Ergodizität

Ergodizität tritt in weiten Bereichen der Physik und Mathematik auf. Alle diese Einstellungen werden durch eine gemeinsame mathematische Beschreibung, die des maßstabserhaltenden dynamischen Systems, vereinheitlicht. Eine informelle Beschreibung davon und eine Definition der Ergodizität in Bezug darauf ist unmittelbar unten angegeben. Es folgt eine Beschreibung der Ergodizität in stochastischen Prozessen. Sie sind ein und dasselbe, obwohl sie dramatisch unterschiedliche Notation und Sprache verwenden. Eine Überprüfung der Ergodizität in der Physik und in der Geometrie folgt. In allen Fällen ist der Begriff der Ergodizität genau derselbe wie der für dynamische Systeme; Es gibt keinen Unterschied, außer für Ausblick, Notation, Denkstil und die Zeitschriften, in denen Ergebnisse veröffentlicht werden.

Measure-preserving dynamical systemsEdit

Die mathematische Definition von Ergodizität zielt darauf ab, alltägliche Vorstellungen von Zufälligkeit zu erfassen. Dazu gehören Ideen über Systeme, die sich so bewegen, dass sie (irgendwann) den gesamten Raum ausfüllen, wie Diffusion und Brownsche Bewegung, sowie vernünftige Vorstellungen vom Mischen, wie das Mischen von Farben, Getränken, Kochzutaten, Mischen industrieller Prozesse, Rauch in einem mit Rauch gefüllten Raum, der Staub in den Ringen des Saturn und so weiter. Um eine solide mathematische Grundlage zu schaffen, beginnen Beschreibungen ergodischer Systeme mit der Definition eines maßerhaltenden dynamischen Systems. Dies wird als ( X , A , μ , T ) geschrieben. {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}

Die Menge X {\displaystyle X}}

wird der gesamte zu füllende Raum verstanden: die Rührschüssel, der mit Rauch gefüllte Raum usw. Unter dem Maß μ {\displaystyle \mu }

wird das natürliche Volumen des Raumes X {\displaystyle X}

und seiner Teilräume verstanden. Die Sammlung von Unterräumen wird mit A {\displaystyle {\mathcal {A} bezeichnet}}}

, und die Größe einer gegebenen Teilmenge A ⊂ X {\displaystyle A\Teilmenge X}

ist μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)}

; Die Größe ist ihr Volumen. Naiv könnte man sich A {\displaystyle {\mathcal {A} vorstellen}}}

sei die Potenzmenge von X {\displaystyle X}

; Dies funktioniert nicht ganz, da nicht alle Teilmengen eines Raumes ein Volumen haben (bekannt ist das Banach-Tarski-Paradoxon). Daher ist A {\displaystyle A {\mathcal A {\displaystyleA }}}}}

besteht aus den messbaren Teilmengen – den Teilmengen, die ein Volumen haben. Es wird immer angenommen, dass es sich um eine Borel—Menge handelt – die Sammlung von Teilmengen, die durch Schnittpunkte, Vereinigungen und Mengenergänzungen konstruiert werden können; Diese können immer als messbar angesehen werden.

Die zeitliche Entwicklung des Systems wird durch eine Karte T : X → X {\displaystyle X} beschrieben T:X\to X}

. Bei einer Teilmenge A ⊂ X {\displaystyle A\Teilmenge X}

wird ihre Map T (A ) {\displaystyle T(A)}

im Allgemeinen eine deformierte Version von A {\displaystyle A}

– es wird gequetscht oder gedehnt, gefaltet oder in Stücke geschnitten. Mathematische Beispiele sind die Baker’s Map und die Horseshoe Map, die beide von der Brotherstellung inspiriert sind. Die Menge T (A ) {\displaystyle T(A)}

muss das gleiche Volumen haben wie A {\displaystyle A}

; das Quetschen / Dehnen verändert nicht das Volumen des Raumes, sondern nur seine Verteilung. Ein solches System ist „maßerhaltend“ (flächenerhaltend, volumenerhaltend).

Eine formale Schwierigkeit entsteht, wenn man versucht, das Volumen der Mengen mit der Notwendigkeit in Einklang zu bringen, ihre Größe unter einer Karte beizubehalten. Das Problem tritt auf, weil im Allgemeinen mehrere verschiedene Punkte in der Domäne einer Funktion demselben Punkt in ihrem Bereich zugeordnet werden können; das heißt, es kann x ≠ y {\displaystyle x\neq y} geben}

mit T ( x ) = T (y ) {\displaystyle T(x)=T(y)}

. Schlimmer noch, ein einzelner Punkt x ∈ X {\displaystyle x\in X}

hat keine Größe. Diese Schwierigkeiten können vermieden werden, indem mit der inversen Karte T − 1 : A → A {\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\bis {\mathcal {A}}}

; es wird jede gegebene Teilmenge A map X {\displaystyle A\Teilmenge X}

den Teilen zuordnen, die zu ihrer Herstellung zusammengebaut wurden: Diese Teile sind T – 1 ( A ) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}

. Es hat die wichtige Eigenschaft, nicht den Überblick zu verlieren, woher die Dinge kamen. Stärker hat es die wichtige Eigenschaft, dass jede (maßerhaltende) Abbildung A → A {\displaystyle {\mathcal {A}}\auf {\mathcal {A}}}

ist die Umkehrung einer Karte X → X {\displaystyle X\to X}

. Die richtige Definition einer volumenerhaltenden Karte ist eine, für die μ ( A ) = μ ( T − 1 ( A ) ) {\displaystyle \mu (A) =\mu (T^{-1}(A))}

weil T – 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1}(A)}

beschreibt alle Teile-Teile, aus denen A {\displaystyle A}

stammt.

Man ist nun daran interessiert, die zeitliche Entwicklung des Systems zu studieren. Wenn eine Menge A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}

füllt schließlich alle X {\displaystyle X}

über einen langen Zeitraum (das heißt, wenn T n ( A ) {\displaystyle T^{n}(A)}

nähert sich allen X {\displaystyle X}

für große n {\displaystyle n}

), das System wird als ergodisch bezeichnet. Wenn sich jede Menge A {\displaystyle A}

auf diese Weise verhält, ist das System ein konservatives System, das im Gegensatz zu einem dissipativen System steht, in dem einige Teilmengen A {\displaystyle A}

wegwandern und nie wieder zurückgegeben werden. Ein Beispiel wäre Wasser, das bergab läuft – sobald es heruntergekommen ist, wird es nie wieder hochkommen. Der See, der sich am Grund dieses Flusses bildet, kann sich jedoch gut vermischen. Der ergodische Zersetzungssatz besagt, dass jedes ergodische System in zwei Teile geteilt werden kann: den konservativen Teil und den dissipativen Teil.

Mischen ist eine stärkere Aussage als Ergodizität. Das Mischen verlangt, dass diese ergodische Eigenschaft zwischen zwei beliebigen Mengen A , B {\displaystyle A,B} gilt}

und nicht nur zwischen einer Menge A {\displaystyle A}

und X {\displaystyle X}

. Das heißt, bei zwei beliebigen Mengen A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}

wird ein System als (topologisch) gemischt bezeichnet, wenn es eine ganze Zahl N {\displaystyle N}

gibt, so dass für alle A , B {\displaystyle displaystyle A,B}

und n > N {\displaystyle n>N}

, man hat das T n ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }

. Hier bezeichnet ∩ {\displaystyle \cap }

die Menge und ∅ {\displaystyle \varnothing }

die leere Menge. Andere Begriffe des Mischens schließen starkes und schwaches Mischen ein, die die Vorstellung beschreiben, dass sich die gemischten Substanzen überall in gleichem Verhältnis vermischen. Dies kann nicht trivial sein, wie die praktische Erfahrung beim Mischen klebriger, klebriger Substanzen zeigt.

Ergodische Prozesse

Die obige Diskussion spricht ein physikalisches Gefühl eines Volumens an. Das Volumen muss nicht buchstäblich ein Teil des 3D-Raums sein; es kann ein abstraktes Volumen sein. Dies ist im Allgemeinen in statistischen Systemen der Fall, in denen das Volumen (das Maß) durch die Wahrscheinlichkeit gegeben ist. Das Gesamtvolumen entspricht Wahrscheinlichkeit eins. Diese Korrespondenz funktioniert, weil die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie mit denen der Maßtheorie identisch sind; Dies sind die Kolmogorov-Axiome.

Die Idee eines Volumens kann sehr abstrakt sein. Betrachten wir zum Beispiel die Menge aller möglichen Münzwurf: die Menge der unendlichen Sequenzen von Kopf und Zahl. Wenn Sie diesem Raum das Volumen von 1 zuweisen, ist klar, dass die Hälfte aller Sequenzen mit Köpfen und die Hälfte mit Schwänzen beginnt. Man kann dieses Volumen auf andere Weise aufteilen: Man kann sagen: „Das erste n − 1 {\displaystyle n} interessiert mich nicht-1}

Münzwurf; aber ich will das n {\displaystyle n}

‚ th von ihnen, um Köpfe zu sein, und dann kümmere ich mich nicht darum, was danach kommt“. Dies kann als Menge geschrieben werden ( ∗ , ⋯ , ∗ , h , ∗ , ⋯ ) {\displaystyle {*,\cdots ,*,h,*,\cdots )}

wobei ∗ {\displaystyle *}

ist „egal“ und h {\displaystyle h}

ist „Köpfe“. Das Volumen dieses Raumes ist wieder (offensichtlich!) die Hälfte.

Das Obige reicht aus, um ein maßstabserhaltendes dynamisches System in seiner Gesamtheit aufzubauen. Die Mengen von h {\displaystyle h}}

oder t {\displaystyle t}}

das Auftreten von n {\displaystyle n}}

‚ th Platz werden Zylindersätze genannt. Die Menge aller möglichen Kreuzungen, Vereinigungen und Komplemente der Zylindermengen bildet dann die Borelmenge A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

oben definiert. Formal bilden die Zylindermengen die Basis für eine Topologie auf dem Raum X {\displaystyle X}

aller möglichen unendlich langen Münzwürfe. Das Maß μ {\displaystyle \mu }

hat alle Eigenschaften, auf die man hoffen kann: das Maß einer Zylindermenge mit h {\displaystyle h}

im m {\displaystyle m}}

‚ t {\displaystyle t {\displaystyle t}}

in der k {\displaystyle k}}

‚ th Position ist offensichtlich 1/4, und so weiter. Diese Common-Sense-Eigenschaften bleiben für Set-Complement und Set-Union bestehen: alles außer h {\displaystyle h}}

und t {\displaystyle t}}

an den Stellen m {\displaystyle m}}

und k {\displaystyle k}}

offensichtlich hat das Volumen von 3/4. Alle zusammen bilden diese die Axiome eines Sigma-additiven Maßes; maßerhaltende dynamische Systeme verwenden immer sigma-additive Maße. Für Münzwürfe wird dieses Maß als Bernoulli-Maß bezeichnet.

Für den Münzwurf-Vorgang ist der Zeit-Evolution-Operator T {\displaystyle T}}

ist der Schichtoperator, der sagt „Wirf den ersten Münzwurf weg und behalte den Rest“. Formal, wenn ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

eine Folge von Münzwürfen ist, dann ist T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}

. Das Maß ist offensichtlich verschiebungsinvariant: solange wir über eine Menge A talking A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}

sprechen, wobei der erste Münzwurf x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}

ist der „egal“-Wert, dann ändert sich das Volumen μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)}

nicht: μ ( A ) = μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A))}

. Um nicht über den ersten Münzwurf zu sprechen, ist es einfacher, T − 1 {\displaystyle T} zu definieren^{-1}}

als Einfügung eines „egal“ −Wertes an die erste Position: T – 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}

. Mit dieser Definition hat man offensichtlich, dass μ ( T − 1 ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}

ohne Einschränkungen für A {\displaystyle A}

. Dies ist wiederum ein Beispiel dafür, warum T – 1 {\displaystyle T^{-1}}

wird in den formalen Definitionen verwendet.

Die obige Entwicklung nimmt einen zufälligen Prozess, den Bernoulli-Prozess, und wandelt ihn in ein maßhaltiges dynamisches System ( X , A, μ, T) um. {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}

Die gleiche Umwandlung (Äquivalenz, Isomorphismus) kann auf jeden stochastischen Prozess angewendet werden. Daher ist eine informelle Definition von Ergodizität, dass eine Sequenz ergodisch ist, wenn sie alle X {\displaystyle X}

besucht; Solche Sequenzen sind „typisch“ für den Prozess. Eine andere ist, dass seine statistischen Eigenschaften aus einer einzigen, ausreichend langen Zufallsstichprobe des Prozesses abgeleitet werden können (also alle X {\displaystyle X}

gleichmäßig abgetastet werden), oder dass jede Sammlung von Zufallsstichproben aus einem Prozess die durchschnittlichen statistischen Eigenschaften des gesamten Prozesses darstellen muss (dh Proben, die gleichmäßig aus X {\displaystyle X}

gezogen werden, sind repräsentativ für {\displaystyle X}

als Ganzes.) Im vorliegenden Beispiel ist eine Sequenz von Münzwürfen, wobei die Hälfte Köpfe und die Hälfte Schwänze sind, eine „typische“ Sequenz.

Es gibt mehrere wichtige Punkte über den Bernoulli-Prozess gemacht werden. Wenn man 0 für Schwänze und 1 für Köpfe schreibt, erhält man die Menge aller unendlichen Zeichenfolgen von Binärziffern. Diese entsprechen der Basis-Zwei-Erweiterung reeller Zahlen. Explizit bei gegebener Folge ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

, die entsprechende reelle Zahl ist y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

Die Aussage, dass der Bernoulli-Prozess ergodisch ist, entspricht der Aussage, dass die reellen Zahlen gleichmäßig verteilt sind. Die Menge aller dieser Zeichenfolgen kann auf verschiedene Arten geschrieben werden: { h, t } ∞ = { h, t } ω = { 0 , 1 } ω = 2 ω = 2 N. {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle}}} }=\{0,1\}^{\ omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}

Diese Menge ist die Kantormenge, manchmal auch Kantorraum genannt, um Verwechslungen mit der Kantorfunktion zu vermeiden C ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

Am Ende sind das alles „das Gleiche“.

Die Kantorenmenge spielt in vielen Zweigen der Mathematik eine Schlüsselrolle. In der Freizeitmathematik untermauert es die Periodendopplungsfraktale; In der Analyse erscheint es in einer Vielzahl von Theoremen. Ein Schlüssel für stochastische Prozesse ist die Wold-Zerlegung, die besagt, dass jeder stationäre Prozess in ein Paar unkorrelierter Prozesse zerlegt werden kann, von denen einer deterministisch und der andere ein gleitender Durchschnittsprozess ist.

Das Ornstein-Isomorphismus-Theorem besagt, dass jeder stationäre stochastische Prozess einem Bernoulli-Schema entspricht (ein Bernoulli-Prozess mit einem N-seitigen (und möglicherweise unfairen) Spielwürfel). Andere Ergebnisse beinhalten, dass jedes nicht-dissipative ergodische System dem Markov-Kilometerzähler entspricht, der manchmal als „Addiermaschine“ bezeichnet wird, weil er wie eine Grundschuladdition aussieht, dh eine Basis-N-Ziffernfolge nimmt, eine hinzufügt und propagiert die Übertragungsbits. Der Äquivalenznachweis ist sehr abstrakt; Das Ergebnis zu verstehen ist nicht: Durch Hinzufügen eines zu jedem Zeitschritt wird jeder mögliche Zustand des Kilometerzählers besucht, bis er überrollt und erneut beginnt. Ebenso besuchen ergodische Systeme jeden Zustand einheitlich und gehen zum nächsten über, bis sie alle besucht wurden.

Systeme, die (unendliche) Folgen von N Buchstaben erzeugen, werden mittels symbolischer Dynamik untersucht. Wichtige Sonderfälle sind Teilverschiebungen endlichen Typs und sofische Systeme.

Ergodizität in der Physikbearbeiten

Physikalische Systeme können in drei Kategorien unterteilt werden: klassische Mechanik, die Maschinen mit einer endlichen Anzahl bewegter Teile beschreibt, Quantenmechanik, die die Struktur von Atomen beschreibt, und statistische Mechanik, die Gase, Flüssigkeiten, Feststoffe beschreibt; Dazu gehört die Physik der kondensierten Materie. Der Fall der klassischen Mechanik wird im nächsten Abschnitt über Ergodizität in der Geometrie diskutiert. In Bezug auf die Quantenmechanik, obwohl es eine Vorstellung von Quantenchaos gibt, gibt es keine klare Definition von Ergodocity; Was das sein könnte, wird heiß diskutiert. Dieser Abschnitt behandelt die Ergodizität in der statistischen Mechanik.

Die obige abstrakte Definition eines Volumens ist als geeignete Einstellung für Definitionen von Ergodizität in der Physik erforderlich. Betrachten Sie einen Behälter mit Flüssigkeit oder Gas oder Plasma oder einer anderen Ansammlung von Atomen oder Partikeln. Jedes Teilchen x i {\displaystyle x_{i}}}

hat eine 3D-Position und eine 3D-Geschwindigkeit und wird somit durch sechs Zahlen beschrieben: einen Punkt im sechsdimensionalen Raum R 6 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}

Wenn es N {\displaystyle N}

dieser Teilchen im System gibt, erfordert eine vollständige Beschreibung 6 N {\displaystyle 6N}

Zahlen. Ein beliebiges System ist nur ein einzelner Punkt in R 6n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}

Das physikalische System ist nicht alles von R 6 N {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}

, natürlich; Wenn es eine Box mit Breite, Höhe und Länge W × H × L {\displaystyle W\times H\times L}

ist, dann ist ein Punkt in (W × H × L × R 3 ) N. {\displaystyle (W\mal H\mal L\mal \mathbb {R} ^{3})^{N}.}

Geschwindigkeiten können auch nicht unendlich sein: sie werden durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß skaliert, zum Beispiel das Boltzmann–Gibbs-Maß für ein Gas. Nichtsdestoweniger ist dies für N {\displaystyle N}

in der Nähe der Avogadroschen Zahl offensichtlich ein sehr großer Raum. Dieser Raum wird als kanonisches Ensemble bezeichnet.

Ein physikalisches System wird als ergodisch bezeichnet, wenn ein repräsentativer Punkt des Systems schließlich das gesamte Volumen des Systems besucht. Für das obige Beispiel bedeutet dies, dass jedes gegebene Atom nicht nur jeden Teil der Box W × H × L {\displaystyle W\times H\times L} besucht}

mit gleichmäßiger Wahrscheinlichkeit, aber mit jeder möglichen Geschwindigkeit, wobei die Wahrscheinlichkeit durch die Boltzmann-Verteilung für diese Geschwindigkeit gegeben ist (also gleichförmig in Bezug auf dieses Maß). Die ergodische Hypothese besagt, dass physikalische Systeme tatsächlich ergodisch sind. Mehrere Zeitskalen sind am Werk: Gase und Flüssigkeiten scheinen über kurze Zeitskalen ergodisch zu sein. Ergodizität in einem Festkörper kann in Bezug auf die Schwingungsmoden oder Phononen betrachtet werden, da offensichtlich die Atome in einem Festkörper keine Orte austauschen. Brillen stellen eine Herausforderung für die ergodische Hypothese dar; Es wird angenommen, dass die Zeitskalen in Millionen von Jahren liegen, Die Ergebnisse sind jedoch umstritten. Spinngläser stellen besondere Schwierigkeiten dar.

Formale mathematische Beweise der Ergodizität in der statistischen Physik sind schwer zu bekommen; Die meisten hochdimensionalen Vielteilchensysteme werden ohne mathematischen Beweis als ergodisch angenommen. Ausnahmen sind das dynamische Billard, die Kollisionen von Atomen in einem idealen Gas oder Plasma vom Typ Billardkugel modellieren. Das erste Hard-Sphere-Ergodizitätstheorem war für Sinais Billard, das zwei Bälle, von denen eine als stationär angesehen wird, am Ursprung betrachtet. Wenn der zweite Ball kollidiert, bewegt er sich weg; Unter Anwendung periodischer Randbedingungen kehrt er dann zurück, um erneut zu kollidieren. Durch Appell an die Homogenität kann diese Rückkehr der „zweiten“ Kugel stattdessen als „nur ein anderes Atom“ angesehen werden, das in Reichweite gekommen ist und sich bewegt, um mit dem Atom am Ursprung zu kollidieren (was als „jedes andere Atom“ angesehen werden kann).) Dies ist einer der wenigen formalen Beweise, die existieren; Es gibt keine äquivalenten Aussagen, z. B. für Atome in einer Flüssigkeit, die über Van-der-Waals-Kräfte interagieren, auch wenn es vernünftig wäre zu glauben, dass solche Systeme ergodisch (und mischend) sind. Es können jedoch genauere physikalische Argumente vorgebracht werden.

Ergodizität in der Geometriebearbeiten

Ergodizität ist ein weit verbreitetes Phänomen bei der Untersuchung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Eine kurze Abfolge von Beispielen, von einfach bis kompliziert, veranschaulicht diesen Punkt. Alle unten genannten Systeme haben sich durch strenge formale Beweise als ergodisch erwiesen. Die irrationale Rotation eines Kreises ist ergodisch: Die Umlaufbahn eines Punktes ist so, dass schließlich jeder andere Punkt im Kreis besucht wird. Solche Rotationen sind ein Sonderfall der Intervallwechselkarte. Die Beta-Erweiterungen einer Zahl sind ergodisch: beta-Erweiterungen einer reellen Zahl erfolgen nicht in Basis-N, sondern in Basis- β {\displaystyle \beta }

für einige β . In: {\displaystyle \beta .}

Die neueste Version der Beta-Erweiterung ist tent Map; Es gibt eine Vielzahl anderer ergodischer Karten des Einheitsintervalls. In zwei Dimensionen sind die arithmetischen Gleichungen mit irrationalen Winkeln ergodisch. Man kann auch ein flaches Rechteck nehmen, es zerquetschen, schneiden und wieder zusammensetzen; Dies ist die zuvor erwähnte bakers Map. Seine Punkte können durch die Menge der bi-unendlichen Strings in zwei Buchstaben beschrieben werden, dh sie erstrecken sich sowohl nach links als auch nach rechts; Als solches sieht es aus wie zwei Kopien des Bernoulli-Prozesses. Wenn man sich während des Quetschens seitlich verformt, erhält man Arnolds Katzenkarte. In den meisten Fällen ist die Cat-Karte prototypisch für jede andere ähnliche Transformation.

Für nicht ebene Oberflächen hat man, dass die geodätische Strömung einer negativ gekrümmten kompakten Riemannschen Oberfläche ergodisch ist. Eine Oberfläche ist „kompakt“ in dem Sinne, dass sie eine endliche Oberfläche hat. Der geodätische Fluss ist eine Verallgemeinerung der Idee, sich in einer „geraden Linie“ auf einer gekrümmten Oberfläche zu bewegen: Solche geraden Linien sind Geodäten. Einer der frühesten untersuchten Fälle ist Hadamards Billard, das die Geodäsie auf der Bolza-Oberfläche beschreibt, die topologisch einem Donut mit zwei Löchern entspricht. Ergodizität kann informell demonstriert werden, wenn man einen Sharpie und ein vernünftiges Beispiel für einen zweilochigen Donut hat: Überall beginnend, in jede Richtung, versucht man, eine gerade Linie zu zeichnen; Lineale sind dafür nützlich. Es dauert nicht lange, bis man entdeckt, dass man nicht zum Ausgangspunkt zurückkehrt. (Natürlich kann auch krummes Zeichnen dafür verantwortlich sein; deshalb haben wir Beweise.)

Diese Ergebnisse erstrecken sich auf höhere Dimensionen. Die geodätische Strömung für negativ gekrümmte kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist ergodisch. Ein klassisches Beispiel dafür ist die Anosov-Strömung, die die horozyklische Strömung auf einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit ist. Dies kann als eine Art Hopf-Fibration angesehen werden. Solche Strömungen treten häufig in der klassischen Mechanik auf, die das Studium in der Physik von endlichdimensionalen beweglichen Maschinen ist, z. das Doppelpendel und so weiter. Die klassische Mechanik ist auf symplektischen Mannigfaltigkeiten aufgebaut. Die Strömungen auf solchen Systemen können in stabile und instabile Mannigfaltigkeiten dekonstruiert werden; Wenn dies möglich ist, führt dies in der Regel zu chaotischen Bewegungen. Dass dies generisch ist, kann man daran erkennen, dass das Kotangensbündel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (immer) eine symplektische Mannigfaltigkeit ist; Die geodätische Strömung ist durch eine Lösung der Hamilton–Jacobi-Gleichungen für diese Mannigfaltigkeit gegeben. In Bezug auf die kanonischen Koordinaten ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}

auf der Kotangens-Mannigfaltigkeit ist der Hamiltonian oder die Energie gegeben durch H = 1 2 ∑ i j g i j ( q ) p i p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}

mit g i j {\displaystyle g^{ij}}}

der (inverse) metrische Tensor und p i {\displaystyle p_{i}}

der Impuls. Die Ähnlichkeit mit der kinetischen Energie E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

von einem Punktteilchen ist kaum zufällig; Das ist der springende Punkt, solche Dinge „Energie“ zu nennen. In diesem Sinne ist chaotisches Verhalten mit ergodischen Bahnen ein mehr oder weniger generisches Phänomen in großen geometrischen Gebieten.

Ergodizitätsergebnisse wurden in Translationsflächen, hyperbolischen Gruppen und systolischer Geometrie bereitgestellt. Zu den Techniken gehören die Untersuchung ergodischer Strömungen, die Hopf-Zerlegung und das Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo-Theorem. Eine wichtige Klasse von Systemen sind die Axiom-A-Systeme.

Eine Reihe von Klassifizierungs- und „Anti-Klassifizierungs“ -Ergebnissen wurden erhalten. Das Ornstein-Isomorphismus-Theorem gilt auch hier; Wieder heißt es, dass die meisten dieser Systeme isomorph zu einem Bernoulli-Schema sind. Dies bindet diese Systeme ziemlich genau in die Definition der Ergodizität zurück, die im vorherigen Abschnitt für einen stochastischen Prozess gegeben wurde. Die Antiklassifizierungsergebnisse besagen, dass es mehr als eine zählbar unendliche Anzahl von ungleichen ergodischen maßerhaltenden dynamischen Systemen gibt. Dies ist vielleicht nicht ganz überraschend, da man Punkte im Cantor-Set verwenden kann, um ähnliche, aber unterschiedliche Systeme zu konstruieren. Siehe measure-preserving dynamical System für einen kurzen Überblick über einige der Anti-Klassifizierungsergebnisse.

Historische EntwicklungBearbeiten

Die Idee der Ergodizität wurde auf dem Gebiet der Thermodynamik geboren, wo es notwendig war, die einzelnen Zustände von Gasmolekülen mit der Temperatur eines Gases als Ganzes und seiner zeitlichen Entwicklung in Beziehung zu setzen. Um dies zu erreichen, musste angegeben werden, was genau es bedeutet, dass sich Gase gut miteinander vermischen, damit das thermodynamische Gleichgewicht mit mathematischer Genauigkeit definiert werden kann. Sobald die Theorie in der Physik gut entwickelt war, wurde sie schnell formalisiert und erweitert, so dass die Ergodentheorie lange Zeit ein eigenständiger Bereich der Mathematik an sich war. Als Teil dieses Fortschritts existieren mehr als eine leicht unterschiedliche Definition von Ergodizität und eine Vielzahl von Interpretationen des Konzepts in verschiedenen Bereichen nebeneinander.

In der klassischen Physik impliziert der Begriff beispielsweise, dass ein System die ergodische Hypothese der Thermodynamik erfüllt, wobei der relevante Zustandsraum Positions- und Impulsraum ist. In der dynamischen Systemtheorie wird der Zustandsraum üblicherweise als allgemeinerer Phasenraum verstanden. Auf der anderen Seite ist der Zustandsraum in der Codierungstheorie oft sowohl in Zeit als auch in Zustand diskret, mit weniger begleitender Struktur. In all diesen Bereichen können die Ideen des Zeitdurchschnitts und des Ensembledurchschnitts auch zusätzliches Gepäck tragen — wie es bei den vielen möglichen thermodynamisch relevanten Partitionsfunktionen der Fall ist, die zur Definition von Ensembledurchschnitten in der Physik verwendet werden, zurück. Als solche dient die maßtheoretische Formalisierung des Begriffs auch als verbindende Disziplin.

EtymologyEdit

Der Begriff ergodic wird allgemein gedacht, um von den griechischen Wörtern ἔργον (ergon: „Arbeit“) und ὁδός (hodos: „Pfad“, „Weg“) abzuleiten, wie von Ludwig Boltzmann gewählt, während er an einem Problem in der statistischen Mechanik arbeitete. Gleichzeitig wird behauptet, dass es sich um eine Ableitung von Ergomonode handelt, die Boltzmann in einem relativ obskuren Artikel aus dem Jahr 1884 geprägt hat. Die Etymologie scheint auch auf andere Weise umstritten zu sein.