Drei Dimensionenbearbeiten
Raumkurve in 3D. Der Positionsvektor r wird durch einen Skalar t parametrisiert. Bei r = a ist die rote Linie die Tangente an die Kurve und die blaue Ebene ist normal zur Kurve.
In drei Dimensionen können beliebige dreidimensionale Koordinaten und ihre entsprechenden Basisvektoren verwendet werden, um die Position eines Punktes im Raum zu definieren — je nachdem, was für die jeweilige Aufgabe am einfachsten ist.
Üblicherweise verwendet man das bekannte kartesische Koordinatensystem oder manchmal sphärische Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten:
r (t) ≡ r (x, y, z) ≡ x (t ) e ^ x + y (t ) e ^ y + z (t ) e ^ z ≡ r (r , θ , ϕ) ≡ r (t ) e ^ r (θ (t ) , ϕ (t )) ≡ r (r, θ , z) ≡ r (t ) e ^ r (θ (t ) ) + z (t) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _ {r} {\groß (} \theta (t), \phi (t) {\groß)} \\&\äquiv \mathbf {r} (r,\theta , z)\äquiv r (t)\mathbf {\ hut {e}} _{r} {\groß (}\theta (t) {\groß )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}
wobei t aufgrund ihrer Rechteck- oder Kreissymmetrie ein Parameter ist. Diese unterschiedlichen Koordinaten und entsprechenden Basisvektoren repräsentieren denselben Positionsvektor. Allgemeinere krummlinige Koordinaten könnten stattdessen verwendet werden und sind in Kontexten wie Kontinuumsmechanik und Allgemeine Relativitätstheorie (im letzteren Fall benötigt man eine zusätzliche Zeitkoordinate).
n dimensionsEdit
Die lineare Algebra erlaubt die Abstraktion eines n-dimensionalen Positionsvektors. Ein Positionsvektor kann als lineare Kombination von Basisvektoren ausgedrückt werden:
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle \mathbf {r} =\Summe _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
Die Menge aller Positionsvektoren bildet den Positionsraum (einen Vektorraum, dessen Elemente die Positionsvektoren sind), da Positionen addiert (Vektoraddition) und in der Länge skaliert (Skalarmultiplikation) werden können, um einen anderen Positionsvektor im Raum zu erhalten. Der Begriff „Raum“ ist intuitiv, da jedes xi (i = 1, 2, …, n) einen beliebigen Wert haben kann, definiert die Sammlung von Werten einen Punkt im Raum.
Die Dimension des Positionsraumes ist n (auch als dim(R) = n bezeichnet). Die Koordinaten des Vektors r in Bezug auf die Basisvektoren ei sind xi. Der Koordinatenvektor bildet den Koordinatenvektor oder das n-Tupel (x1, x2, …, xn).
Jede Koordinate xi kann mit einer Anzahl von Parametern t parametriert werden. Ein Parameter xi (t) würde einen gekrümmten 1D-Pfad beschreiben, zwei Parameter xi (t1, t2) beschreiben eine gekrümmte 2D-Oberfläche, drei xi (t1, t2, t3) beschreiben ein gekrümmtes 3D-Raumvolumen und so weiter.
Die lineare Spanne einer Basismenge B = {e1, e2, …, en} ist gleich dem Positionsraum R, bezeichnet mit span(B) = R.