Wenn mathematische Symbole verwendet werden, um die Riemann-Zeta-Funktion zu beschreiben, wird sie als unendliche Reihe dargestellt:
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s , R e (s ) > 1. {\displaystyle \zeta (s)=\Summe _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
wo R e ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
ist der reelle Teil der komplexen Zahl s {\displaystyle s}
. Zum Beispiel, wenn s = a + i b {\displaystyle s=a+ib}
, dann R e (s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(wobei i 2 = − 1 {\displaystyle i}^{2}=-1}
).
Dies macht eine Sequenz. Die ersten Terme dieser Sequenz wären
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
und so weiter
Dies gilt jedoch nicht für Zahlen, bei denen R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, wenn wir diese Funktion als unendliche Summe interpretieren, konvergiert die Summe nicht. Stattdessen divergiert es. Dies bedeutet, dass es, anstatt sich einem bestimmten Wert zu nähern, unendlich groß wird. Riemann verwendete die analytische Fortsetzung, so dass er allen Zahlen außer 1 einen Wert geben konnte. ζ (1 ) {\displaystyle {zeta } } (1)}
stellt die harmonische Reihe dar, die divergiert, was bedeutet, dass die Summe keiner bestimmten Zahl entspricht.
Leonhard Euler entdeckte die ersten Ergebnisse über die Reihe, die diese Funktion im achtzehnten Jahrhundert darstellt. Er bewies, dass die Zeta-Funktion als unendliches Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. In mathematischer Schreibweise:
ζ ( s ) = ∏ p / Primzahl 1 1 − p – s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p|{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
