La ergodicidad se produce en entornos amplios de física y matemáticas. Todos estos ajustes están unificados por una descripción matemática común, la del sistema dinámico que preserva la medida. A continuación se presenta una descripción informal de esta cuestión y una definición de ergodicidad con respecto a ella. Esto es seguido por una descripción de ergodicidad en procesos estocásticos. Son uno y el mismo, a pesar de usar notación y lenguaje dramáticamente diferentes. A continuación, una revisión de ergodicidad en física y geometría. En todos los casos, la noción de ergodicidad es exactamente la misma que para los sistemas dinámicos; no hay diferencia, excepto para la perspectiva, la notación, el estilo de pensamiento y las revistas donde se publican los resultados.
Sistemas dinámicos de preservación de medidaseditar
La definición matemática de ergodicidad tiene como objetivo capturar ideas cotidianas ordinarias sobre la aleatoriedad. Esto incluye ideas sobre sistemas que se mueven de tal manera que (eventualmente) llenan todo el espacio, como la difusión y el movimiento browniano, así como nociones de sentido común de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, mezcla de procesos industriales, humo en una habitación llena de humo, el polvo en los anillos de Saturno, etc. Para proporcionar una base matemática sólida, las descripciones de los sistemas ergódicos comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva la medida. Esto se escribe como (X, A, μ, T). {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}
El conjunto X {\displaystyle X}
se entiende como el espacio total a llenar: el recipiente para mezclar, la habitación llena de humo, etc. La medida µ {\displaystyle \mu }
se entiende para definir el volumen natural del espacio X {\displaystyle X}
y de sus subespacios. La colección de subespacios, se denota por {\displaystyle {\mathcal {A}}}
, y el tamaño de cualquier subconjunto A ⊂ X {\displaystyle Un\subconjunto X}
es µ ( A ) {\displaystyle \mu (Un)}
; el tamaño de su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginar A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
ser el conjunto de potencias de X {\displaystyle X}
; esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (la famosa paradoja de Banach-Tarski). Por lo tanto, convencionalmente, A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
consiste en los subconjuntos medibles, los subconjuntos que tienen un volumen. Siempre se toma como un conjunto de Borel, la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones, uniones y complementos de conjuntos; estos siempre se pueden tomar como medibles.
La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa T: X → X {\displaystyle T:X\to X}
. Dado algún subconjunto A X X {\displaystyle A\subconjunto X}
, su mapa T ( A ) {\displaystyle T(A)}
será en general una versión deformada de A {\displaystyle A}
– está aplastado o estirado, doblado o cortado en trozos. Ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de herradura, ambos inspirados en la elaboración del pan. El conjunto T(A) {\displaystyle T(A)}
debe tener el mismo volumen que A {\displaystyle A}
; el aplastamiento / estiramiento no altera el volumen del espacio, solo su distribución. Tal sistema es «preservación de medidas» (preservación de área, preservación de volumen).
Surge una dificultad formal cuando se intenta conciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo un mapa. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden mapearse al mismo punto en su rango; es decir, no puede ser x ≠ y {\displaystyle x\neq y}
con T ( x ) = T ( y ) {\displaystyle T(x)=T(y)}
. Peor aún, un solo punto x ∈ X {\displaystyle x\in X}
no tiene tamaño. Estas dificultades pueden ser evitadas mediante el trabajo con la inversa de la mapa T − 1 : A → A {\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
; se asignará cualquier subconjunto A ⊂ X {\displaystyle Un\subconjunto X}
para las piezas que se montan para hacer esto: estas piezas son de T − 1 ( Un ) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}
. Tiene la importante propiedad de no perder de vista de dónde vinieron las cosas. Más fuertemente, tiene la propiedad importante de que cualquier (preservación de la medida) mapea A → A {\displaystyle {\mathcal {A}}\a {\mathcal {A}}}
es el inverso de algún mapa X → X {\displaystyle X\to X}
. La definición adecuada de un mapa de preservación de volumen es aquella para la que μ ( A) = μ ( T − 1 (A)) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1} (A))}
porque T − 1 ( A ) {\displaystyle T^{-1} (A)}
describe todas las piezas-partes de las que A {\displaystyle A}
vino.
Ahora se está interesado en estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto A ∈ A {\displaystyle Un\in {\mathcal {A}}}
finalmente viene a llenar todos los de X {\displaystyle X}
durante un largo período de tiempo (es decir, si T n ( A ) {\displaystyle T^{n}(Un)}
todos los enfoques de X {\displaystyle X}
para la gran n {\displaystyle n}
), el sistema se dice que está ergodic. Si cada conjunto A {\displaystyle A}
se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador, colocado en contraste con un sistema disipativo, donde algunos subconjuntos A {\displaystyle A}
se alejan, para nunca ser devueltos. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo once una vez que se ha agotado, nunca volverá a subir de nuevo. Sin embargo, el lago que se forma en el fondo de este río puede mezclarse bien. El teorema de descomposición ergódica establece que cada sistema ergódico se puede dividir en dos partes: la parte conservadora y la parte disipativa.
La mezcla es una declaración más fuerte que la ergodicidad. La mezcla pide que esta propiedad ergódica se mantenga entre dos conjuntos cualesquiera A,B {\displaystyle A, B}
, y no solo entre algún conjunto A {\displaystyle A}
y X {\displaystyle X}
. Esto es, dados dos conjuntos a , B ∈ A {\displaystyle a,B\in {\mathcal {A}}}
, un sistema se dice que es (topológicamente) de la mezcla si existe un entero N {\displaystyle N}
tales que, para todo a , B {\displaystyle Una,B}
y n > N {\displaystyle n>N}
, se tiene que T n ( A ) ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }
. Aquí, ∩ {\displaystyle \cap }
denota la intersección de conjuntos y ∅ {\displaystyle \varnothing }
es el conjunto vacío. Otras nociones de mezcla incluyen la mezcla fuerte y débil, que describen la noción de que las sustancias mezcladas se entremezclan en todas partes, en la misma proporción. Esto puede no ser trivial, como lo demuestra la experiencia práctica de tratar de mezclar sustancias pegajosas y pegajosas.
Procesos ergódicoseditar
La discusión anterior apela a un sentido físico de un volumen. El volumen no tiene que ser literalmente una porción de espacio 3D; puede ser un volumen abstracto. Este es generalmente el caso en los sistemas estadísticos, donde el volumen (la medida) viene dado por la probabilidad. El volumen total corresponde a la probabilidad uno. Esta correspondencia funciona porque los axiomas de la teoría de la probabilidad son idénticos a los de la teoría de la medida; estos son los axiomas de Kolmogorov.
La idea de un volumen puede ser muy abstracta. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los lanzamientos de monedas posibles: el conjunto de secuencias infinitas de cabezas y colas. Asignando el volumen de 1 a este espacio, está claro que la mitad de todas estas secuencias comienzan con cabezas y la otra mitad con colas. Uno puede dividir este volumen de otras maneras: uno puede decir «No me importa el primer n − 1 {\displaystyle n-1}
giros de monedas; pero quiero el n {\displaystyle n}
‘th de ellos a ser cabezas, y luego no me importa lo que viene después de eso». Esto puede ser escrito como el conjunto de ( ∗ , ⋯ , ∗ , h ∗ , ⋯ ) {\displaystyle (*,\cdots ,*,h*,\cdots )}
donde ∗ {\displaystyle *}
es «don’t care» y h {\displaystyle h}
es «jefes». El volumen de este espacio es de nuevo (¡obviamente!) la mitad.
Lo anterior es suficiente para construir un sistema dinámico que preserve la medida, en su totalidad. Los conjuntos de h {\displaystyle h}
or t {\displaystyle t}
que ocurre en n {\displaystyle n}
‘el lugar se llama juegos de cilindros. El conjunto de todas las intersecciones, uniones y complementos posibles de los conjuntos de cilindros forma el conjunto de Borel A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
definido anteriormente. En términos formales, los conjuntos de cilindros forman la base de una topología en el espacio X {\displaystyle X}
de todos los lanzamientos de monedas de longitud infinita posibles. La medida μ {\displaystyle \mu }
tiene todas las propiedades de sentido común que uno podría esperar: la medida de un conjunto de cilindros con h {\displaystyle h}
en el m {\displaystyle m}
‘posición t, y t {\displaystyle t}
en el k {\displaystyle k}
‘la posición es obviamente 1/4, y así sucesivamente. Estas propiedades de sentido común persisten para complemento de conjunto y unión de conjunto: todo, excepto para h {\displaystyle h}
y t {\displaystyle t}
en los lugares m {\displaystyle m}
y k {\displaystyle k}
obviamente tiene el volumen de 3/4. Todos juntos, forman los axiomas de una medida sigma-aditiva; los sistemas dinámicos que preservan la medida siempre usan medidas sigma-aditivas. Para los giros de monedas, esta medida se llama la medida de Bernoulli.
Para el proceso de lanzamiento de moneda, el operador de evolución temporal T {\displaystyle T}
es el operador de turno que dice «tira la primera moneda y quédate con el resto». Formalmente, si ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
es una secuencia de moneda-flips, entonces T ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( x 2 , x 3 , ⋯ ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}
. La medida es obviamente invariante al desplazamiento: mientras estamos hablando de un conjunto A ∈ A {\displaystyle Un\in {\mathcal {A}}}
donde el primer coin flip-x 1 = ∗ {\displaystyle x{1}=*}
es el de «no me importa» valor», a continuación, el volumen µ ( A ) {\displaystyle \mu (Un)}
no cambia: µ ( A ) = µ ( T ( A ) ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (T(Una))}
. Con el fin de evitar hablar de la primera moneda-flip, es más fácil definir T − 1 {\displaystyle T^{-1}}
como insertar un «no me importa» valor en la primera posición: T − 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ ) = ( ∗ , x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}
. Con esta definición, obviamente se tiene que μ (T − 1 (A)) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}
sin restricciones en A {\displaystyle A}
. Esto es de nuevo un ejemplo de por qué T − 1 {\displaystyle T^{-1}}
se utiliza en las definiciones formales.
El desarrollo anterior toma un proceso aleatorio, el proceso Bernoulli, y lo convierte en un sistema dinámico que preserva la medida ( X , A , μ , T ) . {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}
La misma conversión (equivalencia, isomorfismo) se puede aplicar a cualquier proceso estocástico. Por lo tanto, una definición informal de ergodicidad es que una secuencia es ergódica si visita todo X {\displaystyle X}
; tales secuencias son «típicas» para el proceso. Otra es que sus propiedades estadísticas se pueden deducir de una sola muestra aleatoria suficientemente larga del proceso (por lo tanto, muestreando uniformemente todo X {\displaystyle X}
), o que cualquier colección de muestras aleatorias de un proceso debe representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso (es decir, las muestras extraídas uniformemente de X {\displaystyle X}
son representativas de X {\displaystyle X} displaystyle X}
en su conjunto. En el presente ejemplo, una secuencia de giros de monedas, donde la mitad son cabezas y la otra mitad colas, es una secuencia «típica».
Hay varios puntos importantes que hacer sobre el proceso de Bernoulli. Si se escribe 0 para colas y 1 para cabezas, se obtiene el conjunto de todas las cadenas infinitas de dígitos binarios. Estos corresponden a la expansión base-dos de los números reales. Explícitamente, dada una secuencia de ( x 1 , x 2 , ⋯ ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}
, el correspondiente número real es y = ∑ n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}
La declaración de que el proceso de Bernoulli es ergodic es equivalente a la afirmación de que los números reales son distribuidos de manera uniforme. El conjunto de todas estas cadenas se puede escribir de varias maneras: { h, t} ∞ = { h, t} ω = { 0, 1} ω = 2 ω = 2 N . {\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}
Este conjunto es el conjunto de Cantor, a veces llamado el Cantor espacio para evitar la confusión con el Cantor de la función C ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}
al final, todos estos son «la misma cosa».
El conjunto de Cantores juega un papel clave en muchas ramas de las matemáticas. En matemáticas recreativas, sustenta los fractales que duplican el período; en el análisis, aparece en una gran variedad de teoremas. Una clave para los procesos estocásticos es la descomposición de Wold, que establece que cualquier proceso estacionario puede descomponerse en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de media móvil.
El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que cada proceso estocástico estacionario es equivalente a un esquema de Bernoulli (un proceso de Bernoulli con un dado de juego de lados N (y posiblemente injusto)). Otros resultados incluyen que cada sistema ergódico no disipativo es equivalente al odómetro de Markov, a veces llamado «máquina sumadora» porque parece una adición de escuela primaria, es decir, tomar una secuencia de dígitos de base N, agregar uno y propagar los bits de transporte. La prueba de equivalencia es muy abstracta; comprender el resultado no lo es: al agregar uno en cada paso de tiempo, se visita cada estado posible del cuentakilómetros, hasta que se vuelca y comienza de nuevo. Del mismo modo, los sistemas ergódicos visitan cada estado, de manera uniforme, pasando al siguiente, hasta que todos han sido visitados.
Los sistemas que generan secuencias (infinitas) de N letras se estudian mediante dinámicas simbólicas. Los casos especiales importantes incluyen sub desplazamientos de tipo finito y sistemas sofic.
Ergodicidad en físicaeditar
Los sistemas físicos se pueden dividir en tres categorías: mecánica clásica, que describe máquinas con un número finito de partes móviles, mecánica cuántica, que describe la estructura de los átomos, y mecánica estadística, que describe gases, líquidos y sólidos; esto incluye la física de la materia condensada. El caso de la mecánica clásica se discute en la siguiente sección, sobre ergodicidad en geometría. En cuanto a la mecánica cuántica, aunque existe un concepto de caos cuántico, no hay una definición clara de ergodocidad; lo que podría ser esto es muy debatido. Esta sección revisa la ergodicidad en mecánica estadística.
La definición abstracta anterior de un volumen se requiere como el ajuste apropiado para las definiciones de ergodicidad en física. Considere un recipiente de líquido, gas, plasma u otra colección de átomos o partículas. Todas y cada una de las partículas x i {\displaystyle x_{i}}
tiene una posición 3D y una velocidad 3D, y por lo tanto se describe mediante seis números: un punto en el espacio de seis dimensiones R 6 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}
Si hay N {\displaystyle N}
de estas partículas en el sistema, una descripción completa requiere de 6 N {\displaystyle 6N}
números. Cualquier sistema es un solo punto en R 6 N . {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}
El sistema físico no es todo de R 6 N {\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}
, entonces un punto está en ( W × H × L × R 3 ) N . {\displaystyle (W \ times H \ times L \ times \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}
Ni las velocidades pueden ser infinitas: se escalan por alguna medida de probabilidad, por ejemplo, la medida de Boltzmann–Gibbs para un gas. Sin embargo, para N {\displaystyle N}
cerca del número de Avogadro, este es obviamente un espacio muy grande. Este espacio se llama el conjunto canónico.
Se dice que un sistema físico es ergódico si algún punto representativo del sistema eventualmente visita todo el volumen del sistema. Para el ejemplo anterior, esto implica que cualquier átomo dado no solo visita cada parte de la caja W × H × L {\displaystyle W \ times H \ times L}
con probabilidad uniforme, pero lo hace con cada velocidad posible, con probabilidad dada por la distribución de Boltzmann para esa velocidad (por lo tanto, uniforme con respecto a esa medida). La hipótesis ergódica establece que los sistemas físicos en realidad son ergódicos. Hay múltiples escalas de tiempo en funcionamiento: los gases y líquidos parecen ser ergódicos en escalas de tiempo cortas. La ergodicidad en un sólido se puede ver en términos de los modos vibratorios o fonones, ya que obviamente los átomos en un sólido no intercambian ubicaciones. Las gafas presentan un desafío a la hipótesis ergódica; se supone que las escalas de tiempo están en los millones de años, pero los resultados son polémicos. Las gafas giratorias presentan dificultades particulares.
Las pruebas matemáticas formales de ergodicidad en física estadística son difíciles de encontrar; se supone que la mayoría de los sistemas de cuerpos múltiples de alta dimensión son ergódicos, sin pruebas matemáticas. Las excepciones incluyen los billares dinámicos, que modelan colisiones de átomos de bolas de billar en un gas o plasma ideal. El primer teorema de ergodicidad de esfera dura fue para el billar de Sinaí, que considera dos bolas, una de ellas tomada como estacionaria, en el origen. A medida que la segunda bola choca, se aleja; aplicando condiciones de contorno periódicas, vuelve a chocar de nuevo. Apelando a la homogeneidad, este retorno de la «segunda» bola puede ser tomado como «solo algún otro átomo» que ha entrado en rango, y se está moviendo para chocar con el átomo en el origen (que puede ser tomado como «cualquier otro átomo». Esta es una de las pocas pruebas formales que existen; no hay afirmaciones equivalentes, por ejemplo, para átomos en un líquido, que interactúan a través de las fuerzas de van der Waals, incluso si sería de sentido común creer que tales sistemas son ergódicos (y mezclados). Sin embargo, se pueden hacer argumentos físicos más precisos.
Ergodicidad en geometríaeditar
La ergodicidad es un fenómeno muy extendido en el estudio de variedades de Riemann. Una rápida secuencia de ejemplos, de simples a complicados, ilustra este punto. Todos los sistemas mencionados a continuación han demostrado ser ergódicos a través de rigurosas pruebas formales. La rotación irracional de un círculo es ergódica: la órbita de un punto es tal que eventualmente se visita cualquier otro punto del círculo. Tales rotaciones son un caso especial del mapa de intercambio de intervalos. Las expansiones beta de un número son ergódicas: las expansiones beta de un número real no se realizan en base-N, sino en base-β {\displaystyle \ beta }
para algunos β . {\displaystyle \ beta .}
La versión reflejada de la expansión beta es tent map; hay una variedad de otros mapas ergódicos del intervalo de unidad. Moviéndose a dos dimensiones, los billares aritméticos con ángulos irracionales son ergódicos. También se puede tomar un rectángulo plano, aplastarlo, cortarlo y volver a montarlo; este es el mapa de baker mencionado anteriormente. Sus puntos pueden ser descritos por el conjunto de cadenas biinfinitas en dos letras, es decir, extendiéndose tanto a la izquierda como a la derecha; como tal, se parecen a dos copias del proceso de Bernoulli. Si uno se deforma de lado durante el aplastamiento, obtiene el mapa gato de Arnold. En la mayoría de los casos, el mapa cat es un prototipo de cualquier otra transformación similar.
Para superficies no planas, se tiene que el flujo geodésico de cualquier superficie compacta de Riemann curvada negativamente es ergódico. Una superficie es «compacta» en el sentido de que tiene un área de superficie finita. El flujo geodésico es una generalización de la idea de moverse en una «línea recta» sobre una superficie curva: tales líneas rectas son geodésicas. Uno de los primeros casos estudiados es el billar de Hadamard, que describe geodésicas en la superficie de Bolza, equivalente topológicamente a una dona con dos agujeros. La ergodicidad se puede demostrar informalmente, si uno tiene un afilador y algún ejemplo razonable de una dona de dos agujeros: comenzando en cualquier lugar, en cualquier dirección, se intenta dibujar una línea recta; las reglas son útiles para esto. No se necesita tanto tiempo para descubrir que uno no está regresando al punto de partida. (Por supuesto, el dibujo torcido también puede explicar esto; por eso tenemos pruebas.)
Estos resultados se extienden a dimensiones más altas. El flujo geodésico para colectores Riemannianos compactos con curvatura negativa es ergódico. Un ejemplo clásico de esto es el flujo Anosov, que es el flujo horociclo en una variedad hiperbólica. Esto se puede ver como una especie de fibración Hopf. Tales flujos ocurren comúnmente en la mecánica clásica, que es el estudio en física de maquinaria móvil de dimensiones finitas, p. ej. el doble péndulo y demás. La mecánica clásica se construye sobre colectores simplécticos. Los flujos en tales sistemas se pueden deconstruir en variedades estables e inestables;como regla general, cuando esto es posible, los resultados de movimiento caótico. Que esto es genérico se puede ver observando que el haz de cotangentes de una variedad de Riemann es (siempre) una variedad simpléctica; el flujo geodésico está dado por una solución a las ecuaciones de Hamilton–Jacobi para esta variedad. En términos de la canónica de coordenadas ( q , p ) {\displaystyle (q,p)}
en la cotangente del colector, el de Hamilton o de energía está dada por H = 1 2 ∑ i j g i j ( q ) p i p j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}
con g i j {\displaystyle g^{ij}}
la (inversa) tensor métrico y p i {\displaystyle p_{i}}
el impulso. El parecido con la energía cinética E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E = {\tfrac {1}{2}} mv^{2}}
de una partícula puntual no es accidental; este es el punto de llamar a tales cosas «energía». En este sentido, el comportamiento caótico con órbitas ergódicas es un fenómeno más o menos genérico en grandes extensiones de geometría.
Se han proporcionado resultados de ergodicidad en superficies de traslación, grupos hiperbólicos y geometría sistólica. Las técnicas incluyen el estudio de flujos ergódicos, la descomposición de Hopf y el teorema de Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. Una clase importante de sistemas son los sistemas Axioma A.
Se han obtenido varios resultados de clasificación y de «anticlasificación». El teorema del isomorfismo de Ornstein también se aplica aquí; de nuevo, afirma que la mayoría de estos sistemas son isomorfos a algún esquema de Bernoulli. Esto enlaza estos sistemas de nuevo con la definición de ergodicidad dada para un proceso estocástico, en la sección anterior. Los resultados de la anticlasificación indican que hay más de un número infinito de sistemas dinámicos de preservación de medidas ergódicas no equitativos. Esto quizás no sea una sorpresa del todo, ya que se pueden usar puntos en el conjunto de Cantores para construir sistemas similares pero diferentes. Ver sistema dinámico de preservación de medidas para un breve estudio de algunos de los resultados de la anticlasificación.
Desarrollo históricoedItar
La idea de ergodicidad nació en el campo de la termodinámica, donde era necesario relacionar los estados individuales de las moléculas de gas con la temperatura de un gas en su conjunto y su evolución temporal. Para hacer esto, era necesario establecer qué significa exactamente que los gases se mezclen bien, de modo que el equilibrio termodinámico pudiera definirse con rigor matemático. Una vez que la teoría estaba bien desarrollada en física, se formalizó y extendió rápidamente, de modo que la teoría ergódica ha sido durante mucho tiempo un área independiente de las matemáticas en sí misma. Como parte de esa progresión, coexisten más de una definición ligeramente diferente de ergodicidad y multitud de interpretaciones del concepto en diferentes campos.
Por ejemplo, en física clásica el término implica que un sistema satisface la hipótesis ergódica de la termodinámica, el espacio de estado relevante es el espacio de posición y de momento. En la teoría de sistemas dinámicos, el espacio de estado generalmente se toma como un espacio de fase más general. Por otro lado, en la teoría de codificación, el espacio de estados es a menudo discreto tanto en el tiempo como en el estado, con una estructura menos concomitante. En todos esos campos, las ideas de promedio de tiempo y promedio de conjunto también pueden llevar equipaje adicional, como es el caso de las muchas funciones de partición termodinámicamente relevantes posibles utilizadas para definir promedios de conjuntos en física, de nuevo. Como tal, la formalización teórica de la medida del concepto también sirve como disciplina unificadora.
etimologíaeditar
El término ergódico se cree comúnmente que deriva de las palabras griegas ἔργον (ergon: «trabajo») y hodδός (hodos: «camino», «camino»), según lo elegido por Ludwig Boltzmann mientras trabajaba en un problema en mecánica estadística. Al mismo tiempo, también se afirma que es una derivación de ergomonodo, acuñado por Boltzmann en un artículo relativamente oscuro de 1884. La etimología parece ser cuestionada de otras maneras también.