5.1 Einleitung
Strömungsmechanik im Allgemeinen und Grenzschichten im Besonderen sind mathematisch komplex. Eine solche Komplexität fördert manchmal nicht nur das Studium und Verständnis von Flüssigkeiten, sondern auch die angewandte Mathematik. Die Mathematik erlaubt weiterhin dringend benötigte Schlussfolgerungen aus mehreren Disziplinen. Zu diesem Zweck leisten zahlreiche Mathematiker weiterhin bedeutende Beiträge zur Disziplin der Fluiddynamik.
Grenzschichtprobleme beinhalten eine schnelle Änderung des Wertes einer physikalischen Variablen über einen begrenzten Raumbereich und stellen eine besondere Klasse von singulären Störungsproblemen dar. In dieser Hinsicht beinhalten fast alle Grenzschichtprobleme Differentialgleichungen, in denen der höchste abgeleitete Term mit einem kleinen Parameter multipliziert wird. Auch die Grenzschicht wird immer als semiinfinit betrachtet, der Hauptgrund ist die Freiheit, Endgrenzeffekte berücksichtigen zu müssen, bei denen alle Unwägbarkeiten und denkbaren erwartet werden können. Die Betrachtung einer unendlichen Fläche könnte so schwierig sein, dass sie zunächst vom Hauptinteresse der Untersuchung ablenkt. Das heißt, es gibt nichts, was die jüngere Generation von Forschern daran hindert, sich diesem Problem zu stellen, wenn man bedenkt, dass sie einen relativ größeren Wissensschatz haben als frühere Generationen.
Die Hydro- oder Fluiddynamik wird durch nichtlineare partielle Differentialgleichungen (PDEs) bestimmt, die analytisch sehr schwer zu lösen sind. Nach unserem besten Wissen gibt es keine allgemeine geschlossene Lösung für diese Gleichungen. Die regierenden Gleichungen der Grenzschicht basieren in erster Linie auf einer Vereinfachung des Systems der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (PDEs), die als Navier-Stokes (NS) –Bewegungsgleichungen für viskose Strömungen bekannt sind. Die von Prandtl 1908 angebotene Vereinfachung wird allgemein als Prandtl-Grenzschichtgleichungen (PBL) bezeichnet. Im Gegensatz zu den NS-Gleichungen, die elliptisch sind, sind Grenzschichtgleichungen parabolischer Natur, und die zu ihrer Lösung verwendeten Techniken basieren auf den Ähnlichkeitsgesetzen in Grenzschichtströmungen.
Zur Lösung von Grenzschichtproblemen können drei primäre Methoden verwendet werden: die Ähnlichkeits- oder Differentialmethode (gängigster Ansatz), die Integralmethode und die vollständige numerische Lösungsmethode . Viele spezielle Fälle von nichtlinearen PDEs haben zu entsprechenden Änderungen in Variablen oder Streckungstransformationen geführt, abhängig von der Aufgabe, die sie erfüllen sollen. Einige Transformationen linearisieren das betrachtete Gleichungssystem, während andere das System in eines umwandeln, für das eine Lösung existiert. Die Transformationen, die ein System von PDEs auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) reduzieren, indem sie eine inhärente Symmetrie des Problems ausnutzen, werden oft als „Ähnlichkeitstransformationen“ angesehen.“ Die Ähnlichkeitsmethode ist die ursprüngliche Blasius-Methode, die entwickelt wurde, um Grenzschichtprobleme analytisch zu lösen. Blasius eingeführt und verwendet eine unabhängige Variable namens Ähnlichkeit Variable Prandtl Grenzschichtgleichungen . Dies basierte auf der Prämisse, dass die Geschwindigkeit entlang der Strömungsrichtung geometrisch ähnlich ist, wo die PDEs in ODEs umgewandelt werden. Die Ähnlichkeitstransformation erfasst das Grenzschichtwachstum und vereinfacht die Analyse und Lösung der Regelgleichungen erheblich. Das Finden einer Ähnlichkeitsvariablen, die für die Transformation geeignet ist, ist eher eine Kunst als eine Wissenschaft und erfordert gute Einblicke in das Problem. Die Anzahl der unabhängigen Variablen in den PDEs wird sorgfältig in eine einzige unabhängige Variable umgewandelt (bekannt als Ähnlichkeitsvariable). Die ursprünglichen Anfangsgrenzbedingungen werden auch in der neuen kombinierten Variablen gleichermaßen in geeignete Randbedingungen umgewandelt.
Die Ähnlichkeitstransformationstechnik ist ein unverzichtbares Werkzeug zur Analyse des strömungsmechanischen Verhaltens im Allgemeinen und insbesondere von Grenzschichtprozessen. Asymptotische Techniken ermöglichen es uns, ein komplexes System einfach zu machen, das dann für eine erleuchtete Form des Empirismus sorgt, die wir als Ähnlichkeit bezeichnen. Es wurden verschiedene Methoden und Ansätze entwickelt, um Ähnlichkeitsvariablen zu finden, beispielsweise den Satz von Vaschy–Buckingham Pi . Der strengste und systematischste Ansatz zum Auffinden von Ähnlichkeitsvariablen basiert auf der Lie-Gruppe von Transformationen . Die Prämisse des Lie-Gruppenansatzes ist, dass jede Variable in der Anfangsgleichung einer infinitesimalen Transformation unterzogen wird. Die Forderung, dass die Gleichung unter diesen Transformationen invariant ist, führt zur Bestimmung des Potentials oder möglicher Symmetrien. Dieser Ansatz wurde routinemäßig auf Grenzschichtgleichungen angewendet. Apropos Grenzschichttheorie, Die Autoren von gaben einen umfassenden Überblick über klassische Methoden, einschließlich mehrerer möglicher Ergebnisse in Abhängigkeit von der Perspektive des zu lösenden Problems. Die direkte Clarkson-Krustal-Methode, die verwendet wird, um Ähnlichkeitsreduktionen zu finden, wurde in instationären Grenzschichtgleichungen eingesetzt. Es ist wichtig zu beachten, dass die gefundene Ähnlichkeitsvariable nicht nur für ein Problem eindeutig oder spezifisch ist; Es kann auf andere ähnliche Probleme angewendet werden, wo immer dies angemessen ist. Darüber hinaus diskutierte Hansen die Methode der „Streckvariablen“, mit der Ähnlichkeitstransformationen gefunden werden. Insgesamt reduzieren Ähnlichkeitsprobleme die ursprünglichen PBL-Gleichungen auf eine Form, die in Bezug auf affine Transformationen invariant ist. Das lokale Strömungsfeld wird dann durch analytische / numerische Lösungen der PDEs in der Grenzschicht aufgelöst. Bezeichnenderweise ergeben die Geschwindigkeitsprofile von Grenzschichtströmungen eine Reihe homothetischer Kurven und Diagramme. Warum sind sie normalerweise homothetisch? In Bezug auf das Geschwindigkeitsprofil normalisieren wir beispielsweise um uU∞ und dies tendiert zur Einheit oder nähert sich ihr an. In ähnlicher Weise normalisieren wir in Bezug auf das Temperaturprofil durch die Freistromtemperatur oder T−T ∞, und dies tendiert zu oder nähert sich Null. Integrale Methoden ergeben in anderer Hinsicht geschlossene Lösungen, indem sie ein Profil von Geschwindigkeit, Temperatur und Konzentrationsmassentransfer annehmen. Es beinhaltet die Integration der Gleichungen von der Wand zum freien Strom, wodurch eine Gesamtleistung erzielt wird, die das Wachstum der Grenzschicht einschließt. Schließlich verwendet die vollständige numerische Methode bewährte numerische Schemata und praktische Simulationscodes mit Hochgeschwindigkeitsrechnern, um mehrere Grenzschichtprobleme zu lösen.
Es sollte angemerkt werden, dass einige Studien in der Literatur ihre Ergebnisse als exakte Lösungen diskutieren. Vorsicht in dieser Hinsicht ist wichtig. Im Allgemeinen, wenn wir von „exakten Lösungen“ von Grundgleichungen wie den NS-Gleichungen sprechen, und dies könnten die vollständigen NS-Gleichungen oder eine ihrer angenäherten Formen sein, solange die erhaltenen Lösungen, die durch irgendeine Technik erhalten werden, tatsächlich so genau sind, wie sie kommen, das heißt, es wird keine bessere Lösung gefunden. Die Genauigkeit bezieht sich auf die Lösung der Gleichung selbst. Wenn die fragliche Gleichung eine Annäherung an eine robustere Gleichung war, sollte der Anspruch auf Genauigkeit der Lösung nur auf die ungefähre Lösung gerichtet sein.