Para comprender esta página, primero debe comprender los tensores. Buenas fuentes son los libros de J. F. Nye, G. E. Dieter y D. R. Lovett mencionados en la sección Yendo más lejos en este TLP. Muchos cursos universitarios de licenciatura en ciencias físicas o ingeniería tienen una serie de conferencias sobre tensores, como el curso en el Departamento de Ciencia de Materiales y Metalurgia de la Universidad de Cambridge, cuyo folleto se puede encontrar aquí.
El tensor de tensión es un tensor de campo, depende de factores externos al material. Para que una tensión no mueva el material, el tensor de tensión debe ser simétrico: σij = σji – tiene simetría de espejo alrededor de la diagonal.
La forma general es así:
$$\left( {\matriz{ {{\sigma _{11}}} & {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{22}}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\sigma _{33}}} \cr } } \right)$$ o, en una alternativa de notación, $$\left( {\matriz{ {{\sigma _{xx}}} & {{\tau _{xy}}} & {{\tau _{zx}}} \cr {{\tau _{xy}}} & {{\sigma _{yy}}} & {{\tau _{yz}}} \cr {{\tau _{zx}}} & {{\tau _{yz}}} & {{\sigma _{zz}}} \cr } } \right)$$
El general tensor de tensiones tiene seis componentes independientes y podría requerir para hacer muchos cálculos. Para facilitar las cosas, se puede girar en el tensor de tensión principal mediante un cambio adecuado de ejes.
Tensiones principales
Las magnitudes de los componentes del tensor de tensión dependen de cómo hayamos definido los ejes ortogonales x1, x2 y x3.
Para cada estado de tensión, podemos rotar los ejes, de modo que los únicos componentes distintos de cero del tensor de tensión sean los que se encuentran a lo largo de la diagonal:
$$\left( {\matriz{ {{\sigma _1}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\sigma _2}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\sigma _3}} \cr } } \right)$$
es decir, que no hay esfuerzo cortante de los componentes, sólo el estrés normal de los componentes.
Este es un ejemplo de un tensor de tensión principal de todos los tensores que podríamos usar para expresar el estado de tensión que existe. Los elementos σ1, σ2, σ3 son las tensiones principales. Las posiciones de los ejes ahora son los ejes principales. Si bien puede ser que σ1 > σ2 > σ3, solo importa que los ejes x1, x2 y x3 definan las direcciones de las tensiones principales.
El esfuerzo principal más grande es mayor que cualquiera de los componentes encontrados desde cualquier otra orientación de los ejes. Por lo tanto, si necesitamos encontrar el componente de estrés más grande bajo el que se encuentra el cuerpo, simplemente necesitamos diagonalizar el tensor de estrés.
Recuerde, no hemos cambiado el estado de tensión, y no hemos movido ni cambiado el material, simplemente hemos girado los ejes que estamos utilizando y estamos observando el estado de tensión visto con respecto a estos nuevos ejes.
Componentes hidrostáticos y desviadores
El tensor de tensión se puede separar en dos componentes. Un componente es un esfuerzo hidrostático o dilatacional que actúa para cambiar el volumen del material solamente; el otro es el esfuerzo desviatorio que actúa para cambiar la forma solamente.
$$\left( {\matrix{ {{\sigma _{11}}} & {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{22}}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\sigma _{33}}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{\sigma _H}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\sigma _H}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\sigma _H}} \cr } } \right) + \left( {\matrix{ {{\sigma _{11}} – {\sigma _H}} & {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\sigma _{22}} – {\sigma _H}} & {{\sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\sigma _{33}} – {\sigma _H}} \cr } } \right)$$
donde la hidrostática, la tensión está dada por \({\sigma _H}\) = \({1 \over 3}\)\(\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}} \right)\).
En metales cristalinos, la deformación plástica se produce por deslizamiento, un proceso de conservación de volumen que cambia la forma de un material a través de la acción de esfuerzos cortantes. Sobre esta base, podría esperarse, por lo tanto, que el límite elástico de un metal cristalino no dependa de la magnitud del esfuerzo hidrostático; de hecho, esto es exactamente lo que se observa experimentalmente.
En metales amorfos, se encuentra experimentalmente una dependencia muy leve del esfuerzo de fluencia del esfuerzo hidrostático.