Ecco alcune definizioni e proprietà di base di linee e angoli in geometria. Questi concetti sono testati in molti esami di ammissione competitivi come GMAT, GRE, CAT.
Segmento di linea: un segmento di linea ha due punti finali con una lunghezza definita.
Raggio: un raggio ha un punto finale e si estende infinitamente in una direzione.
Linea retta: Una linea retta non ha né punto iniziale né punto finale ed è di lunghezza infinita.
Angolo acuto: L’angolo compreso tra 0° e 90° è un angolo acuto, ∠A nella figura seguente.
Angolo ottuso: L’angolo compreso tra 90° e 180° è un angolo ottuso, ∠B come mostrato di seguito.
Angolo retto: L’angolo che è di 90° è un angolo retto, ∠C come mostrato di seguito.
Angolo retto: L’angolo che è 180° è un angolo retto, ∠AOB nella figura seguente.
Angoli supplementari:
Nella figura sopra, A AOC + COB COB = A AOB = 180°
Se la somma di due angoli è di 180°, gli angoli sono chiamati angoli supplementari.
Due angoli retti si completano sempre a vicenda.
La coppia di angoli adiacenti la cui somma è un angolo retto è chiamata coppia lineare.
Angoli complementari:
∠COA +A AOB = 90 °
Se la somma di due angoli è di 90°, i due angoli sono chiamati angoli complementari.
Angoli adiacenti:
Gli angoli che hanno un braccio comune e un vertice comune sono chiamati angoli adiacenti.
Nella figura sopra, BO BOA e A AOC sono angoli adiacenti. Il loro braccio comune è OA e il vertice comune è ‘O’.
Angoli verticalmente opposti:
Quando due linee si intersecano, gli angoli formati l’uno di fronte all’altro nel punto di intersezione (vertice) sono chiamati angoli verticalmente opposti.
Nella figura sopra,
x e y sono due linee intersecanti.
∠A e C C creano una coppia di angoli verticalmente opposti e
B B e D D creano un’altra coppia di angoli verticalmente opposti.
Linee perpendicolari: quando c’è un angolo retto tra due linee, si dice che le linee siano perpendicolari l’una all’altra.
Qui, le linee OA e OB sono dette perpendicolari l’una all’altra.
Linee parallele:
Qui, A e B sono due linee parallele, intersecate da una linea p.
La linea p è chiamata trasversale, quella che interseca due o più linee (non necessariamente parallele) in punti distinti.
Come si vede nella figura sopra, quando un trasversale interseca due linee, si formano 8 angoli.
Consideriamo i dettagli in una forma tabellare per una facile consultazione.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Angoli | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| Angoli Interni sullo stesso lato della trasversale | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
Quando trasversale che interseca due linee parallele,
- Gli angoli corrispondenti sono uguali.
- Gli angoli verticalmente opposti sono uguali.
- Gli angoli interni alternativi sono uguali.
- Gli angoli esterni alternativi sono uguali.
- La coppia di angoli interni sullo stesso lato del trasversale è supplementare.
Possiamo dire che le linee sono parallele se possiamo verificare almeno una delle suddette condizioni.
Diamo un’occhiata ad alcuni esempi.
Esempi risolti
Esempio 1. Se le linee m e n sono parallele l’una all’altra, determinare gli angoli 5 5 e 7 7.
Soluzione:
Determinare una coppia può rendere possibile trovare tutti gli altri angoli. Quanto segue è uno dei tanti modi per risolvere questa domanda.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 dal momento che sono angoli verticalmente opposti.
Pertanto, ∠4 = 125°
∠4 è uno degli angoli interni sullo stesso lato del trasversale.
Pertanto, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 poiché angoli verticalmente opposti.
Pertanto, ∠5 = ∠7 = 55°
Nota: A volte, la proprietà parallela delle linee potrebbe non essere menzionata nell’istruzione problem e le linee potrebbero sembrare parallele l’una all’altra; ma potrebbero non esserlo. È importante determinare se due linee sono parallele verificando gli angoli e non gli sguardi.
Esempio 2. Se A A = 120° e H H = 60°. Determina se le linee sono parallele.
Soluzione:
Dato ∠A = 120° e H H = 60°.
Poiché gli angoli adiacenti sono supplementari,, A + B B = 180°
120 + ∠B = 180 → B B = 60°.
È dato che H H = 60°. Possiamo vedere che B B e H H sono angoli esterni alternativi.
Quando gli angoli esterni alternativi sono uguali, le linee sono parallele.
Quindi le linee p e q sono parallele.
Possiamo verificarlo usando altri angoli.
Se H H = 60°, ∠E = 120° poiché questi due sono su una linea retta, sono supplementari.
Ora, A A = E E = 120°. angles A e E E sono angoli corrispondenti.
Quando gli angoli corrispondenti sono uguali, le linee sono parallele.
Allo stesso modo, possiamo provare usando anche altri angoli.
Esempio 3. Se p e q sono due linee parallele l’una all’altra e ∠E = 50°, trova tutti gli angoli nella figura seguente.
Soluzione:
È dato ∠E = 50°.
Le due linee sono parallele
→ Gli angoli corrispondenti sono uguali.
Poiché angles E e A A sono angoli corrispondenti ,A A = 50° .
→ Gli angoli verticalmente opposti sono uguali.
Poiché ∠A e C C sono verticalmente opposti l’uno all’altro, C C = 50°.
Poiché ∠E e G G sono verticalmente opposti l’uno all’altro, G G = 50°.
→ Gli angoli interni sullo stesso lato del trasversale sono supplementari.
∠E + D D = 180° → 50 + D D = 180 ° → D D = 130°
→ ∠D e B B sono angoli verticalmente opposti. Quindi B B = 130°.