Pour comprendre cette page, vous devez d’abord comprendre les tenseurs! Les livres de J.F. Nye, G.E. Dieter et D.R. Lovett mentionnés dans la section Aller plus loin dans ce TLP sont de bonnes sources. De nombreux cours universitaires de premier cycle en sciences physiques ou en génie proposent une série de conférences sur les tenseurs, comme le cours du Département de Science des matériaux et de métallurgie de l’Université de Cambridge, dont le document peut être consulté ici.
Le tenseur des contraintes est un tenseur de champ – il dépend de facteurs externes au matériau. Pour qu’une contrainte ne déplace pas le matériau, le tenseur des contraintes doit être symétrique: σij = σji – il a une symétrie miroir autour de la diagonale.
La forme générale est donc:
left\left({\matrix{{{\sigma _{11}}} & {{\ sigma _{12}}} & {{\ sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{22}}} & {{\ sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\ sigma _{23}}} & {{\ sigma_{33}}}\cr}}\right) or ou, dans une notation alternative,\\left({\matrix{{{\sigma_{xx}}} & {{\tau_{xy}}} & {{\tau_{zx}}}\cr{{\tau_{xy}}} & {{\sigma_{yy}}} &{{\tau_{yz }}}\cr {{\tau_{zx}}} & {{\tau_{yz}}} & {{\sigma_{zz}}}\cr}}\right)
Le tenseur des contraintes général a six composantes indépendantes et pourrait nécessiter nous faire beaucoup de calculs. Pour faciliter les choses, il peut être tourné dans le tenseur des contraintes principal par un changement d’axe approprié.
Contraintes principales
Les grandeurs des composantes du tenseur des contraintes dépendent de la façon dont nous avons défini les axes orthogonaux x1, x2 et x3.
Pour chaque état de contrainte, nous pouvons faire tourner les axes, de sorte que les seules composantes non nulles du tenseur des contraintes sont celles le long de la diagonale:
left\left({\matrix{{{\sigma _1}} & 0 & 0 \ cr 0 & {{\sigma_2}} & 0\cr 0 & 0 & {{\ sigma _3}}\cr}} \right)
c’est-à-dire qu’il n’y a pas de composants de contrainte de cisaillement, seulement des composants de contrainte normaux.
Ceci est un exemple d’un tenseur de contrainte principal de tous les tenseurs que nous pourrions utiliser pour exprimer l’état de contrainte existant. Les éléments σ1, σ2, σ3 sont les contraintes principales. Les positions des axes sont maintenant les axes principaux. S’il se peut que σ1 > σ2 > σ3, il importe seulement que les axes x1, x2 et x3 définissent les directions des contraintes principales.
La plus grande contrainte principale est plus grande que n’importe laquelle des composantes trouvées à partir de n’importe quelle autre orientation des axes. Par conséquent, si nous devons trouver la plus grande composante de contrainte sous laquelle le corps se trouve, nous devons simplement diagonaliser le tenseur de contrainte.
Rappelez-vous – nous n’avons pas changé l’état de contrainte, et nous n’avons pas déplacé ou changé le matériau – nous avons simplement fait pivoter les axes que nous utilisons et examinons l’état de contrainte vu par rapport à ces nouveaux axes.
Composants hydrostatiques et déviatoriques
Le tenseur des contraintes peut être séparé en deux composants. L’un des composants est une contrainte hydrostatique ou dilatationnelle qui agit uniquement pour modifier le volume du matériau; l’autre est la contrainte déviatoire qui agit uniquement pour changer la forme.
$$\ à gauche ({\matrix{{{\sigma _{11}}} & {{\ sigma _{12}}} & {{\ sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{22}}} & {{\ sigma _{23}}} \cr {{\sigma _{31}}} & {{\ sigma _{23}}} & {{\ sigma_{33}}}\cr}} \droite) = \gauche({\matrix{{{\sigma_H}} & 0 & 0 \ cr 0 & {{\sigma_H}} & 0\cr 0 & 0 & {{\ sigma _H}}\cr}}\droite) + \gauche ({\matrix {{{\sigma_{11}} -{\sigma _H}} & {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma _{31}}} \cr {{\sigma _{12}}} & {{\ sigma_{22}} – {\sigma _H}} & {{\sigma_{23}}}\cr {{\sigma_{31}}} & {{\sigma _{23}}} & {{\ sigma_{33}} – {\sigma _H}}\cr}}\right)
où la contrainte hydrostatique est donnée par \({\sigma _H}\) = \({1\over 3}\)\(\left({{\sigma _1}+{\sigma _2}+{\sigma _3}}\right)\).
Dans les métaux cristallins, la déformation plastique se produit par glissement, un processus de conservation du volume qui modifie la forme d’un matériau sous l’action des contraintes de cisaillement. Sur cette base, on peut donc s’attendre à ce que la limite d’élasticité d’un métal cristallin ne dépende pas de l’ampleur de la contrainte hydrostatique; c’est en fait exactement ce qui est observé expérimentalement.
Dans les métaux amorphes, on constate expérimentalement une très légère dépendance de la limite d’élasticité par rapport à la contrainte hydrostatique.