Quando si usano simboli matematici per descrivere la funzione zeta di Riemann, viene rappresentata come una serie infinita:
ζ ( s) = n n = 1 ∞ 1 n s , R e ( s) > 1. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
dove R ( s ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)}
è la parte reale del numero complesso s {\displaystyle s}
. Per esempio, se s = a + i b {\displaystyle s=a+ib}
, quindi R ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(dove i 2 = − 1 {\displaystyle ho^{2}=-1}
).
Questo crea una sequenza. I primi termini della successione sarebbe,
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
e così via
Tuttavia, questo non vale per i numeri, dove R ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1}
, perché, se dobbiamo interpretare questa funzione come somma infinita, la somma non converge. Invece, diverge. Ciò significa che invece di avvicinarsi a un valore specifico, diventerà infinitamente grande. Riemann ha usato la continuazione analitica, in modo che potesse dare un valore a tutti i numeri tranne 1. ζ (1) {\stile di visualizzazione \ zeta (1)}
rappresenta la serie armonica, che diverge, il che significa che la somma non si avvicina a nessun numero specifico.
Leonhard Euler scoprì i primi risultati sulla serie che questa funzione rappresenta nel diciottesimo secolo. Ha dimostrato che la funzione Zeta può essere scritta come un prodotto infinito di numeri primi. In notazione matematica:
ζ ( s ) = ∏ p | prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p|{\text{primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
