5.1 Introducción
La mecánica de fluidos en general y las capas límite en particular son matemáticamente complejas. Tal complejidad a veces no solo avanza el estudio y la comprensión de los fluidos, sino que también avanza la disciplina de las matemáticas aplicadas. Las matemáticas siguen permitiendo sacar conclusiones muy necesarias de varias disciplinas. Con este fin, numerosos matemáticos continúan haciendo contribuciones significativas a la disciplina de la dinámica de fluidos.
Los problemas de capa límite implican un cambio rápido en el valor de una variable física sobre una región limitada del espacio, y constituyen una clase particular de problemas de perturbación singulares. En este sentido, casi todos los problemas de capa límite involucran ecuaciones diferenciales en las que el término derivado más alto se multiplica por un pequeño parámetro. Además, la capa límite siempre se considera semiinfinita, la razón principal es la libertad de tener que considerar los efectos de límite final donde se pueden esperar todos los imponderables e imaginables. Considerar una superficie infinita podría ser tan difícil como para distraer del interés principal de la investigación en primera instancia. Dicho esto, no hay nada que prohíba a la generación más joven de investigadores enfrentar este problema, teniendo en cuenta su ventaja de estar expuestos a un cuerpo de conocimiento relativamente mayor que las generaciones anteriores.
La dinámica hidráulica o de fluidos se rige por ecuaciones diferenciales parciales no lineales (PDEs), que son muy difíciles de resolver analíticamente. Hasta donde sabemos, no existe una solución general de forma cerrada para estas ecuaciones. Las ecuaciones gobernantes de la capa límite se basan principalmente en una simplificación del sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden (PDEs), que se conocen como ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes (NS) para flujos viscosos. La simplificación ofrecida por Prandtl en 1908 se conoce generalmente como ecuaciones de Capa Límite de Prandtl (PBL). A diferencia de las ecuaciones de NS, que son elípticas, las ecuaciones de capa límite son de naturaleza parabólica, y las técnicas utilizadas para resolverlas se basan en las leyes de similitud en los flujos de capa límite.
Se pueden usar tres métodos principales para resolver problemas de capa límite: el método de similitud o diferencial( enfoque más común), el método integral y el método de solución numérica completa . Muchos casos especiales de EDP no lineales han llevado a cambios apropiados en las variables o transformaciones de estiramiento, dependiendo de la tarea que se pretende lograr. Algunas transformaciones linealizan el sistema de ecuaciones bajo consideración, mientras que otras transforman el sistema en uno para el que existe una solución. Las transformaciones que reducen un sistema de EDP a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDD) mediante la explotación de una simetría inherente del problema se consideran a menudo como «transformaciones de similitud».»El método de similitud es el método original de Blasius que fue desarrollado para resolver problemas de capa límite analíticamente. Blasius introdujo y empleó una variable independiente llamada variable de similitud a las ecuaciones de capa límite de Prandtl . Esto se basó en la premisa de que la velocidad es geométricamente similar a lo largo de la dirección del flujo, donde los EDP de conservación se convierten en EDD. La transformación de similitud captura el crecimiento de la capa límite y simplifica significativamente el análisis y la solución de las ecuaciones gobernantes. El hallazgo de una variable de similitud que sea adecuada para que la transformación tenga lugar es un arte más que una ciencia, y requiere tener una buena comprensión del problema. Los números de variables independientes en los SEEP se convierten cuidadosamente en una sola variable independiente (conocida como variable de similitud). Las condiciones de contorno iniciales originales también se transforman igualmente en condiciones de contorno apropiadas en la nueva variable combinada.
La técnica de transformación de similitud es una herramienta indispensable para el análisis del comportamiento mecánico de fluidos en general y especialmente en los procesos de capa límite. Las técnicas asintóticas nos permiten hacer simple un sistema complejo, que luego proporciona una forma ilustrada de empirismo a la que nos referimos como similitud. Se han desarrollado varios métodos y enfoques para encontrar variables de similitud, por ejemplo, el teorema Pi de Vaschy-Buckingham . El enfoque más riguroso y sistemático de encontrar variables de similitud se basa en el grupo de transformaciones Lie . La premisa del enfoque de grupo de mentira es que cada variable en la ecuación inicial está sujeta a una transformación infinitesimal. La demanda de que la ecuación sea invariante bajo estas transformaciones conduce a la determinación de las simetrías potenciales o posibles. Este enfoque se ha aplicado rutinariamente a ecuaciones de capa límite. A propósito de la teoría de la capa límite, los autores de proporcionó una descripción exhaustiva de los métodos clásicos, incluyendo varios resultados posibles dependiendo de la perspectiva del problema a resolver. El método directo de Clarkson–Krustal, que se utiliza para encontrar reducciones de similitud, se empleó en ecuaciones de capa límite inestable. Es importante tener en cuenta que la variable de similitud encontrada no es única ni peculiar para un solo problema; se puede aplicar a otros problemas similares cuando sea apropiado. Además, Hansen discutió el método de» variable de estiramiento » utilizado para encontrar transformaciones de similitud. En general, los problemas de similitud reducen las ecuaciones PBL originales a una forma que es invariante con respecto a las transformaciones afines. El campo de flujo local se resuelve a través de soluciones analíticas / numéricas de los EEP que gobiernan la capa límite. Característicamente, los perfiles de velocidad de los flujos de capa límite producen un conjunto de curvas y gráficas homotéticas. ¿Por qué son típicamente homotéticas? En cuanto al perfil de velocidad, por ejemplo, normalizamos por uU∞ y esto tiende a o se acerca a la unidad. De manera similar, con respecto al perfil de temperatura, normalizamos por temperatura libre, o T−T∞, y esto tiende a o se acerca a cero. Los métodos integrales, en otro aspecto, producen soluciones de forma cerrada asumiendo un perfil de velocidad, temperatura y transferencia de masa de concentración. Implica la integración de las ecuaciones de la pared a la corriente libre, lo que produce un rendimiento general que incluye el crecimiento de la capa límite. Por último, el método numérico completo utiliza esquemas numéricos bien probados y códigos de simulación prácticos con computadoras de alta velocidad para resolver varios problemas de capa límite.
Cabe destacar que algunos estudios en la literatura discuten sus resultados como soluciones exactas. Es importante actuar con cautela a este respecto. Generalmente, cuando hablamos de» soluciones exactas » de ecuaciones fundamentales, como las ecuaciones NS, y esto podría ser las ecuaciones NS completas o cualquiera de sus formas aproximadas, siempre y cuando las soluciones obtenidas obtenidas por cualquier técnica sean de hecho tan exactas como vienen, es decir, no hay una solución mejor encontrada. La exactitud se refiere a la solución de la ecuación en sí. Si la ecuación en cuestión ha sido una aproximación de una ecuación más robusta, entonces la afirmación de exactitud de la solución debe ser solo a la solución aproximada.