Fettschwanzverteilung verstehen

In Teil 1 diskutieren wir, was es für eine Zufallsvariable bedeutet, eine „Fettschwanz“ -Verteilung zu haben.

Weit? Fett?

Um den Fettschwanz zu verstehen, müssen wir die folgenden zwei Fragen beantworten.

1. Wie weit ist es?
2. Wie fett ist Fett?

Um über den Schwanz zu sprechen, müssen wir bestimmen, wie weit weit ist, um zu entscheiden, wie weit von der Mitte entfernt weit genug ist, um es als ‚Schwanz‘ zu bezeichnen. Mit anderen Worten, wo beginnt der Schwanz? Es kommt darauf an! Leider gibt es keine einzige Antwort.

Betrachten Sie die Normalverteilung. Beachten Sie, dass es zwei Schwänze gibt: rechts und links. Wenn wir zum Beispiel den ‚rechten‘ Schwanz der Verteilung aus der einen Standardabweichung vom Mittelwert beschreiben wollen, dann bezieht sich der schattierte Teil auf den rechten Schwanz der Normalverteilung.

Formal können wir den Schwanz wie folgt beschreiben:

• rechter Schwanz: P (X > x)
• linker Schwanz: P (X≤-x)

für einen großen Wert von ‚x‘. Jetzt kennen wir das Konzept des ‚Schwanzes‘.

#For normal distribution with value 'x=a'
a=1
1-pnorm(a) #right tail
pnorm(-a) #left tail

Hat jede Distribution einen Tail?

Denken Sie an die gleichmäßige Verteilung über . Hat es einen Schwanz? In diesem Blog heißt es, dass nicht jede Distribution einen Schwanz hat.

Wenn Sie möchten, dass „das Verhalten des Schwanzes“ die Eigenschaften des PDF beschreibt, wenn „x“ groß wird, haben begrenzte Verteilungen keine Schwänze. Dennoch können einige Merkmale von Schwänzen quantifiziert werden. Insbesondere durch die Verwendung von Grenzwerten und asymptotischem Verhalten können Sie den Begriff der schweren Schwänze definieren. SAS blog

Ich werde die (exponentiell) begrenzte / nicht begrenzte Verteilung unten erklären. Bitte erinnern Sie sich an die gleichmäßige Verteilung, wenn Sie dort ankommen!

Warum sollten wir uns um den ‚Tail‘-Teil der Distribution kümmern?

Der hintere Teil des Vertriebs war das Hauptanliegen des Risikomanagements. Die beiden am häufigsten verwendeten Risikomaße für die Verteilung von Rendite oder Verlust sind Value at Risk (VaR) und Expected Shortfall (ES)

Warum Verlust nicht zurückkehren?

• Verlust ist buchstäblich minus (-) Rückkehr
• Das Limit auf negative Unendlichkeit zu bringen, ist nicht intuitiv. Wir nehmen also das Negativ der Rückgabewerte, dh wir drehen die Verteilung über die y-Achse.

Sehen Sie einfach, wie die Menge VaR und ES mit ‚tail‘ zusammenhängen. Sie müssen nicht die Mathematik oder Bedeutung dahinter verstehen.

„Beachten Sie, dass die folgende Grafik eine Verteilung des Verlusts ist, die nicht zurückkehrt!“

Denken Sie an die Verteilung des Verlusts, L, äquivalent (negative) Rendite, auf einen Vermögenswert über eine bestimmte Haltedauer. Zum besseren Verständnis gehen wir davon aus, dass die Zufallsvariable der Verluste von morgen der Normalverteilung folgt:

Dann können wir den VaR wie folgt berechnen:

Durch die zweite Zeile können wir leicht überprüfen, ob der VaR nur eine Menge ist, die sich auf den fetten Schwanz bezieht. Weitere Informationen zum VaR finden Sie in Kapitel zwei des Buches „Quantitatives Risikomanagement: Konzepte, Techniken und Werkzeuge“ und Eric Zivots Vorlesungsnotiz auf seiner Website.

alpha = 0.95 #significant level
VaR.alpha = qnorm(alpha, mu, sigma)
VaR.alpha = mu + sigma*qnorm(alpha, 0, 1)

In ähnlicher Weise können wir sehen, dass der erwartete Fehlbetrag eine Menge ist, die sich auf den hinteren Teil der Verteilung bezieht:

In der vierten Zeile heißt es: „ES ist der erwartete Verlust im oberen „Schwanz“ der Verlustverteilung. Ähnlich wie bei VaR ist es im Fall der Normalverteilung zweckmäßig, die ES jetzt zu berechnen, da es sich nur um einen Mittelwert der abgeschnittenen Normalverteilung handelt.

alpha = 0.95
q.alpha.z = qnorm(alpha)
ES.alpha = mu + sigma*(dnorm(q.alpha.z)/(1-alpha))

Wenn jemand neugierig ist, warum wir durch 1 — α teilen, ist dies nur eine Normalisierungskonstante (oder ein Skalierungsfaktor), um sicherzustellen, dass die Integration der abgeschnittenen Verlustverteilung eine ist, was eine Voraussetzung dafür ist, dass es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Zurück zur Geschichte von ‚Tail‘, ich wollte nur betonen, dass die Tail-Distributionen als Risikomanagement-Tool weit verbreitet sind.

Wie fett ist Fett? Wie schwer ist schwer?

Da wir herausgefunden haben, was der ‚Schwanz‘ in der Verteilung ist und wo er verwendet wird, ist es jetzt an der Zeit, über den ‚fetten‘ Teil zu sprechen. Wir alle wissen, dass die Normalverteilung keinen Fettschwanz hat. Stattdessen wurde uns beigebracht, die Student-t-Verteilung und die Log-Normalverteilung bei der Modellierung der finanziellen Ertragsreihen zu verwenden, um die ‚Fat-Tail‘ -Eigenschaft zu berücksichtigen. Aber wir müssen die Definition von Fettschwanz kennen. Leider gibt es keine universelle Definition für den Begriff Fett.

Ich werde versuchen, den Fettschwanz in der Sprache Englisch, Grafik und Mathematik zu erklären. Hoffe, Sie genießen mindestens eine der drei.

• Eine schwere Schwanzverteilung hat Schwänze, die schwerer sind als eine Exponentialverteilung (Bryson, 1974)
• Die Verteilung soll einen schweren Schwanz haben, wenn der Schwanzteil langsamer zerfällt als die Exponentialverteilung.

Warum exponentiell?

Es ist zweckmäßig, die Exponentialverteilung als Referenz zu verwenden. Das PDF der Exponentialverteilung nähert sich ‚exponentiell‘ schnell Null. Das heißt, tail of the pdf sieht aus wie die Exponentialverteilung (verhält sich aber anders als diese).

In der Sprache des Graphen,

Ich zeige Ihnen 4 verschiedene Graphen, die zeigen, was in den äußersten rechten Schwänzen einer Reihe von verschiedenen Verteilungen wie folgt passiert:

• Exponentialverteilung (exp)
• Potenzgesetzverteilung (PL)
• Normalverteilung (N)
• Log-Normalverteilung (LN)
• Student-t-Verteilung
• Cauchy-Verteilung
• Levy-Verteilung
• Weibull-Verteilung

Ich werde nicht jede dieser Verteilungen erklären. Lassen Sie uns stattdessen einfach die Grafik dieser Verteilungen genießen, um zu spüren, was im hinteren Teil vor sich geht. Das erste Diagramm zeigt den Teil des gesamten Diagramms, in dem ‚x‘ liegt

Mit der obigen Abbildung 5 können wir nicht sagen, wie sich der Schwanz verhält. Aber hier sind ein paar Dinge, die erwähnenswert sind

• Normal-, Student-t- und Cauchy-Verteilungen sind zweischwänzige Verteilungen. Alle anderen sind einschwänzige Verteilungen
• Für PL (2.5) und PL(3.5) gibt es einen Kreuzungspunkt in der Nähe von x =1.7, was anzeigt, dass PL (2.5) einen dickeren Schwanz hat.

Schauen wir uns an, wie es aussieht, wenn ‚x‘ liegt . Beachten Sie, dass die Werte in der y-Achse viel kleiner werden.

F: Was sehen Sie in dieser Grafik?

A: Die obere Linie hätte den dicksten Schwanz! (Aber nicht ganz!!!) Und Sie werden sehen, warum!

Lassen Sie uns zuvor die wichtigen Fakten von Abbildung 6 oben untersuchen.

• Normal- und exp(2) -Verteilungen kriechen nahe 0, wenn x=5 ist. Insbesondere für die Normalverteilung beträgt der PDF-Wert der Standardabweichung 5 0,000001486 (= pnorm (5)). Dies ist etwa 8000-mal kleiner als die Cauchy-Verteilung. Mit anderen Worten, 5-Sigma-Ereignisse sind 8000-mal wahrscheinlicher unter Cauchy-Verteilung als Normalverteilung passieren.
• Beachten Sie in Abbildung 6, dass die exp(0.2) -Verteilung weit über der logarithmischen Normalverteilung und den Potenzgesetzverteilungen liegt. Bitte überprüfen Sie, wie es in den folgenden Diagrammen umgekehrt wird, nachdem Sie den Bereich der ‚x‘-Werte erweitert haben.

Mal sehen, wie es aussieht, wenn ‚x‘ liegt in. Beachten Sie erneut, dass die Werte in der y-Achse viel kleiner werden.

• Beachten Sie, dass die blaue Linie exp (0.2) schnell zerfällt, während sie die beiden anderen kreuzt, die PL (2.5) und Cauchy sind. Dies bedeutet „zerfällt langsamer als Exponentialverteilung“
• Es ist überraschend zu sehen, was in der Nähe von „x“ gleich 100 passiert. Sein pdf-Wert von PL (1,5) beträgt 0,0005. Kein Wunder, dass das erste und zweite Moment (Mittelwert und Varianz) für PL (1.5) unendlich sind. Detaillierte Informationen dazu werden im nächsten Dokument behandelt. Bleiben Sie dran!

Vergrößern wir die y-Achse, um zu sehen, wie sie sich im Detail verhält!

• Überraschenderweise nimmt die blaue Linie exp(0,2) ab, wenn PL (3,5) und LN(0,1) gekreuzt werden. Außerdem können wir sehen, dass LN (0,1) schneller zerfällt als PL (3,5), jetzt wo es das PL (3,5) kreuzt und darunter geht.
• PL(1.5), PL(2.5) und Levy-Verteilungen werden in diesem Diagramm nicht einmal angezeigt.

In der Sprache der Mathematik ist

Fat Tail Distribution eine Unterklasse der Heavy-Tailed Distribution. Dies bedeutet, dass, obwohl jede Fettschwanzverteilung schwerschwanzig ist, das Gegenteil nicht der Fall ist (z. B. Weibull). Laut Jay Taylors Vorlesungsnotizen unterschied er schwer und fett auf folgende Weise.

Definition von Heavy Tail

• Die Verteilung soll einen rechten Heavy-Tail haben, wenn Tails „nicht“ exponentiell begrenzt sind

Wir können es so interpretieren, dass, wenn ‚x‘ groß wird, die Geschwindigkeit des exponentiellen Anstiegs schneller ist als die Geschwindigkeit der abnehmenden Wahrscheinlichkeit am rechten Schwanz. Nehmen Sie sich Zeit, darüber nachzudenken!

Sehen Sie, wie es mit der englischen Definition verbunden ist.

• Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen, die langsamer als ein Exponential abklingen, werden als Right Heavy-Tail bezeichnet.

Wenn exponentiell begrenzt?

Wenn der schwere rechte Schwanz nicht schwer genug ist, dh superschnell zerfällt, wenn ‚x‘ ins Unendliche geht, konvergiert Gleichung 1 zu Null. Das offensichtliche Beispiel ist die gleichmäßige Verteilung über, wie wir oben diskutiert haben. Sobald ‚x‘ die eins überschreitet, wird die Wahrscheinlichkeit von X größer als eins Null, so dass es exponentiell begrenzt ist. Ein weiteres beliebtes Beispiel ist die Normalverteilung. Sei X eine Standardnormale. Zeichnen Sie eine Reihe von Diagrammen für die verschiedenen Lambda-Werte zu erhalten

Wir können sehen, dass es zu Null konvergiert, so dass Schwänze der Normalverteilung exponentiell begrenzt sind.

f_exp = function(x, lambda){return (exp(lambda*x))
cdf_normal = function(x) pnorm(x)
ccdf_normal = function(x) {1-cdf_normal(x)}xs = seq(1,10,length=10000)
plot(xs, f_exp(xs,0.1)*ccdf_normal(xs), type='l', xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2)
abline(v=1, lty = 'dashed')
lines(xs,f_exp(xs,0.5)*ccdf_normal(xs), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1)*ccdf_normal(xs), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,1.5)*ccdf_normal(xs), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2)*ccdf_normal(xs), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,3)*ccdf_normal(xs), col='darkblue', lwd=2)
grid()
legend(8, 0.15, 
legend=c("0.1", "0.5","1","1.5","2","3"), title = "lambda",
col=c("blue",'purple', "red",'orange','darkred','darkblue'), lwd=2, cex=1)

Definition von Fat Tail

• Die Verteilung soll einen richtigen Fat-Tail haben, wenn es einen positiven Exponenten (alpha) gibt, der als Tail-Index bezeichnet wird, so dass

Das ‚~‘ bedeutet dasselbe bis zur Konstante. Oder der Schwanzteil ist proportional zum Potenzgesetz. Genau genommen bedeutet es Folgendes.

Fühlen Sie sich frei zu überspringen, wenn Mathe für Sie ’schwer / fett‘ ist.

Daher folgt der Schwanzteil von Fettschwanzverteilungen einem Potenzgesetz (das ‚x‘ zur Potenz von minus Alpha ist). Für diejenigen, die mit einem Potenzgesetz nicht vertraut sind, mach dir jetzt keine Sorgen. Denken Sie an den Graphen, wenn Alpha gleich zwei ist.

Erinnern Sie sich daran, dass der Schwanzteil dem Potenzgesetz ähnlich sieht, wie wir in den Abbildungen 5-8 oben gesehen haben. Ich werde das Potenzgesetz aus dieser Serie genauer erklären.

Zusammenfassung

Wir haben das Konzept ‚Fat-Tail‘ in diesem Dokument intuitiv, grafisch und mathematisch durchdacht. Um die ‚tempered Stable Distribution‘ zu verstehen, ist es notwendig, ein grundlegendes Verständnis des Fat-Tail zu haben. Ich hoffe, dieses Dokument war hilfreich, um Ihr Verständnis zu verbessern. Bitte kommentieren Sie unten, wenn Sie Fragen haben. Ich hoffe, Sie sind neugierig, was als nächstes kommt. Nächstes Mal werde ich mit „Journey to The Stable Distribution“ zurück sein“

f_exp = function(x, lambda, xmin) {lambda*exp(-lambda*(x-xmin))}
f_power = function (x, k, x_min) {
C = (k-1)*x_min^(k-1)
return (C*x^(-k))
}
f_cauchy = function(x) dcauchy(x)
f_levy = function(x) dlevy(x) # required package: 'rmulti'
f_weibul = function(x) dweibull(x,shape=1)
f_norm = function(x) dnorm(x)
f_lnorm = function(x) dlnorm(x)
f_t = function(x) dt(x,5)
xs = seq(0.1,100,length=1000)plot(xs, f_exp(xs,0.5,0.1),type='l',xlab='',ylab='', col='blue', lwd=2,
main='Distributions on ', cex.main=1,
xlim=c(0,5),
ylim=c(0,2.5))
lines(xs,f_exp(xs,1,0.1), col='purple', lwd=2)
lines(xs,f_exp(xs,2,0.1), col='bisque3', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,1.5, 1), col='red', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,2.5, 1), col='orange', lwd=2)
lines(xs,f_power(xs,3.5, 1), col='darkred', lwd=2)
lines(xs,f_norm(xs),col='black', lwd=2)
lines(xs,f_lnorm(xs), col='darkgreen', lwd=2)
lines(xs,f_t(xs), col='deeppink', lwd=2)
lines(xs, f_cauchy(xs), col='darkblue', lwd=2)
lines(xs, f_levy(xs), col='azure4', lwd=2)
lines(xs, f_weibul(xs), col='springgreen', lwd=2)
abline(v=2, lty = 'dashed')
abline(v=3, lty = 'dashed')
grid()
legend(3.5, 2.5, 
legend=c("exp(0.2)", "exp(1)", 'exp(2)', "PL(1.5)", 'PL(2.5)', 'PL(3.5)', 'N(0,1)','LN(0,1)','student-t(5)','Cauchy','Levy','Weibull'),
col=c("blue",'purple', 'bisque3',"red",'orange','darkred', 'black','darkgreen','deeppink','darkblue', 'azure4','springgreen'), lwd=2, cex=0.8)

Jay Taylor, Heavy-tailed distribution (2013), Lecture notes,

Eric Zivot, Risikomaße (2013), Lecture notes

Aaron Clauset, Inferenz, Modelle und Simulation für komplexe Systeme (2011), Lecture notes

https://blogs.sas.com/content/iml/2014/10/13/fat-tailed-and-long-tailed-distributions.html