Voici quelques définitions et propriétés de base des lignes et des angles en géométrie. Ces concepts sont testés dans de nombreux concours d’entrée comme GMAT, GRE, CAT.
Segment de ligne: Un segment de ligne a deux points d’extrémité avec une longueur définie.
Rayon: Un rayon a un point d’extrémité et s’étend à l’infini dans une direction.
Ligne droite: Une ligne droite n’a ni point de départ ni point final et est de longueur infinie.
Angle aigu: L’angle compris entre 0° et 90° est un angle aigu, ∠A dans la figure ci-dessous.
Angle obtus: L’angle compris entre 90° et 180° est un angle obtus, ∠B comme indiqué ci-dessous.
Angle droit: L’angle de 90 ° est un angle droit, ∠C comme indiqué ci-dessous.
Angle droit: L’angle qui est de 180 ° est un angle droit,AAOB dans la figure ci-dessous.
Angles supplémentaires:
Dans la figure ci-dessus, ∠AOC +COBCOB =AAOB = 180 °
Si la somme de deux angles est de 180 °, les angles sont appelés angles supplémentaires.
Deux angles droits se complètent toujours.
La paire d’angles adjacents dont la somme est un angle droit est appelée paire linéaire.
Angles complémentaires:
∠ COA + ∠AOB = 90°
Si la somme de deux angles est de 90° alors les deux angles sont appelés angles complémentaires.
Angles adjacents:
Les angles qui ont un bras commun et un sommet commun sont appelés angles adjacents.
Dans la figure ci-dessus,BOBOA et ∠AOC sont des angles adjacents. Leur bras commun est OA et leur sommet commun est ‘O’.
Angles opposés verticalement:
Lorsque deux lignes se croisent, les angles formés opposés l’un à l’autre au point d’intersection (sommet) sont appelés angles opposés verticalement.
Dans la figure ci-dessus,
x et y sont deux lignes qui se croisent.
∠A etCC font une paire d’angles opposés verticalement et
BB etDD font une autre paire d’angles opposés verticalement.
Lignes perpendiculaires : Lorsqu’il y a un angle droit entre deux lignes, les lignes sont dites perpendiculaires l’une à l’autre.
Ici, les lignes OA et OB sont dites perpendiculaires l’une à l’autre.
Lignes parallèles:
Ici, A et B sont deux lignes parallèles, coupées par une ligne p.
La ligne p est appelée transversale, celle qui coupe deux lignes ou plus (pas nécessairement des lignes parallèles) en des points distincts.
Comme on le voit sur la figure ci-dessus, lorsqu’une transversale coupe deux lignes, 8 angles sont formés.
Considérons les détails sous forme de tableau pour une référence facile.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Angles | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Angles intérieurs du même côté de la transversale | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
Lorsqu’une transversale coupe deux lignes parallèles,
- Les angles correspondants sont égaux.
- Les angles opposés verticalement sont égaux.
- Les angles intérieurs alternés sont égaux.
- Les angles extérieurs alternés sont égaux.
- La paire d’angles intérieurs du même côté de la transversale est supplémentaire.
On peut dire que les lignes sont parallèles si l’on peut vérifier au moins une des conditions précitées.
Jetons un coup d’œil à quelques exemples.
Exemples résolus
Exemple 1. Si les lignes m et n sont parallèles l’une à l’autre, déterminez les angles ∠5 et ∠7.
Solution :
Déterminer une paire peut permettre de trouver tous les autres angles. Ce qui suit est l’une des nombreuses façons de résoudre cette question.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 puisqu’ils sont des angles opposés verticalement.
Par conséquent, ∠4 = 125°
∠4 est l’un des angles intérieurs du même côté de la transversale.
Par conséquent, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 depuis les angles opposés verticalement.
Par conséquent, ∠5 = ∠7 = 55°
Remarque: Parfois, la propriété parallèle des lignes peut ne pas être mentionnée dans l’énoncé du problème et les lignes peuvent sembler parallèles les unes aux autres; mais elles peuvent ne pas l’être. Il est important de déterminer si deux lignes sont parallèles en vérifiant les angles et non par des regards.
Exemple 2. Si ∠A = 120° et ∠H = 60°. Déterminez si les lignes sont parallèles.
Solution:
Étant donné ∠A = 120 ° et ∠H = 60°.
Puisque les angles adjacents sont supplémentaires,AA +BB = 180°
120 + ∠ B = 180 → ∠B = 60°.
On donne que ∠H = 60°. Nous pouvons voir queBB etHH sont des angles alternatifs extérieurs.
Lorsque les angles alternatifs extérieurs sont égaux, les lignes sont parallèles.
Les droites p et q sont donc parallèles.
Nous pouvons le vérifier en utilisant d’autres angles.
Si ∠H = 60°, ∠E = 120° puisque ces deux sont en ligne droite, ils sont supplémentaires.
Maintenant, ∠A =EE = 120°. AA etEE sont des angles correspondants.
Lorsque les angles correspondants sont égaux, les lignes sont parallèles.
De même, nous pouvons également prouver en utilisant d’autres angles.
Exemple 3. Si p et q sont deux lignes parallèles l’une à l’autre et ∠E = 50 °, trouvez tous les angles dans la figure ci-dessous.
Solution :
On lui donne ∠E = 50°.
Les deux lignes sont parallèles
→ Les angles correspondants sont égaux.
Puisque ∠E et ∠A sont des angles correspondants, ∠A = 50°.
→ Les angles opposés verticalement sont égaux.
Puisque ∠A et ∠C sont verticalement opposés l’un à l’autre, ∠C = 50°.
Puisque ∠E et ∠G sont verticalement opposés l’un à l’autre, ∠G = 50°.
→ Les angles intérieurs du même côté de la transversale sont supplémentaires.
∠E +DD = 180 ° → 50 +DD = 180° →DD = 130°
→ ∠ D et ∠B sont des angles opposés verticalement. DoncBB = 130°.