Die Trägerdichte ist wichtig für Halbleiter, wo sie eine wichtige Größe für den Prozess der chemischen Dotierung ist. Unter Verwendung der Bandentheorie wird die Elektronendichte, n 0 {\displaystyle n_{0}}
ist die Anzahl der Elektronen pro Volumeneinheit im Leitungsband. Für Löcher p 0 {\displaystyle p_{0}}
ist die Anzahl der Löcher pro Volumeneinheit im Valenzband. Um diese Zahl für Elektronen zu berechnen, beginnen wir mit der Idee, dass die Gesamtdichte der Leitungsbandelektronen, n 0 {\displaystyle n_{0}}
, addiert nur die Leitungs-Elektronendichte über die verschiedenen Energien in der Bande, von der Unterseite der Bande E c {\displaystyle E_{c}}
bis zur Spitze der Bande E t o p {\displaystyle E_{c}}}}
. n 0 = ∫ E c E t o p N ( E ) d E {\displaystyle n_{0}=\int \Grenzen _{E_{c}}^{E_{oben}}N(E)dE}
Da Elektronen Fermionen sind, ist die Dichte der Leitungselektronen bei einer bestimmten Energie, N (E ) {\displaystyle N(E)}
ist das Produkt der Zustandsdichte, g ( E ) {\displaystyle g(E)}
oder wie viele leitende Zustände möglich sind, mit der Fermi-Dirac-Verteilung, f(E ) {\displaystyle f(E)}
was uns den Anteil jener Zustände sagt, die tatsächlich Elektronen in „ihnen“ haben werden N (E ) = g ( E ) f (E ) {\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}
Um die Berechnung zu vereinfachen, behandeln wir die Elektronen nicht als Fermionen gemäß der Fermi–Dirac-Verteilung, sondern als klassisches nicht wechselwirkendes Gas, das durch die Maxwell–Boltzmann-Verteilung gegeben ist. Diese Approximation hat vernachlässigbare Auswirkungen, wenn die Größe | E – E f / ≫ k B T {\displaystyle /E-E_{f}|\gg k_{B}T}
, was für Halbleiter nahe der Raumtemperatur gilt. Diese Annäherung ist bei sehr niedrigen Temperaturen oder einer extrem kleinen Bandlücke ungültig. f (E ) = 1 1 + e E − E f K T ≈ e – (E – E f ) k B T {\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{kT}}}}\\ e^{\frac {-(E-E_{f})}{k_{B}T}}}
Die dreidimensionale Dichte der Zustände ist:
g ( E ) = 1 2 π 2 ( 2 m ∗ ℏ 2 ) 3 2 E − E 0 {\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\links({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\rechts)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}
Nach Kombination und Vereinfachung führen diese Ausdrücke zu:
n 0 = 2 ( m ∗ k B T 2 π ℏ 2 ) 3/2 {\displaystyle n_{0}=2\links({\frac {m^{*}k_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\rechts)^{3/2}}
e − (E c – E f ) k B T {\displaystyle e^{\frac {-(E_{c}-E_{f})}{k_{B}T}}}}
Ein ähnlicher Ausdruck kann für Löcher abgeleitet werden. Die Trägerkonzentration kann berechnet werden, indem Elektronen behandelt werden, die sich über die Bandlücke hin und her bewegen, genau wie das Gleichgewicht einer reversiblen Reaktion aus der Chemie, was zu einem elektronischen Massenaktionsgesetz führt. Das Massenaktionsgesetz definiert eine Größe n i {\displaystyle n_{i}}
nannte die intrinsische Trägerkonzentration, die für undotierte Materialien: n i = n 0 = p 0 {\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}
In der folgenden Tabelle sind einige Werte der intrinsischen Trägerkonzentration für intrinsische Halbleiter aufgeführt.
| Material | Trägerdichte (1/cm3) bei 300K |
|---|---|
| Silizium | 9.65×109 |
| Germanium | 2.33×1013 |
| Galliumarsenid | 2.1×106 |
Diese Trägerkonzentrationen ändern sich, wenn diese Materialien dotiert werden. Zum Beispiel erhöht die Dotierung von reinem Silizium mit einer kleinen Menge Phosphor die Trägerdichte von Elektronen, n. Dann, da n > p, wird das dotierte Silizium ein extrinsischer Halbleiter vom n-Typ sein. Das Dotieren von reinem Silizium mit einer kleinen Menge Bor erhöht die Trägerdichte von Löchern, also p > n, und es wird ein extrinsischer Halbleiter vom p-Typ sein.