Per capire questa pagina, devi prima capire i tensori! Buone fonti sono i libri di J. F. Nye, G. E. Dieter, e D. R. Lovett di cui alla sezione Andando oltre in questo TLP. Molti corsi universitari di laurea in scienze fisiche o ingegneria hanno una serie di lezioni sui tensori, come il corso presso il Dipartimento di Scienza dei materiali e Metallurgia dell’Università di Cambridge, il volantino per il quale può essere trovato qui.
Il tensore di stress è un tensore di campo – dipende da fattori esterni al materiale. Affinché una sollecitazione non muova il materiale, il tensore di sollecitazione deve essere simmetrico: σij = σji-ha simmetria speculare sulla diagonale.
La forma generale è quindi:
$$\left( {\matrice{ {{\sigma _{11}}} & {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{22}}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\sigma _{33}}} \cr } } \right)$$ o, in alternativa, notazione, $$\left( {\matrice{ {{\sigma _{xx}}} & {{\tau _{xy}}} & {{\tau _{zx}}} \cr {{\tau _{xy}}} & {{\sigma _{yy}}} & {{\tau _{yz}}} \cr {{\tau _{zx}}} & {{\tau _{yz}}} & {{\sigma _{zz}}} \cr } } \right)$$
generale tensore di sforzo ha sei componenti indipendenti e potrebbe richiedere noi di fare un sacco di calcoli. Per semplificare le cose, può essere ruotato nel tensore di stress principale con un adeguato cambio di assi.
Tensioni principali
Le grandezze delle componenti del tensore delle tensioni dipendono da come abbiamo definito gli assi ortogonali x1, x2 e x3.
Per ogni stato di stress, possiamo ruotare gli assi, in modo che le uniche componenti diverse da zero del tensore di stress siano quelle lungo la diagonale:
$ $ \left ({\matrix {{{\sigma _1}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\sigma _2}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\sigma _3}} \ cr}} \ right)
cioè, non ci sono componenti di stress da taglio, solo componenti di stress normali.
Questo è un esempio di un tensore di stress principale di tutti i tensori che potremmo usare per esprimere lo stato di stress esistente. Gli elementi σ1, σ2, σ3 sono le sollecitazioni principali. Le posizioni degli assi ora sono gli assi principali. Mentre può essere che σ1 > σ2 > σ3, importa solo che gli assi x1, x2 e x3 definiscano le direzioni delle sollecitazioni principali.
Lo stress principale più grande è maggiore di qualsiasi componente trovato da qualsiasi altro orientamento degli assi. Pertanto, se abbiamo bisogno di trovare la più grande componente di stress che il corpo è sotto, abbiamo semplicemente bisogno di diagonalizzare il tensore di stress.
Ricorda-non abbiamo cambiato lo stato di stress, e non abbiamo spostato o cambiato il materiale – abbiamo semplicemente ruotato gli assi che stiamo usando e stiamo guardando lo stato di stress visto rispetto a questi nuovi assi.
Componenti idrostatici e deviatoric
Il tensore di sforzo può essere separato in due componenti. Un componente è uno stress idrostatico o dilatativo che agisce solo per modificare il volume del materiale; l’altro è lo stress deviatorico che agisce solo per modificare la forma.
$$\left( {\matrice{ {{\sigma _{11}}} & {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{22}}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\sigma _{33}}} \cr } } \right) = \left( {\matrice{ {{\sigma _H}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\sigma _H}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\sigma _H}} \cr } } \right) + \left( {\matrice{ {{\sigma _{11}} – {\sigma _H}} & {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{22}} – {\sigma _H}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\sigma _ {33}} – {\sigma _H}} \cr } } \right)
dove lo stress idrostatico è dato da \({\sigma _H}\) = \({1 \over 3}\) \ (\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}} \right)\).
Nei metalli cristallini la deformazione plastica avviene per slittamento, un processo di conservazione del volume che modifica la forma di un materiale attraverso l’azione di sollecitazioni di taglio. Su questa base, ci si potrebbe quindi aspettare che lo stress di snervamento di un metallo cristallino non dipenda dall’entità dello stress idrostatico; questo è in realtà esattamente ciò che viene osservato sperimentalmente.
Nei metalli amorfi, si riscontra sperimentalmente una leggerissima dipendenza dello stress di snervamento dallo stress idrostatico.