L’ergodicité se produit dans des contextes généraux en physique et en mathématiques. Tous ces paramètres sont unifiés par une description mathématique commune, celle du système dynamique préservant la mesure. Une description informelle de ceci, et une définition de l’ergodicité à son égard, est donnée immédiatement ci-dessous. Ceci est suivi d’une description de l’ergodicité dans les processus stochastiques. Ils sont une seule et même chose, malgré l’utilisation de notations et de langages radicalement différents. Une revue de l’ergodicité en physique et en géométrie suit. Dans tous les cas, la notion d’ergodicité est exactement la même que pour les systèmes dynamiques; il n’y a pas de différence, sauf pour les perspectives, la notation, le style de pensée et les revues où les résultats sont publiés.
Systèmes dynamiques préservant les mesuresmodifier
La définition mathématique de l’ergodicité vise à capturer les idées quotidiennes ordinaires sur le caractère aléatoire. Cela inclut des idées sur les systèmes qui se déplacent de manière à (éventuellement) remplir tout l’espace, tels que la diffusion et le mouvement brownien, ainsi que des notions de bon sens du mélange, telles que le mélange de peintures, de boissons, d’ingrédients de cuisson, le mélange de processus industriels, la fumée dans une pièce remplie de fumée, la poussière dans les anneaux de Saturne, etc. Pour fournir une base mathématique solide, les descriptions des systèmes ergodiques commencent par la définition d’un système dynamique préservant la mesure. Ceci est écrit comme (X, A, μ, T). {\displaystyle(X, {\mathcal{A}}, \mu, T).}
L’ensemble X {\displaystyle X}
, on entend l’espace total à remplir : le bol à mélanger, la pièce remplie de fumée, etc. La mesure μ{\displaystyle\mu}
est comprise comme définissant le volume naturel de l’espace X{\displaystyle X}
et de ses sous-espaces. La collection de sous-espaces est désignée par Un {\displaystyle{\mathcal{A}}}
, et la taille de tout sous-ensemble donné A ⊂X {\displaystyle A\subset X}
est μ(A) {\displaystyle\mu(A)}
; la taille est son volume. Naïvement, on pourrait imaginer un {\displaystyle{\mathcal{A}}}
être l’ensemble de puissance de X {\displaystyle X}
; cela ne fonctionne pas tout à fait, car tous les sous-ensembles d’un espace n’ont pas de volume (célèbre, le paradoxe de Banach-Tarski). Ainsi, classiquement, Un {\displaystyle{\mathcal{A}}}
se compose des sous-ensembles mesurables — les sous-ensembles qui ont un volume. Il est toujours considéré comme un ensemble de Borel – la collection de sous-ensembles qui peuvent être construits en prenant des intersections, des unions et des compléments d’ensembles; ceux-ci peuvent toujours être considérés comme mesurables.
L’évolution temporelle du système est décrite par une carte T : X → X {\displaystyle T:X\to X}
. Étant donné un sous–ensemble A ⊂X {\displaystyle A\subset X}
, sa carte T(A) {\displaystyle T(A)}
sera en général une version déformée de A {\displaystyle A}
– il est écrasé ou étiré, plié ou coupé en morceaux. Les exemples mathématiques incluent la carte du boulanger et la carte en fer à cheval, toutes deux inspirées de la fabrication du pain. L’ensemble T(A) {\displaystyle T(A)}
doit avoir le même volume qu’un {\displaystyle A}
; l’écrasement / étirement ne modifie pas le volume de l’espace, seulement sa distribution. Un tel système est « mesure-préservation » (surface-préservation, volume-préservation).
Une difficulté formelle se pose lorsque l’on tente de concilier le volume des ensembles avec la nécessité de préserver leur taille sous une carte. Le problème se pose car, en général, plusieurs points différents dans le domaine d’une fonction peuvent correspondre au même point de sa plage; autrement dit, il peut y avoir x yy {\displaystyle x\neq y}
avec T(x) = T(y) {\displaystyle T(x) = T(y)}
n’a pas de taille. Ces difficultés peuvent être évitées en travaillant avec la carte inverse T-1 : A → A {\displaystyle T^{-1}: {\mathcal{A}}\ to {\mathcal{A}}}
; il mappe tout sous-ensemble donné A ⊂X {\displaystyle A\subset X}
aux pièces qui ont été assemblées pour le fabriquer: ces pièces sont T−1(A) ∈ A {\displaystyle T^{-1}(A)\ in {\mathcal{A}}}
. Il a la propriété importante de ne pas perdre de vue d’où viennent les choses. Plus fortement, il a la propriété importante que tout (préservant la mesure) mappe A →A {\displaystyle{\mathcal{A}}\ à {\mathcal{A}}}
est l’inverse d’une carte X → X {\displaystyle X\ to X}
. La définition correcte d’une carte de préservation du volume est celle pour laquelle μ(A) = μ(T−1(A)) {\displaystyle\mu(A) = \mu(T^{-1}(A))}
parce que T-1(A) {\displaystyle T^{-1}(A)}
décrit toutes les pièces-pièces dont A{\displaystyle A}
est issu.
On s’intéresse maintenant à l’évolution temporelle du système. Si un ensemble A ∈ A {\displaystyle A\ dans {\mathcal {A}}}
vient finalement remplir tout X {\displaystyle X}
sur une longue période de temps (c’est-à-dire si T n(A) {\displaystyle T ^{n} (A)}
approche l’ensemble de X {\displaystyle X}
pour un grand n {\displaystyle n}
), le système est dit ergodique. Si chaque ensemble A {\displaystyle A}
se comporte de cette manière, le système est un système conservateur, placé contrairement à un système dissipatif, où certains sous-ensembles A{\displaystyle A}
s’éloignent, pour ne jamais être retournés. Un exemple serait l’eau qui coule en descente once une fois qu’elle est descendue, elle ne remontera plus jamais. Le lac qui se forme au fond de cette rivière peut cependant devenir bien mélangé. Le théorème de décomposition ergodique stipule que chaque système ergodique peut être divisé en deux parties: la partie conservatrice et la partie dissipative.
Le mélange est une déclaration plus forte que l’ergodicité. Le mélange demande que cette propriété ergodique soit maintenue entre deux ensembles quelconques A, B {\displaystyle A, B}
, et pas seulement entre certains ensembles A {\displaystyle A}
et X {\displaystyle X}
. Autrement dit, étant donné deux ensembles quelconques A, B ∈ A {\displaystyle A, B\in {\mathcal{A}}}
, un système est dit (topologiquement) se mélangeant s’il existe un entier N {\displaystyle N}
tel que, pour tout A, B { \displaystyle A, B}
et n > N {\displaystyle n >N}
, on a que T n(A) BB { {\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq\varnothing}
. Ici, {{\displaystyle\cap}
indique l’intersection définie et {{\displaystyle\varnothing}
est l’ensemble vide. D’autres notions de mélange incluent le mélange fort et faible, qui décrivent l’idée que les substances mélangées s’entremêlent partout, en proportion égale. Cela peut être non trivial, comme le montre l’expérience pratique d’essayer de mélanger des substances collantes et gluantes.
Processus ergodiquesmodifier
La discussion ci-dessus fait appel à un sens physique d’un volume. Le volume n’a pas besoin d’être littéralement une partie de l’espace 3D; il peut s’agir d’un volume abstrait. C’est généralement le cas dans les systèmes statistiques, où le volume (la mesure) est donné par la probabilité. Le volume total correspond à la probabilité un. Cette correspondance fonctionne car les axiomes de la théorie des probabilités sont identiques à ceux de la théorie des mesures ; ce sont les axiomes de Kolmogorov.
L’idée d’un volume peut être très abstraite. Considérons, par exemple, l’ensemble de tous les retournements de pièces possibles: l’ensemble des séquences infinies de têtes et de queues. En attribuant le volume de 1 à cet espace, il est clair que la moitié de toutes ces séquences commencent par des têtes et l’autre moitié par des queues. On peut découper ce volume d’une autre manière: on peut dire « Je me fiche du premier n−1 {\displaystyle n-1}
coin-flips; mais je veux le n {\displaystyle n}
‘ d’entre eux pour être des chefs, et puis je me fiche de ce qui vient après « . Cela peut être écrit comme l’ensemble (∗, ⋯, ∗, h, ∗, ⋯) {\displaystyle(*, \cdots, *,h, *, \cdots )}
où ∗ {\displaystyle *}
est « s’en moque » et h {\displaystyle h}
est « têtes ». Le volume de cet espace est à nouveau (évidemment!) moitié.
Ce qui précède est suffisant pour construire un système dynamique préservant la mesure, dans son intégralité. Les ensembles de h {\displaystyle h}
ou t {\displaystyle t}
se produisant dans le n {\displaystyle n}
‘ e lieu sont appelés ensembles de cylindres. L’ensemble de toutes les intersections, unions et compléments possibles des ensembles de cylindres forme alors l’ensemble de Borel A {\displaystyle{\mathcal{A}}}
défini ci-dessus. En termes formels, les ensembles de cylindres forment la base d’une topologie sur l’espace X {\displaystyle X}
de tous les retournements de pièces de longueur infinie possibles. La mesure μ{\displaystyle\mu}
a toutes les propriétés de bon sens que l’on pourrait espérer : la mesure d’un cylindre réglé avec h {\displaystyle h}
dans le m {\displaystyle m}
‘th position, et t {\displaystyle t}
dans le k {\displaystyle k}
‘ la position est évidemment 1/4, et ainsi de suite. Ces propriétés de bon sens persistent pour le complément d’ensemble et l’union d’ensemble: tout sauf h {\displaystyle h}
et t {\displaystyle t}
dans les emplacements m {\displaystyle m}
et k {\displaystyle k}
a évidemment le volume de 3/4. Tous ensemble, ils forment les axiomes d’une mesure sigma-additive; les systèmes dynamiques préservant la mesure utilisent toujours des mesures sigma-additives. Pour les retournements de pièces, cette mesure s’appelle la mesure de Bernoulli.
Pour le processus de retournement de pièces, l’opérateur d’évolution temporelle T {\displaystyle T}
est l’opérateur de quart qui dit « jetez la première pièce de monnaie et gardez le reste ». Formellement, si (x 1, x 2, ⋯) {\displaystyle(x_{1}, x_{2}, \cdots)}
est une séquence de retournements de pièces, alors T(x 1, x 2, ⋯) =(x 2, x 3, ⋯) {\displaystyle T(x_{1}, x_{2}, \ cdot) = (x_{2}, x_{3}, \cdot )}
. La mesure est évidemment invariante par décalage: tant que nous parlons d’un ensemble A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal{A}}}
où la première pièce-flip x 1 = ∗ {\displaystyle x_{1}=*}
est la valeur « s’en fiche », alors le volume μ(A) {\displaystyle\mu(A)}
ne change pas : μ(A) = μ(T(A)) {\displaystyle\mu(A) = \mu(T(A))}
. Afin d’éviter de parler du premier coup de monnaie, il est plus facile de définir T-1 {\displaystyle T^{-1}}
en insérant une valeur « ne vous en souciez pas » dans la première position: T−1(x 1, x 2, ⋯) =(∗, x 1, x 2, ⋯) {\displaystyle T^{-1}(x_{1}, x_{2}, \cdots) =(*, x_{1}, x_{2}, \cdots )}
sans contrainte sur Un {\displaystyle A}
. Ceci est encore un exemple de pourquoi T-1 {\displaystyle T^{-1}}
est utilisé dans les définitions formelles.
Le développement ci-dessus prend un processus aléatoire, le processus de Bernoulli, et le convertit en un système dynamique préservant les mesures (X, A, μ, T). {\displaystyle(X, {\mathcal{A}}, \mu, T).}
La même conversion (équivalence, isomorphisme) peut être appliquée à n’importe quel processus stochastique. Ainsi, une définition informelle de l’ergodicité est qu’une séquence est ergodique si elle visite la totalité de X {\displaystyle X}
; de telles séquences sont « typiques » du processus. Une autre est que ses propriétés statistiques peuvent être déduites d’un seul échantillon aléatoire suffisamment long du processus (échantillonnant ainsi uniformément la totalité de X {\displaystyle X}
), ou que toute collection d’échantillons aléatoires d’un processus doit représenter les propriétés statistiques moyennes de l’ensemble du processus (c’est-à-dire des échantillons tirés uniformément de X {\displaystyle X}
sont représentatifs de X {\displaystyle X}
dans son ensemble.) Dans le présent exemple, une séquence de retournements de pièces, où la moitié sont des têtes et la moitié des queues, est une séquence « typique ».
Il y a plusieurs points importants à faire au sujet du procédé Bernoulli. Si l’on écrit 0 pour les queues et 1 pour les têtes, on obtient l’ensemble de toutes les chaînes infinies de chiffres binaires. Ceux-ci correspondent à l’expansion de base-deux des nombres réels. Explicitement, étant donné une séquence (x 1, x 2, ⋯) {\displaystyle(x_{1}, x_{2}, \cdots )}
, le nombre réel correspondant est y = ∑n = 1 ∞ x n 2 n {\displaystyle y =\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac {x_{n}} {2^{n}}}}
L’affirmation selon laquelle le processus de Bernoulli est ergodique équivaut à l’affirmation selon laquelle les nombres réels sont uniformément distribués. L’ensemble de toutes ces chaînes peut être écrit de différentes manières: {h, t} ∞ = {h, t} ω = {0, 1} ω = 2 ω = 2 N. {\displaystyle\{h, t\}^{\infty} = \{h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\ omega} = 2^{\omega} = 2^{\mathbb{N}}.}
Cet ensemble est l’ensemble de Cantor, parfois appelé espace de Cantor pour éviter toute confusion avec la fonction de Cantor C(x) = ∑n = 1 ∞ x n 3 n {\displaystyle C(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{x_{n}} {3^{n}}}}
En fin de compte, ce sont tous « la même chose ».
L’ensemble de Cantor joue un rôle clé dans de nombreuses branches des mathématiques. En mathématiques récréatives, il sous-tend les fractales à doublement de période; en analyse, il apparaît dans une grande variété de théorèmes. Un élément clé pour les processus stochastiques est la décomposition de Wold, qui stipule que tout processus stationnaire peut être décomposé en une paire de processus non corrélés, l’un déterministe et l’autre étant un processus de moyenne mobile.
Le théorème d’isomorphisme d’Ornstein stipule que tout processus stochastique stationnaire est équivalent à un schéma de Bernoulli (un processus de Bernoulli avec un dé de jeu à N côtés (et éventuellement injuste)). D’autres résultats incluent que chaque système ergodique non dissipatif est équivalent à l’odomètre de Markov, parfois appelé « machine d’ajout » car il ressemble à une addition d’école primaire, c’est-à-dire prendre une séquence de chiffres base-N, en ajouter un et propager les bits de report. La preuve d’équivalence est très abstraite; comprendre le résultat ne l’est pas: en en ajoutant un à chaque pas de temps, tous les états possibles du compteur kilométrique sont visités, jusqu’à ce qu’il se retourne, et recommence. De même, les systèmes ergodiques visitent chaque état de manière uniforme, passant au suivant, jusqu’à ce qu’ils aient tous été visités.
Les systèmes qui génèrent des séquences (infinies) de N lettres sont étudiés au moyen de dynamiques symboliques. Les cas particuliers importants incluent les sous-transferts de type fini et les systèmes sofic.
Ergodicité en physiquEdit
Les systèmes physiques peuvent être divisés en trois catégories: la mécanique classique, qui décrit les machines avec un nombre fini de pièces mobiles, la mécanique quantique, qui décrit la structure des atomes, et la mécanique statistique, qui décrit les gaz, les liquides, les solides; cela inclut la physique de la matière condensée. Le cas de la mécanique classique est discuté dans la section suivante, sur l’ergodicité en géométrie. En ce qui concerne la mécanique quantique, bien qu’il existe une conception du chaos quantique, il n’existe pas de définition claire de l’ergodocité; ce que cela pourrait être est vivement débattu. Cette section passe en revue l’ergodicité en mécanique statistique.
La définition abstraite ci-dessus d’un volume est requise comme paramètre approprié pour les définitions de l’ergodicité en physique. Considérons un récipient de liquide, ou de gaz, ou de plasma, ou une autre collection d’atomes ou de particules. Chaque particule x i {\displaystyle x_ {i}}
a une position 3D, et une vitesse 3D, et est donc décrit par six nombres : un point dans l’espace à six dimensions R6. {\displaystyle\mathbb{R}^{6}.}
S’il y a N {\displaystyle N}
de ces particules dans le système, une description complète nécessite 6 N {\displaystyle 6N}
nombres. N’importe quel système n’est qu’un seul point dans R 6 N. {\displaystyle\mathbb{R}^{6N}.}
Le système physique n’est pas tout de R 6 N {\displaystyle\mathbb {R}^{6N}}
, bien sûr; s’il s’agit d’une boîte de largeur, de hauteur et de longueur W × H × L {\displaystyle W \ times H \ times L}
alors un point est dans (W × H × L × R 3) N. {\displaystyle(W\times H\times L\times\mathbb{R}^{3}) ^{N}.}
Les vitesses ne peuvent pas non plus être infinies: ils sont mis à l’échelle par une mesure de probabilité, par exemple la mesure de Boltzmann–Gibbs pour un gaz. Néanmoins, pour N {\displaystyle N}
proche du nombre d’Avogadro, c’est évidemment un espace très grand. Cet espace s’appelle l’ensemble canonique.
Un système physique est dit ergodique si un point représentatif du système finit par visiter tout le volume du système. Pour l’exemple ci-dessus, cela implique qu’un atome donné visite non seulement chaque partie de la boîte W × H × L {\displaystyle W\times H\ times L}
avec une probabilité uniforme, mais il le fait avec toutes les vitesses possibles, avec une probabilité donnée par la distribution de Boltzmann pour cette vitesse (donc uniforme par rapport à cette mesure). L’hypothèse ergodique affirme que les systèmes physiques sont en réalité ergodiques. Plusieurs échelles de temps sont à l’œuvre: les gaz et les liquides semblent ergodiques sur de courtes échelles de temps. L’ergodicité dans un solide peut être considérée en termes de modes vibratoires ou de phonons, car il est évident que les atomes d’un solide n’échangent pas d’emplacements. Les lunettes posent un défi à l’hypothèse ergodique; les échelles de temps sont supposées se situer dans les millions d’années, mais les résultats sont controversés. Les lunettes Spin présentent des difficultés particulières.
Les preuves mathématiques formelles de l’ergodicité en physique statistique sont difficiles à trouver; la plupart des systèmes à plusieurs corps de haute dimension sont supposés être ergodiques, sans preuve mathématique. Les exceptions incluent le billard dynamique, qui modèle les collisions d’atomes de type boule de billard dans un gaz ou un plasma idéal. Le premier théorème d’ergodicité à sphère dure était pour le billard du Sinaï, qui considère deux balles, dont l’une est considérée comme stationnaire, à l’origine. Lorsque la deuxième balle entre en collision, elle s’éloigne; en appliquant des conditions aux limites périodiques, elle revient ensuite pour entrer en collision à nouveau. Par appel à l’homogénéité, ce retour de la « deuxième » boule peut au contraire être considéré comme « juste un autre atome » qui est entré dans la portée, et se déplace pour entrer en collision avec l’atome à l’origine (qui peut être considéré comme « n’importe quel autre atome ».) C’est l’une des rares preuves formelles qui existent; il n’y a pas d’énoncés équivalents, par exemple pour les atomes dans un liquide, interagissant via les forces de van der Waals, même s’il serait de bon sens de croire que de tels systèmes sont ergodiques (et se mélangent). Des arguments physiques plus précis peuvent cependant être avancés.
Ergodicité en géométriEdit
L’ergodicité est un phénomène largement répandu dans l’étude des variétés riemanniennes. Une rapide séquence d’exemples, du plus simple au plus compliqué, illustre ce point. Tous les systèmes mentionnés ci-dessous ont été prouvés ergodiques par des preuves formelles rigoureuses. La rotation irrationnelle d’un cercle est ergodique: l’orbite d’un point est telle que finalement, tous les autres points du cercle sont visités. De telles rotations sont un cas particulier de la carte d’échange d’intervalles. Les extensions bêta d’un nombre sont ergodiques: les extensions bêta d’un nombre réel ne se font pas en base-N, mais en base-β {\displaystyle\beta }
pour certains β. {\displaystyle\beta.}
La version réfléchie de l’extension bêta est tent map ; il existe une variété d’autres cartes ergodiques de l’intervalle unitaire. En passant à deux dimensions, le billard arithmétique avec des angles irrationnels est ergodique. On peut aussi prendre un rectangle plat, l’écraser, le couper et le remonter; c’est la carte de boulanger mentionnée précédemment. Ses points peuvent être décrits par l’ensemble des chaînes bi-infinies en deux lettres, c’est-à-dire s’étendant à la fois à gauche et à droite; en tant que tel, il ressemble à deux copies du processus de Bernoulli. Si l’on se déforme latéralement pendant l’écrasement, on obtient la carte du chat d’Arnold. Dans la plupart des cas, la carte cat est le prototype de toute autre transformation similaire.
Pour les surfaces non planes, on a que le flux géodésique de toute surface de Riemann compacte incurvée négativement est ergodique. Une surface est « compacte » dans le sens où elle a une surface finie. Le flux géodésique est une généralisation de l’idée de se déplacer en « ligne droite » sur une surface courbe: de telles lignes droites sont des géodésiques. L’un des premiers cas étudiés est le billard de Hadamard, qui décrit des géodésiques sur la surface de Bolza, topologiquement équivalentes à un beignet à deux trous. L’ergodicité peut être démontrée de manière informelle, si l’on a un sharpie et un exemple raisonnable de beignet à deux trous: en commençant n’importe où, dans n’importe quelle direction, on tente de tracer une ligne droite; les règles sont utiles pour cela. Il ne faut pas si longtemps pour découvrir que l’on ne revient pas au point de départ. (Bien sûr, le dessin tordu peut aussi expliquer cela; c’est pourquoi nous avons des preuves.)
Ces résultats s’étendent à des dimensions plus élevées. L’écoulement géodésique des collecteurs Riemanniens compacts à courbe négative est ergodique. Un exemple classique pour cela est le flux Anosov, qui est le flux d’horocycle sur un collecteur hyperbolique. Cela peut être vu comme une sorte de fibration de Hopf. De tels écoulements se produisent généralement en mécanique classique, qui est l’étude en physique des machines mobiles de dimension finie, par ex. le double pendule et ainsi de suite. La mécanique classique est construite sur des collecteurs symplectiques. Les flux sur de tels systèmes peuvent être déconstruits en collecteurs stables et instables; en règle générale, lorsque cela est possible, il en résulte un mouvement chaotique. Que cela soit générique peut être vu en notant que le faisceau cotangent d’un collecteur Riemannien est (toujours) un collecteur symplectique; le flux géodésique est donné par une solution aux équations de Hamilton–Jacobi pour ce collecteur. En termes de coordonnées canoniques (q, p) {\displaystyle(q,p)}
sur la variété cotangente, le hamiltonien ou énergie est donné par H = 1 2 ∑ i j g i j (q) p i p j {\displaystyle H = {\tfrac{1}{2}} \sum _{ij} g ^ {ij}(q) p_ {i}p_ {j}}
avec g i j {\displaystyle g ^ {ij}}
l’inverse du tenseur métrique et p i {\displaystyle p_{i}}
l’élan. La ressemblance avec l’énergie cinétique E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E = {\tfrac{1}{2}} mv^{2}}
d’une particule ponctuelle n’est guère accidentelle; c’est tout l’intérêt d’appeler de telles choses « énergie ». En ce sens, le comportement chaotique avec des orbites ergodiques est un phénomène plus ou moins générique dans de grandes étendues de géométrie.
Des résultats d’ergodicité ont été fournis dans les surfaces de translation, les groupes hyperboliques et la géométrie systolique. Les techniques comprennent l’étude des écoulements ergodiques, la décomposition de Hopf et le théorème d’Ambrose–Kakutani–Krengel–Kubo. Une classe importante de systèmes sont les systèmes Axiomes A.
Un certain nombre de résultats de classification et d' » anti-classification » ont été obtenus. Le théorème d’isomorphisme d’Ornstein s’applique également ici; encore une fois, il indique que la plupart de ces systèmes sont isomorphes à un schéma de Bernoulli. Cela relie assez soigneusement ces systèmes à la définition de l’ergodicité donnée pour un processus stochastique, dans la section précédente. Les résultats de l’anti-classification indiquent qu’il existe plus qu’un nombre infiniment dénombrable de systèmes dynamiques inéquivalents préservant les mesures ergodiques. Ce n’est peut-être pas tout à fait une surprise, car on peut utiliser des points dans l’ensemble de Cantor pour construire des systèmes similaires mais différents. Voir système dynamique de préservation des mesures pour un bref aperçu de certains des résultats de l’anti-classification.
Développement historiquemodifier
L’idée d’ergodicité est née dans le domaine de la thermodynamique, où il était nécessaire de relier les états individuels des molécules de gaz à la température d’un gaz dans son ensemble et à son évolution temporelle. Pour ce faire, il était nécessaire d’énoncer ce que signifie exactement que les gaz se mélangent bien ensemble, de sorte que l’équilibre thermodynamique puisse être défini avec une rigueur mathématique. Une fois la théorie bien développée en physique, elle a été rapidement formalisée et étendue, de sorte que la théorie ergodique a longtemps été un domaine indépendant des mathématiques en soi. Dans le cadre de cette progression, plus d’une définition légèrement différente de l’ergodicité et une multitude d’interprétations du concept dans différents domaines coexistent.
Par exemple, en physique classique, le terme implique qu’un système satisfait l’hypothèse ergodique de la thermodynamique, l’espace d’état pertinent étant l’espace de position et d’impulsion. Dans la théorie des systèmes dynamiques, l’espace d’état est généralement considéré comme un espace de phase plus général. D’autre part, en théorie du codage, l’espace d’état est souvent discret à la fois en temps et en état, avec une structure moins concomitante. Dans tous ces domaines, les idées de moyenne temporelle et de moyenne d’ensemble peuvent également transporter des bagages supplémentaires – comme c’est le cas avec les nombreuses fonctions de partition thermodynamiquement pertinentes possibles utilisées pour définir les moyennes d’ensemble en physique, encore une fois. En tant que telle, la formalisation théorique de la mesure du concept sert également de discipline unificatrice.
ÉtymologiEdit
On pense généralement que le terme ergodique dérive des mots grecsρργον (ergon: « travail ») etδδός (hodos: « chemin », « chemin »), choisis par Ludwig Boltzmann alors qu’il travaillait sur un problème de mécanique statistique. En même temps, il est également prétendu être une dérivation de l’ergomonode, inventée par Boltzmann dans un article relativement obscur de 1884. L’étymologie semble également contestée d’autres manières.