5.1 introduktion
fluidmekanik i allmänhet och gränsskikt i synnerhet är matematiskt komplexa. Sådan komplexitet ibland inte bara avancerar studier och förståelse av vätskor, men också avancerar tillämpad matematik disciplin. Matematik fortsätter att möjliggöra välbehövliga slutsatser från flera discipliner. För detta ändamål fortsätter många matematiker att ge betydande bidrag till disciplinen för vätskedynamik.
Gränsskiktsproblem innebär en snabb förändring av värdet på en fysisk variabel över ett begränsat område i rymden, och de utgör en viss klass av singulära störningsproblem. I detta avseende involverar nästan alla gränsskiktsproblem differentialekvationer där den högsta derivattermen multipliceras med en liten parameter. Också, gränsskiktet alltid betraktas som semiinfinite, den främsta orsaken är frihet från att behöva överväga slutgräns effekter där alla imponderables och tänkbara kan förväntas. Med tanke på en oändlig yta kan det vara så svårt att distrahera från undersökningens huvudintresse i första hand. Som sagt, det finns inget som förbjuder den yngre generationen forskare att konfrontera detta problem, med tanke på deras fördel av exponering för relativt större kunskap än tidigare generationer.
Hydro – eller vätskedynamik styrs av icke-linjära partiella differentialekvationer (PDE), som är mycket svåra att lösa analytiskt. Så vitt vi vet finns ingen allmän sluten lösning på dessa ekvationer. Gränsskiktets styrande ekvationer baseras främst på en förenkling av systemet för andra ordningens icke-linjära partiella differentialekvationer (PDE), som är kända som Navier–Stokes (NS) rörelseekvationer för viskösa flöden. Förenklingen som Prandtl erbjöd 1908 kallas generellt Prandtl – gränsskikt (PBL) ekvationer. Till skillnad från ns-ekvationerna, som är elliptiska, är gränsskiktsekvationer paraboliska i naturen, och teknikerna som används för att lösa dem är baserade på likhetslagarna i gränsskiktflöden.
tre primära metoder kan användas för att lösa gränsskiktsproblem: likhets-eller differentialmetoden (vanligaste metoden), integralmetoden och den fullständiga numeriska lösningsmetoden . Många speciella fall av icke-linjära PDE har lett till lämpliga förändringar i variabler eller sträcktransformationer, beroende på vilken uppgift de är avsedda att utföra. Vissa transformationer linjäriserar systemet med ekvationer som behandlas, medan andra omvandlar systemet till ett för vilket en lösning finns. Transformationerna som reducerar ett system av PDE till ett system med vanliga differentialekvationer (Ode) genom att utnyttja en inneboende symmetri av problemet betraktas ofta som ”likhetstransformationer.”Likhetsmetoden är den ursprungliga Blasius-metoden som utvecklades för att lösa gränsskiktsproblem analytiskt. Blasius introducerade och använde en oberoende variabel som kallades likhetsvariabeln till Prandtls gränsskiktsekvationer . Detta baserades på förutsättningen att hastigheten är geometriskt lika längs flödesriktningen, där bevarande PDE omvandlas till Ode. Likhetstransformationen fångar gränsskiktets tillväxt och förenklar avsevärt analysen och lösningen av de styrande ekvationerna. Upptäckten av en likhetsvariabel som är lämplig för omvandlingen att äga rum är en konst snarare än en vetenskap, och det kräver att man har goda insikter i problemet. Antalet oberoende variabler i PDE: erna omvandlas noggrant till en enda oberoende variabel (känd som likhetsvariabeln). De ursprungliga initiala randvillkoren omvandlas också lika till lämpliga randvillkor i den nya kombinerade variabeln.
likhetstransformationstekniken är ett oumbärligt verktyg för analys av flytande mekaniskt beteende i allmänhet och särskilt gränsskiktsprocesser. Asymptotiska tekniker tillåter oss att göra enkla ett komplext system, som sedan ger en upplyst form av empirism som vi kallar likhet. Flera metoder och tillvägagångssätt har utvecklats för att hitta likhetsvariabler, till exempel Vaschy–Buckingham Pi-satsen . Det mest rigorösa och systematiska sättet att hitta likhetsvariabler är baserat på Lie-gruppen av transformationer . Utgångspunkten för Lie-group-metoden är att varje variabel i den initiala ekvationen utsätts för en oändlig transformation. Kravet på att ekvationen är invariant under dessa omvandlingar leder till bestämning av potentiella eller möjliga symmetrier. Detta tillvägagångssätt har rutinmässigt tillämpats på gränsskiktsekvationer. Apropos gränsskiktsteori, författarna till gav en omfattande redogörelse för klassiska metoder, inklusive flera möjliga resultat beroende på perspektivet på problemet som ska lösas. De Clarkson-Krustal direkt metod, som används för att hitta likhetsminskningar, användes i till ostadiga gränsskiktsekvationer. Det är viktigt att notera att likhetsvariabeln som hittats inte är unik eller märklig för endast ett problem; det kan tillämpas på andra liknande problem där det är lämpligt. Vidare diskuterade Hansen metoden” stretchingvariabel ” som används för att hitta likhetstransformationer. Sammantaget reducerar likhetsproblem de ursprungliga PBL-ekvationerna till en form som är invariant med avseende på affina transformationer. Det lokala flödesfältet löses sedan genom analytiska / numeriska lösningar av PDE: erna som styr gränsskiktet. Karakteristiskt ger hastighetsprofilerna för gränsskiktflöden en serie homotetiska kurvor och tomter. Varför är de vanligtvis homotetiska? När det gäller hastighetsprofilen, till exempel, normaliserar vi med uu bisexuell och detta tenderar att eller närmar sig enhet. På samma sätt, när det gäller temperaturprofilen, normaliserar vi med freestream−temperatur, eller t-t bisexuell, och detta tenderar att eller närmar sig noll. Integrerade metoder, i ett annat avseende, ger lösningar i sluten form genom att anta en profil av hastighet, temperatur och koncentrationsmassaöverföring. Det innebär integration av ekvationerna från väggen till fri ström, vilket ger en övergripande prestanda som inkluderar tillväxten av gränsskiktet. Slutligen använder den fullständiga numeriska metoden väl beprövade numeriska system och praktiska simuleringskoder med höghastighetsdatorer för att lösa flera gränsskiktsproblem.
det bör påpekas att vissa studier i litteraturen diskuterar deras resultat som exakta lösningar. Försiktighet i detta avseende är viktigt. I allmänhet, när vi talar om ”exakta lösningar” av grundläggande ekvationer, såsom NS-ekvationerna, och detta kan vara de fullständiga NS-ekvationerna eller någon av deras approximerade former, så länge de erhållna lösningarna erhållna med någon teknik verkligen är så exakta som de kommer, det vill säga det finns ingen bättre lösning. Exaktheten hänvisar till lösningen av ekvationen själv. Om ekvationen i fråga har varit en approximation av en mer robust ekvation, bör påståendet om exakthet av lösningen endast vara den ungefärliga lösningen.