Hier sind einige grundlegende Definitionen und Eigenschaften von Linien und Winkeln in der Geometrie. Diese Konzepte werden in vielen wettbewerbsfähigen Aufnahmeprüfungen wie GMAT, GRE, CAT getestet.
Liniensegment: Ein Liniensegment hat zwei Endpunkte mit einer bestimmten Länge.
Strahl: Ein Strahl hat einen Endpunkt und erstreckt sich unendlich in eine Richtung.
Gerade Linie: Eine gerade Linie hat weder Start- noch Endpunkt und ist unendlich lang.
Spitzer Winkel: Der Winkel zwischen 0° und 90° ist ein spitzer Winkel, ∠A in der folgenden Abbildung.
Stumpfer Winkel: Der Winkel zwischen 90° und 180° ist ein stumpfer Winkel, ∠B wie unten gezeigt.
Rechter Winkel: Der Winkel von 90 ° ist ein rechter Winkel, ∠C wie unten gezeigt.
Gerader Winkel: Der Winkel von 180 ° ist ein gerader Winkel, ∠AOB in der Abbildung unten.
Ergänzungswinkel:
In der obigen Abbildung ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180 °
Wenn die Summe zweier Winkel 180 ° beträgt, werden die Winkel als Ergänzungswinkel bezeichnet.
Zwei rechte Winkel ergänzen sich immer.
Das Paar benachbarter Winkel, dessen Summe ein gerader Winkel ist, wird als lineares Paar bezeichnet.
Komplementäre Winkel:
∠ COA + ∠AOB = 90 °
Wenn die Summe zweier Winkel 90 ° beträgt, werden die beiden Winkel Komplementärwinkel genannt.
Benachbarte Winkel:
Die Winkel, die einen gemeinsamen Arm und einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben, werden als benachbarte Winkel bezeichnet.
In der obigen Abbildung sind ∠BOA und ∠AOC benachbarte Winkel. Ihr gemeinsamer Arm ist OA und der gemeinsame Scheitelpunkt ist ‚O‘.
Vertikal entgegengesetzte Winkel:
Wenn sich zwei Linien schneiden, werden die Winkel, die sich am Schnittpunkt (Scheitelpunkt) gegenüberliegen, als vertikal entgegengesetzte Winkel bezeichnet.
In der obigen Abbildung sind
x und y zwei sich schneidende Linien.
∠A und ∠C bilden ein Paar vertikal entgegengesetzter Winkel und
∠B und ∠D bilden ein weiteres Paar vertikal entgegengesetzter Winkel.
Senkrechte Linien: Wenn zwischen zwei Linien ein rechter Winkel besteht, werden die Linien als senkrecht zueinander bezeichnet.
Hier sollen die Linien OA und OB senkrecht zueinander stehen.
Parallele Linien:
Hier sind A und B zwei parallele Linien, die von einer Linie p geschnitten werden.
Die Linie p wird als transversal bezeichnet, die zwei oder mehr Linien (nicht unbedingt parallele Linien) an verschiedenen Punkten schneidet.
Wie in der obigen Abbildung zu sehen ist, werden 8 Winkel gebildet, wenn eine Transversale zwei Linien schneidet.
Betrachten wir die Details in tabellarischer Form zum einfachen Nachschlagen.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Winkel | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Innenwinkel auf der gleichen Seite der transversalen | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
Wenn eine transversale zwei parallele Linien schneidet,
- Die entsprechenden Winkel sind gleich.
- Die vertikal gegenüberliegenden Winkel sind gleich.
- Die alternativen Innenwinkel sind gleich.
- Die alternativen Außenwinkel sind gleich.
- Das Paar Innenwinkel auf der gleichen Seite des Querschnitts ist ergänzend.
Wir können sagen, dass die Linien parallel sind, wenn wir mindestens eine der oben genannten Bedingungen überprüfen können.
Schauen wir uns einige Beispiele an.
Gelöste Beispiele
Beispiel 1. Wenn die Linien m und n parallel zueinander sind, bestimmen Sie die Winkel ∠5 und ∠7.
Lösung:
Die Bestimmung eines Paares kann es ermöglichen, alle anderen Winkel zu finden. Das Folgende ist eine der vielen Möglichkeiten, diese Frage zu lösen.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 da sie vertikal entgegengesetzte Winkel sind.
Daher, ∠4 = 125°
∠4 ist einer der Innenwinkel auf der gleichen Seite der transversalen.
Daher, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 da vertikal entgegengesetzte Winkel.
Daher, ∠5 = ∠7 = 55°
Hinweis: Manchmal wird die Eigenschaft parallel der Zeilen in der Problemstellung möglicherweise nicht erwähnt, und die Zeilen scheinen möglicherweise parallel zueinander zu sein. Es ist wichtig zu bestimmen, ob zwei Linien parallel sind, indem Sie die Winkel und nicht durch Blicke überprüfen.
Beispiel 2. Wenn ∠A = 120° und ∠H = 60°. Bestimmen Sie, ob die Linien parallel sind.
Lösung:
Gegeben ∠A = 120° und ∠H = 60°.
Da benachbarte Winkel ergänzend sind, ∠A + ∠B = 180°
120 + ∠ B = 180 → ∠B = 60°.
Es ist gegeben, dass ∠H = 60°. Wir können sehen, dass ∠B und ∠H äußere alternative Winkel sind.
Wenn die abwechselnden Winkel gleich sind, sind die Linien parallel.
Daher sind die Linien p und q parallel.
Wir können dies mit anderen Winkeln überprüfen.
Wenn ∠H = 60 °, ∠E = 120 ° da diese beiden auf einer geraden Linie liegen, sind sie ergänzend.
Jetzt ist ∠A = ∠E = 120°. ∠A und ∠E sind entsprechende Winkel.
Wenn die entsprechenden Winkel gleich sind, sind die Linien parallel.
Ebenso können wir auch mit anderen Winkeln beweisen.
Beispiel 3. Wenn p und q zwei zueinander parallele Linien sind und ∠E = 50 °, ermitteln Sie alle Winkel in der folgenden Abbildung.
Lösung:
Es ist gegeben ∠E = 50°.
Die zwei linien sind parallel
→ Die entsprechenden winkel sind gleich.
Da ∠E und ∠A entsprechende Winkel sind, ist ∠A = 50° .
→ Die vertikal gegenüberliegenden Winkel sind gleich.
Da ∠A und ∠C sich vertikal gegenüberliegen, ist ∠C = 50°.
Da ∠E und ∠G sich vertikal gegenüberstehen, ist ∠G = 50°.
→ Die Innenwinkel auf der gleichen Seite des Querschnitts sind ergänzend.
∠E + ∠T = 180 ° → 50 + ∠T = 180 ° → ∠T = 130°
→ ∠ D und ∠B sind vertikal entgegengesetzte Winkel. Also ∠B = 130°.