Ergodicità si verifica in ambienti ampi in fisica e matematica. Tutte queste impostazioni sono unificate da una descrizione matematica comune, quella del sistema dinamico che preserva la misura. Una descrizione informale di questo, e una definizione di ergodicità rispetto ad esso, è data immediatamente sotto. Questa è seguita da una descrizione dell’ergodicità nei processi stocastici. Sono la stessa cosa, nonostante l’uso di notazione e linguaggio drammaticamente diversi. Segue una revisione dell’ergodicità in fisica e in geometria. In tutti i casi, la nozione di ergodicità è esattamente la stessa di quella per i sistemi dinamici; non c’è differenza, tranne che per la prospettiva, la notazione, lo stile di pensiero e le riviste in cui vengono pubblicati i risultati.
Measure-preserving dynamical systemsEdit
La definizione matematica di ergodicità mira a catturare le idee ordinarie di tutti i giorni sulla casualità. Ciò include idee su sistemi che si muovono in modo tale da riempire (eventualmente) tutto lo spazio, come la diffusione e il moto browniano, così come nozioni di buon senso di miscelazione, come la miscelazione di vernici, bevande, ingredienti di cottura, miscelazione di processi industriali, fumo in una stanza piena di fumo, la polvere negli anelli di Saturno e così via. Per fornire una solida base matematica, le descrizioni dei sistemi ergodici iniziano con la definizione di un sistema dinamico che preserva la misura. Questo è scritto come (X, A , μ, T ) . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}
Il set X {\displaystyle X}
è inteso come lo spazio totale da riempire: la ciotola di miscelazione, la stanza piena di fumo, ecc. Con la misura μ {\displaystyle \ mu}
si intende definire il volume naturale dello spazio X {\displaystyle X}
e dei suoi sottospazi. La collezione di sottospazi è contrassegnato da Un {\displaystyle {\mathcal {A}}}
, e le dimensioni di un determinato sottoinsieme A ⊂ X {\displaystyle A\subset X}
è µ ( A ) {\displaystyle \mu (A)}
; la dimensione è il suo volume. Ingenuamente, si potrebbe immaginare un {\displaystyle {\mathcal {A}}}
per essere l’insieme di potenza di X {\displaystyle X}
; questo non funziona, poiché non tutti i sottoinsiemi di uno spazio hanno un volume (notoriamente, il paradosso di Banach-Tarski). Quindi, convenzionalmente, A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
consiste dei sottoinsiemi misurabili—i sottoinsiemi che hanno un volume. È sempre considerato un insieme di Borel – la raccolta di sottoinsiemi che possono essere costruiti prendendo intersezioni, unioni e complementi di insiemi; questi possono sempre essere considerati misurabili.
L’evoluzione temporale del sistema è descritta da una mappa T: X → X {\displaystyle T:X\to X}
. Dato un sottoinsieme A ⊂ X {\displaystyle A\subset X}
, la sua mappa T ( A ) {\displaystyle T(A)}
in generale dovrà essere una versione deformata di Un {\displaystyle A}
– è schiacciato o allungato, piegato o tagliato in pezzi. Esempi matematici includono la mappa del fornaio e la mappa a ferro di cavallo, entrambi ispirati alla panificazione. Il set T (A) {\displaystyle T (A)}
deve avere lo stesso volume di {\displaystyle A}
; lo schiacciamento / stiramento non altera il volume dello spazio, ma solo la sua distribuzione. Tale sistema è “conservazione della misura” (conservazione dell’area, conservazione del volume).
Una difficoltà formale sorge quando si cerca di conciliare il volume degli insiemi con la necessità di preservare la loro dimensione sotto una mappa. Il problema sorge perché, in generale, diversi punti nel dominio di una funzione possono mappare allo stesso punto nel suo intervallo; cioè, ci può essere x y y {\displaystyle x \ neq y}
. Peggio ancora, un singolo punto x X X {\displaystyle x \ in X}
non ha dimensioni. Queste difficoltà possono essere evitate lavorando con la mappa inversa T − 1 : A → A {\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}} \ to {\mathcal {A}}}
per i pezzi che sono stati assemblati per farlo: questi sono i pezzi T − 1 ( A ) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}
. Ha l’importante proprietà di non perdere traccia di dove le cose sono venute. Più forte, ha l’importante proprietà che qualsiasi (misure di conservazione). mappa A → {\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
è l’inverso della mappa X → X {\displaystyle X\in X}
. La corretta definizione di un volume-conservazione mappa è quella per cui µ ( A ) = µ ( T − 1 ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}
causa T − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1}(Un)}
descrive tutti i pezzi parti di esse che Un {\displaystyle A}
è venuto da.
Si è ora interessati a studiare l’evoluzione temporale del sistema. Se un insieme a ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
arriva finalmente a riempire tutti X {\displaystyle X}
nel corso di un lungo periodo di tempo (che è, se T e n ( A ) {\displaystyle T^{n}(Un)}
approcci di X {\displaystyle X}
per la grande n {\displaystyle n}
), il sistema è detto di essere ergodica. Se ogni set A {\displaystyle A}
si comporta in questo modo, il sistema è un sistema conservativo, posto in contrasto con un sistema dissipativo, dove alcuni sottoinsiemi A {\displaystyle A}
vagano via, per non essere mai restituiti. Un esempio potrebbe essere l’acqua che scorre in discesa once una volta che è corsa giù, non tornerà mai più. Il lago che si forma sul fondo di questo fiume può, tuttavia, diventare ben miscelato. Il teorema di decomposizione ergodica afferma che ogni sistema ergodico può essere diviso in due parti: la parte conservativa e la parte dissipativa.
La miscelazione è un’affermazione più forte dell’ergodicità. Miscelazione chiede per questo ergodica proprietà tra due insiemi A , B {\displaystyle A,B}
, e non solo tra alcuni impostare Un {\displaystyle A}
e X {\displaystyle X}
. Che, dati due insiemi A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}
, un sistema è detto di essere (topologicamente) miscelazione se c’è un numero intero N {\displaystyle N}
tale che, per tutti gli A , B {\displaystyle A,B}
e n > N {\displaystyle n>N}
, si ha che T n ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }
. Qui, ∩ {\displaystyle \ cap}
indica l’intersezione del set e ∅ {\displaystyle \varnothing}
è il set vuoto. Altre nozioni di miscelazione includono miscelazione forte e debole, che descrivono la nozione che le sostanze miste si mescolano ovunque, in proporzione uguale. Questo può essere non banale, come dimostra l’esperienza pratica di provare a mescolare sostanze appiccicose e appiccicose.
Processi ergodicimodifica
La discussione di cui sopra fa appello a un senso fisico di un volume. Il volume non deve essere letteralmente una porzione di spazio 3D; può essere un volume astratto. Questo è generalmente il caso nei sistemi statistici, dove il volume (la misura) è dato dalla probabilità. Il volume totale corrisponde alla probabilità uno. Questa corrispondenza funziona perché gli assiomi della teoria della probabilità sono identici a quelli della teoria della misura; questi sono gli assiomi di Kolmogorov.
L’idea di un volume può essere molto astratta. Si consideri, ad esempio, l’insieme di tutti i possibili lanci di monete: l’insieme di infinite sequenze di teste e code. Assegnando il volume di 1 a questo spazio, è chiaro che metà di tutte queste sequenze inizia con le teste e metà inizia con le code. Si può tagliare questo volume in altri modi: si può dire “Non mi interessa il primo n-1 {\displaystyle n-1}
coin-flips; ma voglio il n {\displaystyle n}
‘th di loro di essere teste, e poi non mi interessa quello che viene dopo che”. Questo può essere scritto come il set ( ∗ , ⋯ , ∗ h ∗ , ⋯ ) {\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*,\cdots )}
dove ∗ {\displaystyle *}
è “don’t care” e h {\displaystyle h}
è “teste”. Il volume di questo spazio è di nuovo (ovviamente!) metà.
Quanto sopra è sufficiente per costruire un sistema dinamico che preservi la misura, nella sua interezza. I set di h {\displaystyle h}
o t {\stile di visualizzazione t}
che si verificano in n {\displaystyle n}
‘th posto sono chiamati set di cilindri. L’insieme di tutte le possibili intersezioni, unioni e complementi dei set di cilindri formano quindi il set di Borel A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
definito sopra. In termini formali, i set di cilindri formano la base per una topologia sullo spazio X {\displaystyle X}
di tutti i possibili lanci di monete di lunghezza infinita. La misura µ {\displaystyle \mu }
ha tutto il buon senso, le proprietà possono sperare: la misura di un cilindro set con h {\displaystyle h}
in m {\displaystyle m}
‘ ° posizione, e t {\displaystyle t}
nel k {\displaystyle k}
‘ ° posizione è, ovviamente, 1/4 e così via. Queste proprietà di buon senso persistono per set-complemento e set-unione: tutto tranne h {\displaystyle h}
e t {\displaystyle t}
in posizioni m {\displaystyle m}
e k {\displaystyle k}
ovviamente ha il volume di 3/4. Tutti insieme, questi formano gli assiomi di una misura sigma-additiva; i sistemi dinamici che preservano la misura usano sempre misure sigma-additive. Per i lanci di monete, questa misura è chiamata misura di Bernoulli.
Per il processo coin-flip, l’operatore time-evolution T {\displaystyle T}
è l’operatore shift che dice “butta via il primo coin-flip e mantieni il resto”. Formalmente, se ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
è una sequenza di coin-flip, allora T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}
. La misura è ovviamente maiusc-invariante: fintanto che stiamo parlando di un qualche A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
in cui il primo coin-flip x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}
è il “don’t care” e valore, quindi il volume µ ( A ) {\displaystyle \mu (A)}
non cambia: µ ( A ) = µ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A))}
. Al fine di evitare di parlare il primo coin-flip, è più facile da definire T − 1 {\displaystyle T^{-1}}
l’inserimento di un “don’t care” valore in prima posizione: T − 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}
. Con questa definizione, si ha ovviamente che μ (T − 1 ( A ) ) = μ (A) {\displaystyle \ mu(T^{-1} (A))=\mu (A)}
senza vincoli su un {\displaystyle A}
. Questo è di nuovo un esempio del perché T-1 {\displaystyle T^{-1}}
è usato nelle definizioni formali.
Lo sviluppo di cui sopra prende un processo casuale, il processo di Bernoulli, e lo converte in un sistema dinamico che preserva la misura ( X , A , μ , T ) . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}
La stessa conversione (equivalenza, isomorfismo) può essere applicata a qualsiasi processo stocastico. Quindi, una definizione informale di ergodicità è che una sequenza è ergodica se visita tutta X {\displaystyle X}
; tali sequenze sono “tipiche” per il processo. Un altro è che le sue proprietà statistiche può essere dedotto da una singola, un tempo sufficientemente lungo, campione casuale di processo (così uniformemente il campionamento di X {\displaystyle X}
), o che qualsiasi raccolta di campioni casuali da un processo che deve rappresentare la media proprietà statistiche di tutto il processo (che è, campioni prelevati in maniera uniforme da X {\displaystyle X}
sono rappresentante di X {\displaystyle X}
come un intero.) Nel presente esempio, una sequenza di lanci di monete, dove metà sono teste e metà sono code, è una sequenza “tipica”.
Ci sono diversi punti importanti da fare sul processo di Bernoulli. Se si scrive 0 per tails e 1 per heads, si ottiene l’insieme di tutte le stringhe infinite di cifre binarie. Questi corrispondono alla base-due espansione dei numeri reali. In modo esplicito, data una successione ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
, il corrispondente numero reale y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}
L’affermazione che il processo di Bernoulli è ergodica equivale ad affermare che i numeri reali sono distribuiti in maniera uniforme. L’insieme di tutte queste stringhe può essere scritto in vari modi: {h , t } ∞ = { h, t } ω = { 0, 1} ω = 2 ω = 2 N . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}=\{0,1\}^{\ omega }=2^{\omega} = 2^{\mathbb {N} }.}
Questo set è l’insieme di Cantor, a volte chiamato il Cantore spazio per evitare confusione con il Cantore funzione C ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}
alla fine, questi sono tutti “la stessa cosa”.
Il set Cantor svolge un ruolo chiave in molti rami della matematica. In matematica ricreativa, è alla base del periodo-raddoppio frattali; in analisi, appare in una vasta varietà di teoremi. Una chiave per i processi stocastici è la decomposizione di Wold, che afferma che qualsiasi processo stazionario può essere scomposto in una coppia di processi non correlati, uno deterministico e l’altro è un processo medio mobile.
Il teorema dell’isomorfismo di Ornstein afferma che ogni processo stocastico stazionario è equivalente a uno schema di Bernoulli (un processo di Bernoulli con un dado di gioco N-sided (e possibilmente ingiusto)). Altri risultati includono che ogni sistema ergodico non dissipativo è equivalente al contachilometri di Markov, a volte chiamato “adding machine” perché sembra un’aggiunta della scuola elementare, cioè prendendo una sequenza di cifre base-N, aggiungendone una e propagando i bit di trasporto. La prova di equivalenza è molto astratta; comprendere il risultato non lo è: aggiungendo uno ad ogni passo temporale, viene visitato ogni possibile stato del contachilometri, fino a quando non si rovescia e ricomincia. Allo stesso modo, i sistemi ergodici visitano ogni stato, in modo uniforme, passando a quello successivo, fino a quando non sono stati tutti visitati.
I sistemi che generano sequenze (infinite) di N lettere sono studiati per mezzo di dinamiche simboliche. Importanti casi speciali includono subshifts di tipo finito e sistemi sofic.
Ergodicità in fisicamodifica
I sistemi fisici possono essere suddivisi in tre categorie: meccanica classica, che descrive macchine con un numero finito di parti mobili, meccanica quantistica, che descrive la struttura degli atomi e meccanica statistica, che descrive gas, liquidi, solidi; questo include la fisica della materia condensata. Il caso della meccanica classica è discusso nella prossima sezione, sull’ergodicità in geometria. Per quanto riguarda la meccanica quantistica, sebbene esista una concezione del caos quantistico, non esiste una chiara definizione di ergodocità; ciò che potrebbe essere è oggetto di accesi dibattiti. Questa sezione esamina l’ergodicità nella meccanica statistica.
La definizione astratta di un volume è richiesta come impostazione appropriata per le definizioni di ergodicità in fisica. Si consideri un contenitore di liquido, o gas, o plasma, o altra raccolta di atomi o particelle. Ogni particella x i {\displaystyle x_ {i}}
ha una posizione 3D e una velocità 3D ed è quindi descritto da sei numeri: un punto nello spazio sei-dimensionale R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}
Se ci sono N {\displaystyle N}
di queste particelle nel sistema, una descrizione completa richiede 6 N {\displaystyle 6N}
numeri. Qualsiasi sistema è solo un singolo punto in R 6 N . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}
Il sistema fisico non è tutto R 6 N {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}
, naturalmente; se si tratta di una scatola di larghezza, altezza e lunghezza L × H × L {\displaystyle W\times H\times L}
quindi un punto a ( W × H × L × R 3 ) N . {\displaystyle (W \ volte H \ volte L \ volte \ mathbb {R} ^ {3})^{N}.}
Né le velocità possono essere infinite: sono scalati da qualche misura di probabilità, ad esempio la misura di Boltzmann–Gibbs per un gas. Nondimeno, per N {\displaystyle N}
vicino al numero di Avogadro, questo è ovviamente uno spazio molto ampio. Questo spazio è chiamato l’insieme canonico.
Si dice che un sistema fisico sia ergodico se un qualsiasi punto rappresentativo del sistema alla fine arriva a visitare l’intero volume del sistema. Per l’esempio precedente, questo significa che qualsiasi dato atomo non solo visite ogni parte del box W × H × L {\displaystyle W\times H\times L}
con probabilità uniforme, ma con ogni possibile velocità, con probabilità data dalla distribuzione di Boltzmann per la velocità (in modo uniforme rispetto a quella misura). L’ipotesi ergodica afferma che i sistemi fisici in realtà sono ergodici. Più scale temporali sono al lavoro: gas e liquidi sembrano essere ergodici su scale temporali brevi. L’ergodicità in un solido può essere vista in termini di modi vibrazionali o fononi, poiché ovviamente gli atomi in un solido non si scambiano posizioni. Gli occhiali presentano una sfida all’ipotesi ergodica; si presume che le scale temporali siano nei milioni di anni, ma i risultati sono controversi. Gli occhiali Spin presentano particolari difficoltà.
Le prove matematiche formali di ergodicità nella fisica statistica sono difficili da trovare; la maggior parte dei sistemi a molti corpi ad alta dimensione si presume essere ergodica, senza prove matematiche. Le eccezioni includono il biliardo dinamico, che modellano le collisioni di atomi di tipo palla da biliardo in un gas o plasma ideale. Il primo teorema di ergodicità della sfera dura era per il biliardo del Sinai, che considera due palle, una delle quali presa come stazionaria, all’origine. Quando la seconda palla si scontra, si allontana; applicando condizioni al contorno periodiche, ritorna a scontrarsi di nuovo. Facendo appello all’omogeneità, questo ritorno della “seconda” palla può invece essere preso per essere “solo un altro atomo” che è entrato nel range, e si sta muovendo per scontrarsi con l’atomo all’origine (che può essere preso per essere solo “qualsiasi altro atomo”.) Questa è una delle poche prove formali esistenti; non ci sono affermazioni equivalenti, ad esempio per gli atomi in un liquido, che interagiscono tramite le forze di van der Waals, anche se sarebbe buon senso credere che tali sistemi siano ergodici (e di miscelazione). Argomenti fisici più precisi possono essere fatti, però.
Ergodicità in geometriaedit
L’ergodicità è un fenomeno diffuso nello studio delle varietà riemanniane. Una rapida sequenza di esempi, dal semplice al complicato, illustra questo punto. Tutti i sistemi menzionati di seguito si sono dimostrati ergodici attraverso rigorose prove formali. La rotazione irrazionale di un cerchio è ergodica: l’orbita di un punto è tale che alla fine viene visitato ogni altro punto del cerchio. Tali rotazioni sono un caso speciale della mappa di scambio dell’intervallo. Le espansioni beta di un numero sono ergodiche: le espansioni beta di un numero reale non vengono eseguite in base-N, ma in base-β {\displaystyle \ beta }
per alcuni β . {\stile di visualizzazione \ beta .}
La versione riflessa dell’espansione beta è tent map; ci sono una varietà di altre mappe ergodiche dell’intervallo unitario. Passando a due dimensioni, i biliardo aritmetici con angoli irrazionali sono ergodici. Si può anche prendere un rettangolo piatto, schiacciarlo, tagliarlo e rimontarlo; questa è la mappa di Baker precedentemente menzionata. I suoi punti possono essere descritti dall’insieme di stringhe bi-infinite in due lettere, cioè che si estendono sia a sinistra che a destra; come tale, sembra due copie del processo di Bernoulli. Se uno si deforma lateralmente durante lo schiacciamento, si ottiene la mappa del gatto di Arnold. Nella maggior parte dei modi, la mappa cat è prototipo di qualsiasi altra trasformazione simile.
Per superfici non piane, si ha che il flusso geodetico di qualsiasi superficie compatta di Riemann curva negativamente è ergodico. Una superficie è “compatta”nel senso che ha una superficie finita. Il flusso geodetico è una generalizzazione dell’idea di muoversi in una “linea retta” su una superficie curva: tali linee rette sono geodetiche. Uno dei primi casi studiati è il biliardo di Hadamard, che descrive la geodetica sulla superficie di Bolza, topologicamente equivalente a una ciambella con due fori. L’ergodicità può essere dimostrata in modo informale, se si ha un pennarello e qualche ragionevole esempio di una ciambella a due fori: iniziando ovunque, in qualsiasi direzione, si tenta di tracciare una linea retta; i righelli sono utili per questo. Non ci vuole molto per scoprire che non si torna al punto di partenza. (Naturalmente, il disegno storto può anche spiegare questo; ecco perché abbiamo prove.)
Questi risultati si estendono a dimensioni superiori. Il flusso geodetico per collettori Riemanniani compatti a curvatura negativa è ergodico. Un classico esempio per questo è il flusso Anosov, che è il flusso horocycle su un collettore iperbolico. Questo può essere visto come una sorta di fibrazione Hopf. Tali flussi si verificano comunemente nella meccanica classica, che è lo studio in fisica delle macchine mobili finite-dimensionali, ad esempio il doppio pendolo e così via. La meccanica classica è costruita su collettori simplettici. I flussi su tali sistemi possono essere decostruiti in collettori stabili e instabili; come regola generale, quando ciò è possibile, i risultati del movimento caotico. Che questo sia generico può essere visto notando che il fascio cotangente di un collettore Riemanniano è (sempre) un collettore simplettico; il flusso geodetico è dato da una soluzione alle equazioni di Hamilton–Jacobi per questo collettore. In termini di canonica coordinate ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}
la cotangente collettore, l’Hamiltoniana o l’energia è data da H = 1 2 ∑ i j g i j ( q ) p i p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}
con g i j {\displaystyle g^{ij}}
l’ (inversa) del tensore metrico e p i {\displaystyle p_{i}}
la quantità di moto. La somiglianza con l’energia cinetica E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}} mv^{2}}
di una particella punto è difficilmente casuale; questo è il punto di chiamare tali cose “energia”. In questo senso, il comportamento caotico con orbite ergodiche è un fenomeno più o meno generico in ampi tratti di geometria.
Sono stati forniti risultati di ergodicità in superfici di traslazione, gruppi iperbolici e geometria sistolica. Le tecniche includono lo studio dei flussi ergodici, la decomposizione di Hopf e il teorema di Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. Una classe importante di sistemi sono i sistemi Assioma A.
Sono stati ottenuti numerosi risultati sia di classificazione che di “anti-classificazione”. Il teorema dell’isomorfismo di Ornstein si applica anche qui; ancora una volta, afferma che la maggior parte di questi sistemi sono isomorfi per alcuni schemi di Bernoulli. Questo lega piuttosto ordinatamente questi sistemi nella definizione di ergodicità data per un processo stocastico, nella sezione precedente. I risultati anti-classificazione affermano che ci sono più di un numero numerabilmente infinito di sistemi dinamici che preservano la misura ergodica iniquivalente. Questo forse non è del tutto una sorpresa, in quanto si possono usare punti nel set Cantor per costruire sistemi simili ma diversi. Vedere measure-preserving dynamical system per una breve indagine di alcuni dei risultati anti-classificazione.
Sviluppo storicomodiFica
L’idea di ergodicità nacque nel campo della termodinamica, dove era necessario mettere in relazione i singoli stati delle molecole di gas con la temperatura di un gas nel suo insieme e la sua evoluzione temporale. Per fare ciò, è stato necessario indicare cosa significa esattamente che i gas si mescolino bene insieme, in modo che l’equilibrio termodinamico possa essere definito con rigore matematico. Una volta che la teoria era ben sviluppata in fisica, fu rapidamente formalizzata ed estesa, così che la teoria ergodica è stata a lungo un’area indipendente della matematica in sé. Come parte di questa progressione, coesistono più di una definizione leggermente diversa di ergodicità e moltitudini di interpretazioni del concetto in diversi campi.
Ad esempio, nella fisica classica il termine implica che un sistema soddisfa l’ipotesi ergodica della termodinamica, lo spazio di stato rilevante è lo spazio di posizione e momento. Nella teoria dei sistemi dinamici lo spazio di stato è solitamente considerato uno spazio di fase più generale. D’altra parte nella teoria della codifica lo spazio di stato è spesso discreto sia nel tempo che nello stato, con una struttura meno concomitante. In tutti questi campi le idee di media del tempo e media dell’insieme possono anche portare un bagaglio extra – come nel caso delle molte possibili funzioni di partizione termodinamicamente rilevanti utilizzate per definire le medie dell’insieme in fisica, di nuovo. Come tale la formalizzazione teorica della misura del concetto serve anche come disciplina unificante.
etimologiaedit
Il termine ergodico è comunemente pensato per derivare dalle parole grecheρργον (ergon: “lavoro”) eδδός (hodos: “percorso”, “via”), come scelto da Ludwig Boltzmann mentre stava lavorando su un problema di meccanica statistica. Allo stesso tempo è anche affermato di essere una derivazione di ergomonode, coniato da Boltzmann in un documento relativamente oscuro del 1884. L’etimologia sembra essere contestata anche in altri modi.