Lorsque l’on utilise des symboles mathématiques pour décrire la fonction zêta de Riemann, elle est représentée comme une série infinie:
ζ(s) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s, R e(s) > 1. {\displaystyle\zeta(s) = \sum_{n= 1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}, \quad\mathrm{Re}(s) >1.}
où r e(s) {\displaystyle\mathrm {Re}(s)}
est la partie réelle du nombre complexe s {\displaystyle s}
. Par exemple, si s = a + i b {\displaystyle s = a + ib}
, alors R e(s) = a {\displaystyle\mathrm {Re}(s) = a}
(où i 2 =− 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
Cela fait une séquence. Les premiers termes de cette séquence seraient,
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s { {\displaystyle {\frac{1}{1^{s}}} + {\frac{1} {2^{s}}} +{\frac{1}{3^{s}}}\ldots}
et ainsi de suite
Cependant, cela ne s’applique pas aux nombres où R e(s) < 1 {\displaystyle\mathrm{Re}(s)<1}
, puisque si nous interprétons cette fonction comme une somme infinie, la somme ne converge pas. Au lieu de cela, il diverge. Cela signifie qu’au lieu d’approcher une valeur spécifique, elle deviendra infiniment grande. Riemann a utilisé la continuation analytique, de sorte qu’il pouvait donner une valeur à tous les nombres sauf 1. ζ(1) {\displaystyle\zêta (1)}
représente la série harmonique, qui diverge, ce qui signifie que la somme ne se rapproche d’aucun nombre spécifique.
Leonhard Euler a découvert les premiers résultats sur la série que représente cette fonction au XVIIIe siècle. Il a prouvé que la fonction Zêta peut s’écrire comme un produit infini de nombres premiers. En notation mathématique :
ζ(s) = ζp|prime 1 1−p-s {\displaystyle\zeta(s) = \prod_ {p/{\text{prime}}} {\frac{1} {1-p^{-s}}}}
