Tres dimensioneseditar
Curva de espacio en 3D. El vector de posición r está parametrizado por un escalar t. En r = a la línea roja es la tangente a la curva, y el plano azul es normal a la curva.
En tres dimensiones, se puede usar cualquier conjunto de coordenadas tridimensionales y sus vectores de base correspondientes para definir la ubicación de un punto en el espacio, lo que sea más simple para la tarea en cuestión.
Comúnmente, se usa el sistema de coordenadas cartesianas familiar, o a veces coordenadas polares esféricas o coordenadas cilíndricas:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )} +z(t) \mathbf {\hat {e}} _{z},\\ \ end{aligned}}}
donde t es un parámetro, debido a su simetría rectangular o circular. Estas diferentes coordenadas y vectores de base correspondientes representan el mismo vector de posición. Se podrían usar coordenadas curvilíneas más generales en su lugar y se encuentran en contextos como la mecánica de continuum y la relatividad general (en este último caso, se necesita una coordenada de tiempo adicional).
n dimensioneseditar
El álgebra lineal permite la abstracción de un vector de posición n-dimensional. Un vector de posición puede expresarse como una combinación lineal de vectores de base:
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
El conjunto de todos los vectores de posición forma el espacio de posición (un espacio vectorial cuyos elementos son los vectores de posición), ya que las posiciones se pueden agregar (adición de vectores) y escalar en longitud (multiplicación escalar) para obtener otro vector de posición en el espacio. La noción de «espacio» es intuitiva, ya que cada xi (i = 1, 2, n, n) puede tener cualquier valor, la colección de valores define un punto en el espacio.
La dimensión del espacio de posición es n (también denotado dim (R) = n). Las coordenadas del vector r con respecto a los vectores base ei son xi. El vector de coordenadas forma el vector de coordenadas o n-tupla (x1, x2, …, xn).
Cada coordenada xi puede parametrizarse con una serie de parámetros t. Un parámetro xi(t) describiría una trayectoria curva 1D, dos parámetros xi(t1, t2) describirían una superficie curva 2D, tres xi (t1, t2, t3) describirían un volumen de espacio curvado 3D, y así sucesivamente.
El intervalo lineal de un conjunto de bases B = {e1, e2, en, en} es igual al espacio de posición R, denotado intervalo (B) = R.