Trois dimensionsmodifier
Courbe d’espace en 3D. Le vecteur de position r est paramétré par un scalaire t. À r = a, la ligne rouge est la tangente à la courbe et le plan bleu est normal à la courbe.
En trois dimensions, tout ensemble de coordonnées tridimensionnelles et leurs vecteurs de base correspondants peuvent être utilisés pour définir l’emplacement d’un point dans l’espace — celui qui est le plus simple pour la tâche à accomplir peut être utilisé.
Généralement, on utilise le système de coordonnées cartésiennes familier, ou parfois les coordonnées polaires sphériques, ou les coordonnées cylindriques:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t) ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligné}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big ) } +z(t)\mathbf{\hat{e}}_{z}, \\\end{aligned}}}
où t est un paramètre, en raison de leur symétrie rectangulaire ou circulaire. Ces différentes coordonnées et vecteurs de base correspondants représentent le même vecteur de position. Des coordonnées curvilignes plus générales pourraient être utilisées à la place et se trouvent dans des contextes tels que la mécanique du continu et la relativité générale (dans ce dernier cas, il faut une coordonnée temporelle supplémentaire).
n dimensionsmodifier
L’algèbre linéaire permet l’abstraction d’un vecteur de position à n dimensions. Un vecteur position peut être exprimé comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :
r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n. {\displaystyle\mathbf{r} = \somme _{i= 1}^{n} x_{i}\mathbf{e}_{i} = x_{1}\mathbf{e}_{1} +x_{2}\mathbf{e}_{2} +\dotsb+x_{n}\mathbf{e}_{n}.}
L’ensemble de tous les vecteurs de position forme un espace de position (un espace vectoriel dont les éléments sont les vecteurs de position), puisque les positions peuvent être ajoutées (addition de vecteurs) et mises à l’échelle en longueur (multiplication scalaire) pour obtenir un autre vecteur de position dans l’espace. La notion d' »espace » est intuitive, puisque chaque xi (i = 1, 2, n, n) peut avoir n’importe quelle valeur, la collection de valeurs définit un point dans l’espace.
La dimension de l’espace de position est n (également noté dim(R) = n). Les coordonnées du vecteur r par rapport aux vecteurs de base ei sont xi. Le vecteur de coordonnées forme le vecteur de coordonnées ou n-tuple (x1, x2, …, xn).
Chaque coordonnée xi peut être paramétrée d’un certain nombre de paramètres t. Un paramètre xi(t) décrirait un chemin 1D incurvé, deux paramètres xi (t1, t2) décrivent une surface 2D incurvée, trois xi (t1, t2, t3) décrivent un volume d’espace 3D incurvé, et ainsi de suite.
L’intervalle linéaire d’un ensemble de bases B= {e1, e2, …, en} est égal à l’espace de position R, noté span(B) = R.