Laddningsbärartäthet

bärartätheten är viktig för halvledare, där det är en viktig mängd för processen med kemisk dopning. Med hjälp av bandteori, elektrondensiteten, n 0 {\displaystyle n_{0}}

är antalet elektroner per volymenhet i ledningsbandet. För hål, p 0 {\displaystyle p_{0}}

är antalet hål per volymenhet i valensbandet. För att beräkna detta antal för elektroner börjar vi med tanken att den totala densiteten hos ledningsbandelektroner, n 0 {\displaystyle n_{0}}

, lägger bara upp ledningselektrondensiteten över de olika energierna i bandet, från botten av bandet E c {\displaystyle e_{c}}

till toppen av bandet E T o p {\displaystyle e_{top}}

. n 0 = 2072 > {\displaystyle n_{0}=\int \limits _{e_{c}}^{e_{top}}N(e ) de}

eftersom elektroner är fermioner, densiteten hos ledningselektroner vid någon särskild energi, N (e) {\displaystyle N (E)}

är produkten av tillståndets densitet, g (e) {\displaystyle g(E)}

eller hur många ledande tillstånd som är möjliga, med Fermi–Dirac-distributionen, f (E ) {\displaystyle f (E)}

som berättar för oss den del av de stater som faktiskt kommer att ha elektroner i” dem ” N ( e ) = g (e) f(e ) {\displaystyle N(E)=g (E)f (E)}

för att förenkla beräkningen, istället för att behandla elektronerna som fermioner, enligt Fermi–Dirac-fördelningen, behandlar vi dem istället som en klassisk icke–interagerande gas, som ges av Maxwell-Boltzmann-distributionen. Denna approximation har försumbara effekter när magnituden / E-E f / cu k B t {\displaystyle / E-e_{f} / \ gg k_{B}T}

, vilket är sant för halvledare nära rumstemperatur. Denna approximation är ogiltig vid mycket låga temperaturer eller ett extremt litet bandgap. f (E) = 1 1 + e e − e f k t e − (e-e f) k b t {\displaystyle f (E) = {\frac {1}{1 + e^{\frac {e-e_{f}}{kT}}} \ ca e^{\frac {- (E-e_{f})} {k_{b}T}}}

den tredimensionella densiteten hos stater är:

g (e) = 1 2 2 msk 2 ( 2 m 2 msk) 3 2 0 {\displaystyle G (E)={\frac {1} {2\pi ^ {2}}}\vänster ({\frac {2m ^ {*}} {\hbar ^ {2}}}\höger)^{\frac {3} {2}} {\sqrt {e-E_{0}}}}

efter kombination och förenkling leder dessa uttryck till:

n 0 = 2 (m ci k B T 2 Ci 2) 3 / 2 {\displaystyle n_ {0}=2\vänster ({\frac {m ^ {*} k_ {B} T} {2\pi \ hbar ^ {2}}}\höger)^{3/2}}

e − (E c-E f ) k b t {\displaystyle E^{\frac {- (e_{c}-e_{f})}{k_{B}T}}}

ett liknande uttryck kan härledas för hål. Bärarkoncentrationen kan beräknas genom att behandla elektroner som rör sig fram och tillbaka över bandgapet precis som jämvikten i en reversibel reaktion från kemi, vilket leder till en elektronisk massaktionslag. Massåtgärdslagen definierar en kvantitet n i {\displaystyle n_{i}}

kallas den inneboende bärarkoncentrationen, som för odopade material: n i = n 0 = p 0 {\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}

följande tabell visar några värden för den inneboende bärarkoncentrationen för inneboende halvledare.

dessa bärarkoncentrationer kommer att förändras om dessa material dopas. Till exempel kommer dopning av rent kisel med en liten mängd fosfor att öka bärartätheten hos elektroner, n. sedan, sedan n > p, kommer det dopade kislet att vara en extrinsisk halvledare av N-typ. Dopning av rent kisel med en liten mängd bor ökar hålens bärartäthet, så då p > n, och det kommer att vara en p-typ extrinsisk halvledare.