5.1 Introduction
La mécanique des fluides en général et les couches limites en particulier sont mathématiquement complexes. Une telle complexité fait parfois non seulement progresser l’étude et la compréhension des fluides, mais fait également progresser la discipline des mathématiques appliquées. Les mathématiques continuent de permettre de tirer des conclusions bien nécessaires de plusieurs disciplines. À cette fin, de nombreux mathématiciens continuent d’apporter des contributions significatives à la discipline de la dynamique des fluides.
Les problèmes de couche limite impliquent un changement rapide de la valeur d’une variable physique sur une région limitée de l’espace, et ils constituent une classe particulière de problèmes de perturbation singuliers. À cet égard, presque tous les problèmes de couche limite impliquent des équations différentielles dans lesquelles le terme dérivé le plus élevé est multiplié par un petit paramètre. De plus, la couche limite est toujours considérée comme semi-infinie, la principale raison étant la liberté de considérer les effets de limite finale où tous les impondérables et imaginables peuvent être attendus. Considérer une surface infinie peut être si difficile qu’il peut détourner l’attention de l’intérêt principal de l’enquête en premier lieu. Cela dit, rien n’interdit à la jeune génération de chercheurs de faire face à ce problème, compte tenu de son avantage d’être exposée à un corpus de connaissances relativement plus vaste que les générations précédentes.
La dynamique des fluides ou hydroélectriques est régie par des équations aux dérivées partielles non linéaires (EDP), qui sont très difficiles à résoudre analytiquement. À notre connaissance, il n’existe aucune solution générale de forme fermée à ces équations. Les équations gouvernantes de la couche limite sont principalement basées sur une simplification du système des équations aux dérivées partielles non linéaires (EDP) du second ordre, connues sous le nom d’équations de Navier-Stokes (NS) du mouvement pour les écoulements visqueux. La simplification proposée par Prandtl en 1908 est généralement appelée équations de la couche limite de Prandtl (PBL). Contrairement aux équations NS, qui sont elliptiques, les équations de la couche limite sont de nature parabolique et les techniques utilisées pour les résoudre sont basées sur les lois de similitude dans les écoulements de la couche limite.
Trois méthodes principales peuvent être utilisées pour résoudre les problèmes de couche limite : la méthode de similarité ou de différence (approche la plus courante), la méthode intégrale et la méthode de solution numérique complète. De nombreux cas particuliers d’EDP non linéaires ont conduit à des changements appropriés de variables ou à des transformations d’étirement, en fonction de la tâche à accomplir. Certaines transformations linéarisent le système d’équations considéré, tandis que d’autres transforment le système en un système pour lequel une solution existe. Les transformations qui réduisent un système de PDE à un système d’équations différentielles ordinaires (ODEs) en exploitant une symétrie inhérente au problème sont souvent considérées comme des « transformations de similarité. »La méthode de similarité est la méthode originale de Blasius qui a été développée pour résoudre les problèmes de couche limite de manière analytique. Blasius a introduit et utilisé une variable indépendante appelée la variable de similarité pour les équations de la couche limite de Prandtl. Cela était basé sur la prémisse que la vitesse est géométriquement similaire le long de la direction de l’écoulement, où les PDE de conservation sont convertis en ODEs. La transformation de similarité capture la croissance de la couche limite et simplifie considérablement l’analyse et la solution des équations gouvernantes. La découverte d’une variable de similarité qui convient à la transformation est un art plutôt qu’une science, et cela nécessite d’avoir une bonne compréhension du problème. Les nombres de variables indépendantes dans les EDP sont soigneusement convertis en une seule variable indépendante (connue sous le nom de variable de similarité). Les conditions aux limites initiales d’origine sont également transformées en conditions aux limites appropriées dans la nouvelle variable combinée.
La technique de transformation de similarité est un outil indispensable à l’analyse du comportement mécanique des fluides en général et en particulier des processus de couches limites. Les techniques asymptotiques nous permettent de rendre simple un système complexe, qui fournit alors une forme éclairée d’empirisme que nous appelons similitude. Plusieurs méthodes et approches ont été développées pour trouver des variables de similitude, par exemple le théorème Pi de Vaschy–Buckingham. L’approche la plus rigoureuse et la plus systématique pour trouver des variables de similarité est basée sur le groupe de transformations de Lie. La prémisse de l’approche du groupe de lie est que chaque variable de l’équation initiale est soumise à une transformation infinitésimale. L’exigence selon laquelle l’équation est invariante sous ces transformations conduit à la détermination du potentiel ou des symétries possibles. Cette approche a été couramment appliquée aux équations de la couche limite. A propos de la théorie de la couche limite, les auteurs de ont fourni un compte rendu complet des méthodes classiques, y compris plusieurs résultats possibles en fonction de la perspective du problème à résoudre. La méthode directe de Clarkson–Krustal, qui est utilisée pour trouver des réductions de similarité, a été utilisée dans des équations de couche limite instables. Il est important de noter que la variable de similarité trouvée n’est pas unique ou propre à un seul problème; elle peut être appliquée à d’autres problèmes similaires le cas échéant. En outre, Hansen a discuté de la méthode de la « variable d’étirement » utilisée pour trouver des transformations de similarité. Globalement, les problèmes de similarité réduisent les équations PBL originales à une forme invariante par rapport aux transformations affines. Le champ d’écoulement local est ensuite résolu par des solutions analytiques/numériques des EDP régissant la couche limite. De manière caractéristique, les profils de vitesse des écoulements de la couche limite donnent une suite de courbes et de tracés homothétiques. Pourquoi sont-ils typiquement homothétiques? En ce qui concerne le profil de vitesse, par exemple, nous nous normalisons par uU∞ et cela tend ou se rapproche de l’unité. De même, en ce qui concerne le profil de température, on se normalise par température de flux libre, ou T−T∞, et cela tend vers ou se rapproche de zéro. Les méthodes intégrales, à un autre égard, donnent des solutions sous forme fermée en supposant un profil de vitesse, de température et de transfert de masse de concentration. Cela implique l’intégration des équations de la paroi au flux libre, donnant ainsi une performance globale qui inclut la croissance de la couche limite. Enfin, la méthode numérique complète utilise des schémas numériques éprouvés et des codes de simulation pratiques avec des ordinateurs à grande vitesse pour résoudre plusieurs problèmes de couche limite.
Il convient de noter que certaines études dans la littérature discutent de leurs résultats comme des solutions exactes. La prudence à cet égard est importante. Généralement, lorsque nous parlons de « solutions exactes » d’équations fondamentales, telles que les équations NS, et qu’il peut s’agir des équations NS complètes ou de l’une de leurs formes approximées, tant que les solutions obtenues obtenues par n’importe quelle technique sont en effet aussi exactes qu’elles viennent, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de meilleure solution trouvée. L’exactitude fait référence à la solution de l’équation elle-même. Si l’équation en question a été une approximation d’une équation plus robuste, alors la revendication d’exactitude de la solution ne devrait porter que sur la solution approximative.