5.1 Introduzione
La meccanica dei fluidi in generale e gli strati limite in particolare sono matematicamente complessi. Tale complessità a volte non solo avanza lo studio e la comprensione dei fluidi, ma avanza anche la disciplina matematica applicata. La matematica continua a consentire conclusioni tanto necessarie da trarre da diverse discipline. A tal fine, numerosi matematici continuano a dare contributi significativi alla disciplina della fluidodinamica.
I problemi dello strato limite implicano un rapido cambiamento nel valore di una variabile fisica su una regione limitata di spazio, e costituiscono una particolare classe di problemi di perturbazione singolari. A questo proposito, quasi tutti i problemi dello strato limite coinvolgono equazioni differenziali in cui il termine derivato più alto viene moltiplicato per un piccolo parametro. Inoltre, lo strato limite è sempre considerato semiinfinito, il motivo principale è la libertà di dover considerare gli effetti limite finali in cui ci si può aspettare tutti gli imponderabili e immaginabili. Considerare una superficie infinita potrebbe essere così difficile da distrarre dall’interesse principale dell’indagine in prima istanza. Detto questo, non c’è nulla che proibisca alle giovani generazioni di ricercatori di affrontare questo problema, considerando il loro vantaggio di esposizione a un corpo di conoscenze relativamente più ampio rispetto alle generazioni precedenti.
L’idro – o fluidodinamica è governata da equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari (PDE), che sono molto difficili da risolvere analiticamente. Per quanto ne sappiamo, non esiste una soluzione generale in forma chiusa a queste equazioni. Le equazioni che governano lo strato limite si basano principalmente su una semplificazione del sistema delle equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari del secondo ordine (PDE), note come equazioni del moto di Navier–Stokes (NS) per i flussi viscosi. La semplificazione offerta da Prandtl nel 1908 è generalmente indicato come Prandtl Boundary Layer (PBL) equazioni. A differenza delle equazioni NS, che sono ellittiche, le equazioni dello strato limite sono di natura parabolica e le tecniche utilizzate per risolverle si basano sulle leggi di somiglianza nei flussi dello strato limite.
Tre metodi primari possono essere utilizzati per risolvere i problemi dello strato limite: il metodo di somiglianza o differenziale (approccio più comune), il metodo integrale e il metodo della soluzione numerica completa . Molti casi speciali di PDE non lineari hanno portato a cambiamenti appropriati nelle variabili o trasformazioni di stretching, a seconda del compito che sono destinati a svolgere. Alcune trasformazioni linearizzano il sistema di equazioni in esame, mentre altre trasformano il sistema in uno per il quale esiste una soluzione. Le trasformazioni che riducono un sistema di PDE a un sistema di equazioni differenziali ordinarie (ODI) sfruttando una simmetria intrinseca del problema sono spesso considerate come “trasformazioni di somiglianza.”Il metodo di somiglianza è il metodo Blasius originale che è stato sviluppato per risolvere i problemi dello strato limite analiticamente. Blasius introdusse e impiegò una variabile indipendente chiamata variabile di somiglianza con le equazioni dello strato limite di Prandtl . Ciò si basava sulla premessa che la velocità è geometricamente simile lungo la direzione del flusso, dove le PDE di conservazione vengono convertite in ODI. La trasformazione di similarità cattura la crescita dello strato limite e semplifica notevolmente l’analisi e la soluzione delle equazioni che governano. La ricerca di una variabile di somiglianza adatta alla trasformazione è un’arte piuttosto che una scienza e richiede una buona comprensione del problema. Il numero di variabili indipendenti nelle PDE viene accuratamente convertito in una singola variabile indipendente (nota come variabile di somiglianza). Anche le condizioni al contorno iniziali originali vengono ugualmente trasformate in condizioni al contorno appropriate nella nuova variabile combinata.
La tecnica di trasformazione della similarità è uno strumento indispensabile per l’analisi del comportamento fluido meccanico in generale e soprattutto nei processi dello strato limite. Le tecniche asintotiche ci permettono di rendere semplice un sistema complesso, che poi prevede una forma illuminata di empirismo che ci riferiamo come somiglianza. Sono stati sviluppati diversi metodi e approcci per trovare variabili di somiglianza, ad esempio il teorema di Vaschy–Buckingham Pi . L’approccio più rigoroso e sistematico per trovare variabili di somiglianza si basa sul gruppo di trasformazioni Lie . La premessa dell’approccio del gruppo di Lie è che ogni variabile nell’equazione iniziale è sottoposta a una trasformazione infinitesimale. La richiesta che l’equazione sia invariante sotto queste trasformazioni porta alla determinazione delle simmetrie potenziali o possibili. Questo approccio è stato applicato di routine alle equazioni dello strato limite. Apropos boundary layer theory, gli autori hanno fornito un resoconto completo dei metodi classici, inclusi diversi possibili risultati a seconda della prospettiva del problema da risolvere. Il metodo diretto di Clarkson-Krustal, che viene utilizzato per trovare riduzioni di similarità, è stato impiegato in equazioni dello strato limite instabile. È importante notare che la variabile di somiglianza trovata non è unica o peculiare di un solo problema; può essere applicata ad altri problemi simili laddove appropriato. Inoltre, Hansen ha discusso il metodo “stretching variabile” utilizzato per trovare trasformazioni di somiglianza. Nel complesso, i problemi di somiglianza riducono le equazioni PBL originali a una forma che è invariante rispetto alle trasformazioni affini. Il campo di flusso locale viene quindi risolto attraverso soluzioni analitiche / numeriche delle PDE che governano lo strato limite. Tipicamente, i profili di velocità dei flussi dello strato limite producono una serie di curve e grafici omotetici. Perché sono tipicamente omotetici? Per quanto riguarda il profilo di velocità, ad esempio, normalizziamo per UU∞ e questo tende o si avvicina all’unità. Allo stesso modo, per quanto riguarda il profilo di temperatura, normalizziamo con la temperatura freestream, o T−T∞, e questo tende o si avvicina a zero. I metodi integrali, in un altro senso, producono soluzioni in forma chiusa assumendo un profilo di velocità, temperatura e trasferimento di massa di concentrazione. Comporta l’integrazione delle equazioni dal muro al flusso libero, ottenendo così una prestazione complessiva che include la crescita dello strato limite. Infine, il metodo numerico completo utilizza schemi numerici ben collaudati e codici di simulazione pratici con computer ad alta velocità per risolvere diversi problemi dello strato limite.
Va osservato che alcuni studi in letteratura discutono i loro risultati come soluzioni esatte. La cautela a questo proposito è importante. Generalmente, quando parliamo di” soluzioni esatte ” di equazioni fondamentali, come le equazioni NS, e questa potrebbe essere l’equazione NS completa o una qualsiasi delle loro forme approssimate, a condizione che le soluzioni ottenute ottenute con qualsiasi tecnica siano effettivamente esatte come vengono, cioè, non c’è soluzione migliore trovata. L’esattezza si riferisce alla soluzione dell’equazione stessa. Se l’equazione in questione è stata un’approssimazione di un’equazione più robusta, allora la pretesa di esattezza della soluzione dovrebbe essere solo alla soluzione approssimativa.