Tre dimensionimodifica
Curva dello spazio in 3D. Il vettore di posizione r è parametrizzato da uno scalare t. A r = a la linea rossa è la tangente alla curva e il piano blu è normale alla curva.
In tre dimensioni, qualsiasi insieme di coordinate tridimensionali e relativi vettori di base corrispondenti può essere utilizzato per definire la posizione di un punto nello spazio—a seconda di quale sia il più semplice per il compito a portata di mano può essere utilizzato.
Comunemente, si usa il familiare sistema di coordinate cartesiane, o talvolta coordinate polari sferiche o coordinate cilindriche:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )} + z(t) \mathbf {\hat {e}} _{z},\\ \ end{aligned}}}
dove t è un parametro, a causa della loro simmetria rettangolare o circolare. Queste diverse coordinate e corrispondenti vettori di base rappresentano lo stesso vettore di posizione. Potrebbero essere invece utilizzate coordinate curvilinee più generali e si trovano in contesti come la meccanica del continuo e la relatività generale (in quest’ultimo caso è necessaria una coordinata temporale aggiuntiva).
n dimensionsEdit
L’algebra lineare consente l’astrazione di un vettore di posizione n-dimensionale. Un vettore di posizione può essere espresso come una combinazione lineare di vettori di base:
r = i i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n . {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
L’insieme di tutti i vettori di posizione forma lo spazio di posizione (uno spazio vettoriale i cui elementi sono i vettori di posizione), poiché le posizioni possono essere aggiunte (aggiunta vettoriale) e ridimensionate in lunghezza (moltiplicazione scalare) per ottenere un altro vettore di posizione nello spazio. La nozione di” spazio ” è intuitiva, poiché ogni xi (i = 1, 2, …, n) può avere qualsiasi valore, la raccolta di valori definisce un punto nello spazio.
La dimensione dello spazio di posizione è n(indicato anche dim (R) = n). Le coordinate del vettore r rispetto ai vettori di base ei sono xi. Il vettore delle coordinate forma il vettore di coordinate o n-tupla (x1, x2, …, xn).
Ogni coordinata xi può essere parametrizzata con un numero di parametri t. Un parametro xi(t) descriverebbe un percorso 1D curvo, due parametri xi(t1, t2) descrive una superficie 2D curva, tre xi (t1, t2, t3) descrive un volume di spazio 3D curvo e così via.
L’intervallo lineare di un insieme di basi B = {e1, e2,…, en} è uguale allo spazio di posizione R, denotato span (B) = R.