Cuando se utilizan símbolos matemáticos para describir la función zeta de Riemann, se representa como una serie infinita:
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s , R e ( s ) > 1. {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
donde R e ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
es la parte real del número complejo s {\displaystyle s}
. Por ejemplo, si s = a + i b {\displaystyle s=a+ib}
, entonces R e ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(donde i 2 = − 1 {\displaystyle yo^{2}=-1}
).
Esto crea una secuencia. Los primeros términos de esta secuencia sería,
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
y
sin Embargo, esto no se aplica para los números donde R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, ya que si interpretamos esta función como una suma infinita, la suma no converge. En cambio, diverge. Esto significa que en lugar de acercarse a un valor específico, se volverá infinitamente grande. Riemann utilizó la continuación analítica, de modo que pudiera dar un valor a todos los números excepto 1. ζ ( 1 ) {\displaystyle \zeta (1)}
representa la serie armónica, que diverge, es decir, que la suma no cerca de un número específico.
Leonhard Euler descubrió los primeros resultados sobre la serie que representa esta función en el siglo XVIII. Demostró que la función Zeta se puede escribir como un producto infinito de números primos. En la notación matemática:
z ( s ) = ∏ p | prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
