Ergodicitet

Ergodicitet förekommer i breda inställningar inom fysik och matematik. Alla dessa inställningar förenas av en gemensam matematisk beskrivning, den för det mätbevarande dynamiska systemet. En informell beskrivning av detta och en definition av ergodicitet med avseende på den ges omedelbart nedan. Detta följs av en beskrivning av ergodicitet i stokastiska processer. De är en och samma, trots att de använder dramatiskt olika noteringar och språk. En översyn av ergodicitet i fysik och i geometri följer. I alla fall är begreppet ergodicitet exakt detsamma som för dynamiska system; det finns ingen skillnad, förutom outlook, notation, tänkande och tidskrifter där resultat publiceras.

measure-preserving dynamical systemsEdit

den matematiska definitionen av ergodicitet syftar till att fånga vanliga vardagliga tankar om slumpmässighet. Detta inkluderar tankar om system som rör sig på ett sådant sätt att (så småningom) fyller upp allt utrymme, såsom diffusion och brunisk rörelse, liksom sunt förnuft för blandning, såsom blandning av färger, drycker, matlagningsingredienser, industriell processblandning, rök i ett rökfyllt rum, dammet i Saturnus ringar och så vidare. För att ge en solid matematisk grund börjar beskrivningar av ergodiska system med definitionen av ett mätbevarande dynamiskt system. Detta är skrivet som (X , a, POV, t ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}},\mu, T).}

set x {\displaystyle X}

förstås vara det totala utrymmet som ska fyllas: blandningsskålen, det rökfyllda rummet etc. Med måttet {\displaystyle \mu}

definieras den naturliga volymen av utrymmet X {\displaystyle X}

och dess delområden. Samlingen av delområden betecknas med en {\displaystyle {\mathcal {A}}}

, och storleken på en viss delmängd A X {\displaystyle A\delmängd X}

är {\displaystyle \mu ( a)}

; storleken är dess volym. Naivt kan man föreställa sig en {\displaystyle {\mathcal {A}}}

att vara effektuppsättningen av X {\displaystyle X}

; detta fungerar inte riktigt, eftersom inte alla delmängder av ett utrymme har en volym (berömd, Banach-Tarski-paradoxen). Således konventionellt en {\displaystyle {\mathcal {A}}}

består av mätbara delmängder—de delmängder som har en volym. Det anses alltid vara en Borel-uppsättning-samlingen av delmängder som kan konstrueras genom att ta korsningar, fackföreningar och uppsättning komplement; dessa kan alltid tas för att vara mätbara.

tidsutvecklingen av systemet beskrivs av en karta T: X 2 {\displaystyle T:X\to X}

. Med tanke på en delmängd av X {\displaystyle A\delmängd X}

, kommer dess karta T ( A ) {\displaystyle T(A)}

i allmänhet att vara en deformerad version av en {\displaystyle A}

– den är pressad eller sträckt, vikad eller skuren i bitar. Matematiska exempel inkluderar baker ’ s map och horseshoe map, båda inspirerade av brödtillverkning. Uppsättningen T(A) {\displaystyle T(A)}

måste ha samma volym som en {\displaystyle A}

; squashing / stretching förändrar inte volymen av utrymmet, bara dess fördelning. Ett sådant system är” måttbevarande ” (områdesbevarande, volymbevarande).

en formell svårighet uppstår när man försöker förena volymen av uppsättningar med behovet av att bevara sin storlek under en karta. Problemet uppstår eftersom i allmänhet flera olika punkter i domänen för en funktion kan kartlägga till samma punkt i sitt intervall; det vill säga, det kan finnas x 2 {\displaystyle X \ neq y}

med T (x) = T (y) {\displaystyle T (x)=t (y)}

. Värre är att en enda punkt x 2 x {\displaystyle X \ i x}

har ingen storlek. Dessa svårigheter kan undvikas genom att arbeta med den inversa kartan T-1: A {\displaystyle t^{-1}: {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}

; det kommer att kartlägga en viss delmängd en bisexuell X {\displaystyle A \ delmängd X}

till de delar som monterades för att göra det: dessa delar är T-1 ( A) en {\displaystyle T^{-1} (a)\i {\mathcal {A}}}

. Det har den viktiga egenskapen att inte förlora reda på var saker kom ifrån. Mer starkt har den den viktiga egenskapen att någon (måttbevarande) kartlägger en bisexuell A {\displaystyle {\mathcal {A}}\till {\mathcal {A}}}

är den inversa av någon karta X OC. X {\displaystyle X \ till x}

. Den korrekta definitionen av en volymbevarande karta är en för vilken Bisexuell (a) = Bisexuell ( T-1 (A)) {\displaystyle \mu (A) = \mu (T^{-1} (a))}

eftersom T − 1 (A ) {\displaystyle T^{-1} (A)}

beskriver alla delar-delar som en {\displaystyle A}

kom från.

man är nu intresserad av att studera systemets tidsutveckling. Om en uppsättning av en A {\displaystyle A \ in {\mathcal {A}}}

så småningom kommer att fylla alla X {\displaystyle X}

under en lång tidsperiod (det vill säga om T n (A) {\displaystyle t^{N} (A)}

närmar sig alla X {\displaystyle X}

för stora n {\displaystyle n}

), systemet sägs vara ergodiskt. Om varje uppsättning A {\displaystyle A}

beter sig på detta sätt är systemet ett konservativt system, placerat i kontrast till ett dissipativt system, där vissa delmängder a {\displaystyle A}

vandrar bort, aldrig att returneras till. Ett exempel skulle vara vatten som går nedförsbacke-när det har gått ner kommer det aldrig att komma upp igen. Sjön som bildas längst ner i denna flod kan dock bli välblandad. Den ergodiska sönderdelningssatsen säger att varje ergodiskt system kan delas upp i två delar: den konservativa delen och den dissipativa delen.

blandning är ett starkare uttalande än ergodicitet. Blandning ber om denna ergodiska egenskap att hålla mellan två uppsättningar A, B {\displaystyle A, B}

, och inte bara mellan vissa uppsättningar A {\displaystyle A}

och X {\displaystyle X}

. Det vill säga, med tanke på två uppsättningar A , B 0 A {\displaystyle A,B\i {\mathcal {A}}}

, sägs ett system vara (topologiskt) blandning om det finns ett heltal N {\displaystyle N}

sådant att för alla a, b {\displaystyle A , B}

och n > n {\displaystyle N>n}

, man har den TN ( a)

. Här anger {\displaystyle \cap}

ange skärningspunkt och {\displaystyle \varnothing }

är den tomma uppsättningen. Andra begrepp om blandning inkluderar stark och svag blandning, som beskriver uppfattningen att de blandade ämnena blandas överallt, i lika stor andel. Detta kan vara icke-trivialt, som praktisk erfarenhet av att försöka blanda klibbiga, snygga ämnen visar.

ergodisk processesEdit

ovanstående diskussion vädjar till en fysisk känsla av en volym. Volymen behöver inte bokstavligen vara en del av 3D-rymden; det kan vara lite abstrakt volym. Detta är i allmänhet fallet i statistiska system, där volymen (måttet) ges av sannolikheten. Den totala volymen motsvarar sannolikheten en. Denna korrespondens fungerar eftersom axiomerna för sannolikhetsteori är identiska med de för måttteori; dessa är Kolmogorov Axiom.

tanken på en volym kan vara mycket abstrakt. Tänk till exempel uppsättningen av alla möjliga myntflips: uppsättningen oändliga sekvenser av huvuden och svansarna. Tilldela volymen 1 till detta utrymme, det är uppenbart att hälften av alla sådana sekvenser börjar med huvuden och hälften börjar med svansar. Man kan skära upp denna volym på andra sätt: man kan säga ” Jag bryr mig inte om den första n-1 {\displaystyle n-1}

myntflips; men jag vill ha n {\displaystyle n}

’TH av dem att vara huvuden, och då bryr jag mig inte om vad som kommer efter det”. Detta kan skrivas som den uppsättning (Asia, Asia, Asia, h, Asia, Asia ) {\displaystyle (*, \cdots,*, h,*,\cdots )}

där *}

är ”bryr sig inte” och h {\displaystyle h}

är ”huvuden”. Volymen av detta utrymme är igen (självklart!) hälften.

ovanstående är tillräckligt för att bygga upp ett måttbevarande dynamiskt system i sin helhet. Uppsättningarna av h {\displaystyle h}

eller t {\displaystyle t}

förekommer i n {\displaystyle n}

’TH plats kallas cylinderuppsättningar. Uppsättningen av alla möjliga korsningar, fackföreningar och komplement av cylinderuppsättningarna bildar sedan Borel-uppsättningen a {\displaystyle {\mathcal {A}}}

definierad ovan. I formella termer utgör cylinderuppsättningarna basen för en topologi på utrymmet X {\displaystyle X}

av alla möjliga myntflips med oändlig längd. Måttet {\displaystyle \ mu }

har alla sunt förnuft egenskaper man kan hoppas på: måttet på en cylinder set med h {\displaystyle h}

I m {\displaystyle m}

’TH position och t {\displaystyle t}

i k {\displaystyle k}

’TH position är uppenbarligen 1/4, och så vidare. Dessa sunt förnuft egenskaper kvarstår för set-komplement och set-union: allt utom h {\displaystyle h}

och t {\displaystyle t}

på platser m {\displaystyle m}

och k {\displaystyle k}

uppenbarligen har volymen 3/4. Sammantaget utgör dessa axiomerna för en sigma-additiv åtgärd; mätbevarande dynamiska system använder alltid sigma-additiva åtgärder. För myntflips kallas denna åtgärd Bernoulli-åtgärden.

för coin-flip-processen är tidsutvecklingsoperatören t {\displaystyle T}

är skiftoperatören som säger ”kasta bort den första myntflipen och behåll resten”. Formellt, om ( x 1 , x 2, 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}

är en sekvens av myntflips, då T ( x 1 , x 2, 2 , 2 ) = ( x 2, x 3,2 ) {\displaystyle T(x_{1}, x_{2},\cdots )=(x_{2}, x_{3},\cdots )}

. Åtgärden är uppenbarligen skiftinvariant: så länge vi talar om en del ställa in en bisexuell A {\displaystyle A \ in {\mathcal {A}}}

där den första myntflip x 1 = bisexuell {\displaystyle x_{1}=*}

är” bryr sig inte ” – värdet, då ändras inte volymen ( A ) {\displaystyle \mu (A)}

: (A) = (A) (T (A)) {\displaystyle \mu (a) = \mu (T (A)))}

. För att undvika att prata om den första myntflipen är det lättare att definiera T – 1 {\displaystyle T^{-1}}

som att sätta in ett” bryr sig inte ” – värde i den första positionen: T − 1 (x 1, x 2, 2CB) = (1CB, x 1, x 2, 2CB) {\displaystyle t^{-1} (x_{1}, x_{2},\cdots ) =(*, x_{1}, x_{2},\cdots )}

. Med denna definition har man uppenbarligen det: (t − 1 ( A)) = (A) (A) (\displaystyle \mu (t^{-1} (a))=\mu (A))}

utan begränsningar för en {\displaystyle A}

. Detta är återigen ett exempel på varför T – 1 {\displaystyle T^{-1}}

används i de formella definitionerna.

ovanstående utveckling tar en slumpmässig process, Bernoulli-processen , och omvandlar den till ett mätningsbevarande dynamiskt system ( X , a , XHamster, T ) . {\displaystyle (X, {\mathcal {A}},\mu, T).}

samma omvandling (ekvivalens, isomorfism) kan tillämpas på vilken stokastisk process som helst. Således är en informell definition av ergodicitet att en sekvens är ergodisk om den besöker alla X {\displaystyle X}

; sådana sekvenser är ”typiska” för processen. En annan är att dess statistiska egenskaper kan härledas från ett enda, tillräckligt långt, slumpmässigt urval av processen (alltså enhetligt sampling av alla X {\displaystyle X}

), eller att varje samling av slumpmässiga prover från en process måste representera de genomsnittliga statistiska egenskaperna för hela processen (det vill säga prover som dras enhetligt från X {\displaystyle X}

är representativa för X {\displaystyle X}

som helhet.) I föreliggande exempel, en sekvens av mynt flips, där hälften är huvuden, och hälften är svansar, är en ”typisk” sekvens.

det finns flera viktiga punkter att göra om Bernoulli-processen. Om man skriver 0 för svansar och 1 för huvuden får man uppsättningen av alla oändliga strängar av binära siffror. Dessa motsvarar basen – två expansion av reella tal. Explicit, givet en sekvens (x 1, x 2, kub) {\displaystyle (x_{1}, x_{2},\cdots )}

, motsvarande reella tal är y = 2 x 1 x 2 x n {\displaystyle y= \ sum _{n=1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{2^{n}}}}

uttalandet att Bernoulli-processen är ergodisk motsvarar uttalandet att de reella talen är jämnt fördelade. Satsen av alla sådana strängar kan skrivas på olika sätt: { h, t} = {h, t} = {0, 1}. {\displaystyle\{h,t\}^{\infty }=\{h, t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega } = 2^{\omega } = 2^{\mathbb {N} }.}

denna uppsättning är Kantoruppsättningen, ibland kallad Kantorutrymmet för att undvika förväxling med Kantorfunktionen C (x ) = 0cu i n = 1cu i x n 3 n {\displaystyle C(x)= \ sum _ {n=1}^{\infty } {\frac {x_{n}}{3^{n}}}}

i slutändan är dessa alla”samma sak”.

Kantoruppsättningen spelar nyckelroller i många grenar av matematik. I rekreationsmatematik, Det ligger till grund för perioden-fördubbling fraktaler; i analys, det förekommer i en mängd olika satser. En nyckel för stokastiska processer är Wold-sönderdelning, som säger att varje stationär process kan sönderdelas i ett par okorrelerade processer, en deterministisk och den andra är en glidande medelprocess.

Ornstein-isomorfismsatsen säger att varje stationär stokastisk process motsvarar ett Bernoulli-schema (en Bernoulli-process med en n-sidig (och eventuellt orättvis) spel dö). Andra resultat inkluderar att varje icke-dissipativt ergodiskt system motsvarar Markov-vägmätaren, ibland kallad en ”tilläggsmaskin” eftersom det ser ut som grundskolans tillägg, det vill säga att ta en bas-n-siffrig sekvens, lägga till en och sprida bärbitarna. Beviset på ekvivalens är mycket abstrakt; att förstå resultatet är inte: genom att lägga till ett vid varje steg, besöks alla möjliga tillstånd av kilometertelleren tills den rullar över och börjar igen. På samma sätt besöker ergodiska system varje stat, enhetligt och går vidare till nästa, tills de alla har besökts.

system som genererar (oändliga) sekvenser av N-bokstäver studeras med hjälp av symbolisk dynamik. Viktiga specialfall inkluderar subshifts av ändlig typ och sofic-system.

Ergodicitet i fysikredigera

fysiska system kan delas in i tre kategorier: klassisk mekanik, som beskriver maskiner med ett begränsat antal rörliga delar, kvantmekanik, som beskriver atomernas struktur och statistisk mekanik, som beskriver gaser, vätskor, fasta ämnen; detta inkluderar kondenserad materiens fysik. Fallet med klassisk mekanik diskuteras i nästa avsnitt, om ergodicitet i geometri. När det gäller kvantmekanik, även om det finns en uppfattning om kvantkaos, finns det ingen tydlig definition av ergodocity; vad detta kan vara diskuteras varmt. Detta avsnitt granskar ergodicitet i statistisk mekanik.

ovanstående abstrakta definition av en volym krävs som lämplig inställning för definitioner av ergodicitet i fysik. Tänk på en behållare med vätska, gas eller plasma eller annan samling av atomer eller partiklar. Varje partikel x i {\displaystyle x_{i}}

har en 3D-position och en 3D-hastighet och beskrivs således med sex siffror: en punkt i sexdimensionellt utrymme R 6 . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6}.}

om det finns N {\displaystyle N}

av dessa partiklar i systemet kräver en fullständig beskrivning 6 n {\displaystyle 6N}

siffror. Varje system är bara en enda punkt i R 6 N . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}.}

det fysiska systemet är inte alla R 6 n {\displaystyle \ mathbb {R} ^{6N}}

, förstås; om det är en låda med bredd, höjd och längd W. C. H. C. l {\displaystyle W\times H\times l}

då är en punkt i ( W. C. C. C. L. C. R 3 ) N . {\displaystyle (W \ gånger H \ gånger L \ gånger \ mathbb {R} ^{3})^{N}.}

inte heller kan hastigheter vara oändliga: de skalas av en viss sannolikhetsmått, till exempel Boltzmann–Gibbs-måttet för en gas. Inget mindre, för N {\displaystyle N}

nära Avogadros nummer är detta uppenbarligen ett mycket stort utrymme. Detta utrymme kallas det kanoniska ensemblet.

ett fysiskt system sägs vara ergodiskt om någon representativ punkt i systemet så småningom kommer att besöka hela volymen av systemet. För ovanstående exempel innebär detta att en given atom inte bara besöker varje del av rutan W Exporbl l {\displaystyle W \ times H \ times L}

med enhetlig sannolikhet, men det gör det med alla möjliga hastigheter, med sannolikhet som ges av Boltzmann-fördelningen för den hastigheten (så enhetlig med avseende på den åtgärden). Den ergodiska hypotesen säger att fysiska system faktiskt är ergodiska. Flera tidsskalor är på jobbet: gaser och vätskor verkar vara ergodiska över korta tidsskalor. Ergodicitet i ett fast ämne kan ses i termer av vibrationslägen eller fononer, eftersom uppenbarligen atomerna i ett fast ämne inte utbyter platser. Glasögon utgör en utmaning för den ergodiska hypotesen; tidsskalor antas vara i miljoner år, men resultaten är omtvistade. Spinnglasögon uppvisar särskilda svårigheter.

formella matematiska bevis på ergodicitet i statistisk fysik är svåra att få tag på; de flesta högdimensionella många kroppssystem antas vara ergodiska utan matematiska bevis. Undantag inkluderar den dynamiska biljard, vilken modell biljardboll-typ kollisioner av atomer i en idealisk gas eller plasma. Den första ergodicitetssatsen för hård sfär var för Sinais biljard, som betraktar två bollar, en av dem som stillastående, vid ursprunget. När den andra bollen kolliderar rör den sig bort; tillämpar periodiska gränsvillkor återgår den sedan till att kollidera igen. Genom att vädja till homogenitet kan denna återkomst av den” andra ”bollen istället anses vara” bara en annan atom ”som har kommit inom räckhåll och rör sig för att kollidera med atomen vid ursprunget (som kan anses vara bara”någon annan atom”. Det finns inga likvärdiga uttalanden, t.ex. för atomer i en vätska, som interagerar via van der Waals-krafter, även om det skulle vara sunt förnuft att tro att sådana system är ergodiska (och blandning). Mer exakta fysiska argument kan dock göras.

Ergodicitet i geometriedit

Ergodicitet är ett vidsträckt fenomen i studien av Riemanniska grenrör. En snabb sekvens av exempel, från enkla till komplicerade, illustrerar denna punkt. Alla system som nämns nedan har visat sig vara ergodiska via rigorösa formella bevis. En cirkels irrationella rotation är ergodisk: en punkts bana är sådan att så småningom besöks alla andra punkter i cirkeln. Sådana rotationer är ett speciellt fall av intervallutbyteskartan. Beta-utvidgningarna av ett antal är ergodiska: betautvidgningar av ett reellt tal görs inte i base-N, utan i base-2 {\displaystyle \ beta }

för vissa GHz. {\displaystyle \ beta .}

den reflekterade versionen av beta-expansionen är tältkarta; det finns en mängd andra ergodiska kartor över enhetsintervallet. Flytta till två dimensioner, aritmetiska biljard med irrationella vinklar är ergodiska. Man kan också ta en platt rektangel, squash den, klippa den och montera den igen; detta är den tidigare nämnda baker ’ s map. Dess punkter kan beskrivas med uppsättningen bi-oändliga strängar i två bokstäver, det vill säga sträcker sig till både vänster och höger; som sådan ser det ut som två kopior av Bernoulli-processen. Om man deformeras i sidled under squashing, får man Arnolds kattkarta. På de flesta sätt är kattkartan prototypisk för någon annan liknande transformation.

för icke-plana ytor har man att det geodetiska flödet av någon negativt krökt kompakt Riemann-yta är ergodisk. En yta är ”kompakt” i den meningen att den har ändlig yta. Det geodetiska flödet är en generalisering av tanken att röra sig i en ”rak linje” på en krökt yta: sådana raka linjer är geodetik. Ett av de tidigaste fallen som studerats är hadamards biljard, som beskriver geodetik på Bolza-ytan, topologiskt ekvivalent med en munk med två hål. Ergodicitet kan demonstreras informellt, om man har en sharpie och ett rimligt exempel på en tvåhålad munk: börjar var som helst, i vilken riktning som helst, försöker man rita en rak linje; linjaler är användbara för detta. Det tar inte så lång tid att upptäcka att man inte kommer tillbaka till utgångspunkten. (Naturligtvis kan krokig ritning också redogöra för detta; det är därför vi har bevis.)

dessa resultat sträcker sig till högre dimensioner. Det geodetiska flödet för negativt böjda kompakta Riemanniska grenrör är ergodiskt. Ett klassiskt exempel på detta är Anosovflödet, vilket är horocykelflödet på ett hyperboliskt grenrör. Detta kan ses som en slags Hopf-fibrering. Sådana flöden förekommer vanligen i klassisk mekanik, vilket är studiet i fysik av finita-dimensionella rörliga maskiner, t. ex. den dubbla pendeln och så vidare. Klassisk mekanik är konstruerad på symplektiska grenrör. Flödena på sådana system kan dekonstrueras till stabila och instabila grenrör; som en allmän regel, när detta är möjligt, resulterar kaotisk rörelse. Att detta är generiskt kan ses genom att notera att cotangentbunten av ett Riemannian–grenrör är (alltid) ett symplektiskt grenrör; det geodetiska flödet ges av en lösning på Hamilton-Jacobi-ekvationerna för detta grenrör. När det gäller de kanoniska koordinaterna (q, p) {\displaystyle (q, p)}

på cotangent-grenröret ges Hamiltonian eller energi av H = 1 2 kg i j G I j (q ) p I P j {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}} \ sum _{ij}g^{IJ}(q)p_{i}p_{j}}

med g I j {\displaystyle G^{ij}}

den (inversa av) metriska tensor och p I {\displaystyle P_{i}}

momentum. Likheten med den kinetiska energin E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

av en punktpartikel är knappast oavsiktlig; detta är hela poängen att kalla sådana saker ”energi”. I detta avseende är kaotiskt beteende med ergodiska banor ett mer eller mindre generiskt fenomen i stora områden av geometri.

Ergodicitetsresultat har tillhandahållits i översättningsytor, hyperboliska grupper och systolisk geometri. Tekniker inkluderar studier av ergodiska flöden, Hopf–sönderdelningen och Ambrose–Kakutani–Krengel-Kubo-satsen. En viktig klass av system är Axiom a-systemen.

ett antal både klassificerings-och ”antiklassificeringsresultat” har erhållits. Ornstein-isomorfismsatsen gäller också här; återigen står det att de flesta av dessa system är isomorfa för något Bernoulli-schema. Detta binder ganska snyggt dessa system tillbaka till definitionen av ergodicitet som ges för en stokastisk process, i föregående avsnitt. Antiklassificeringsresultaten anger att det finns mer än ett oändligt antal ojämlika ergodiska mätbevarande dynamiska system. Det här är kanske inte helt en överraskning, eftersom man kan använda punkter i Cantor-uppsättningen för att konstruera liknande men olika system. Se mätbevarande dynamiskt system för en kort undersökning av några av antiklassificeringsresultaten.

Historisk utvecklingRedigera

tanken om ergodicitet föddes inom termodynamikområdet, där det var nödvändigt att relatera de enskilda tillstånden av gasmolekyler till temperaturen hos en gas som helhet och dess tidsutveckling därav. För att göra detta var det nödvändigt att ange vad exakt det betyder för gaser att blanda väl ihop, så att termodynamisk jämvikt kunde definieras med matematisk rigor. När teorin var väl utvecklad i fysiken formaliserades den snabbt och utvidgades, så att ergodisk teori länge varit ett självständigt matematikområde i sig. Som en del av den utvecklingen samexisterar mer än en något annorlunda definition av ergodicitet och mängder av tolkningar av konceptet inom olika områden.

till exempel i klassisk fysik innebär termen att ett system uppfyller den ergodiska hypotesen om termodynamik, det relevanta tillståndsutrymmet är position och momentumutrymme. I dynamiska systemteori anses tillståndsutrymmet vanligtvis vara ett mer allmänt fasutrymme. Å andra sidan i kodningsteori är tillståndsutrymmet ofta diskret i både tid och tillstånd, med mindre samtidig struktur. På alla dessa områden kan ideerna om tidsgenomsnitt och ensemblegenomsnitt också bära extra bagage—vilket är fallet med de många möjliga termodynamiskt relevanta partitionsfunktionerna som används för att definiera ensemblegenomsnitt i fysik, tillbaka igen. Som sådan tjänar åtgärden teoretisk formalisering av konceptet också som en förenande disciplin.

Etymologiedit

termen ergodisk tros ofta härledas från de grekiska orden Bisexuell (Ergon: ”arbete”) och bisexuell (Hodos: ”väg”, ”väg”), som valts av Ludwig Boltzmann medan han arbetade med ett problem inom statistisk mekanik. Samtidigt påstås det också vara en härledning av ergomonode, myntad av Boltzmann i ett relativt dunkelt papper från 1884. Etymologin verkar också ifrågasättas på andra sätt.