat eine Spiegelsymmetrie um die Diagonale.
Die allgemeine Form ist also:
$$\links( {\matrix{ {{\sigma _{11}}} & {{\ sigma _{12}}} & {{\ sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{22}}} & {{\ sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\ sigma _{23}}} & {{\ sigma _{33}}} \cr } } \right)$$ oder in alternativer Schreibweise $$\left( {\matrix{ {{\sigma _{xx}}} & {{\tau _{xy}}} & {{\tau _{zx}}} \cr {{\tau _{xy}}} & {{\sigma _{yy}}} & {{\tau _{yz}} } \cr {{\tau _{zx}}} & {{\tau _{yz}}} & {{\sigma _{zz}}} \cr } } \right)$$
Der allgemeine Spannungstensor hat sechs unabhängige Komponenten und könnte uns eine Menge Berechnungen zu tun. Zur Vereinfachung kann er durch einen geeigneten Achswechsel in den Hauptspannungstensor gedreht werden.
Hauptspannungen
Die Größen der Komponenten des Spannungstensors hängen davon ab, wie wir die orthogonalen Achsen x1, x2 und x3 definiert haben.
Für jeden Spannungszustand können wir die Achsen drehen, so dass die einzigen Nicht-Null-Komponenten des Spannungstensors diejenigen entlang der Diagonale sind:
$$\links( {\matrix{ {{\sigma _1}} & 0 & 0 \ cr 0 & {{\sigma _2}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\ sigma _3}} \cr } } \right)$$
das heißt, es gibt keine Schubspannungskomponenten, nur normale Spannungskomponenten.
Dies ist ein Beispiel für einen Hauptspannungstensor aller Tensoren, die wir verwenden könnten, um den vorhandenen Spannungszustand auszudrücken. Die Elemente σ1, σ2, σ3 sind die Hauptspannungen. Die Positionen der Achsen sind nun die Hauptachsen. Während es sein kann, dass σ1 > σ2 > σ3, ist es nur wichtig, dass die Achsen x1, x2 und x3 die Richtungen der Hauptspannungen definieren.
Die größte Hauptspannung ist größer als jede der Komponenten, die von jeder anderen Ausrichtung der Achsen gefunden werden. Wenn wir also die größte Stresskomponente finden müssen, unter der sich der Körper befindet, müssen wir einfach den Stresstensor diagonalisieren.
Denken Sie daran – wir haben den Spannungszustand nicht geändert, und wir haben das Material nicht bewegt oder geändert – wir haben einfach die Achsen gedreht, die wir verwenden, und betrachten den Spannungszustand, der in Bezug auf diese neuen Achsen gesehen wird.
Hydrostatische und deviatorische Komponenten
Der Spannungstensor kann in zwei Komponenten getrennt werden. Eine Komponente ist eine hydrostatische oder dilatatorische Spannung, die nur das Volumen des Materials ändert; der andere ist die deviatorische Spannung, die nur die Form ändert.
$$\ links( {\matrix{ {{\sigma _{11}}} & {{\ sigma _{12}}} & {{\ sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{22}}} & {{\ sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\ sigma _{23}}} & {{\ sigma _{33}}} \cr } } \rechts) = \links( {\matrix{ {{\sigma _H}} & 0 & 0 \ cr 0 & {{\sigma _H}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\ sigma _H}} \cr } } \rechts) + \links( {\matrix{ {{\sigma _{11}} – {\sigma _H}} & {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{22}} – {\sigma _H}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\ sigma _{33}} – {\sigma _H}} \cr } } \right)$$
wobei die hydrostatische Spannung gegeben ist durch \({\sigma _H}\) = \({1 \über 3}\)\(\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}} \right)\).
Bei kristallinen Metallen erfolgt die plastische Verformung durch Schlupf, ein volumenschonender Prozess, der die Form eines Materials durch die Einwirkung von Scherspannungen verändert. Auf dieser Grundlage ist daher zu erwarten, dass die Fließspannung eines kristallinen Metalls nicht von der Größe der hydrostatischen Spannung abhängt; genau das wird experimentell beobachtet.
In amorphen Metallen zeigt sich experimentell eine sehr geringe Abhängigkeit der Fließspannung von der hydrostatischen Spannung.