här är några grundläggande definitioner och egenskaper hos linjer och vinklar i geometri. Dessa begrepp testas i många konkurrenskraftiga inträdesprov som GMAT, GRE, CAT.
linjesegment: ett linjesegment har två slutpunkter med en bestämd längd.
stråle: en stråle har en slutpunkt och sträcker sig oändligt i en riktning.
rak linje: En rak linje har varken start-eller slutpunkt och har oändlig längd.
spetsig vinkel: vinkeln som är mellan 0 och 90 är en spetsig vinkel .
trubbig vinkel: vinkeln som är mellan 90 och 180 är en trubbig vinkel.
rät vinkel: vinkeln som är 90 kg är en rät vinkel, C enligt nedan.
rak vinkel: Den vinkel som är 180 GHz är en rak vinkel, AOB i figuren nedan.
tilläggsvinklar:
i figuren ovan, AOC + COB = 180 + 1032>
om summan av två vinklar är 180 kallas vinklarna tilläggsvinklar.
två rätvinklar kompletterar alltid varandra.
paret av intilliggande vinklar vars summa är en rak vinkel kallas ett linjärt par.
kompletterande vinklar:
∠COA + ∠AOB = 90°
Om summan av två vinklar är 90° och sedan två vinklar kallas kompletterande vinklar.
intilliggande vinklar:
vinklarna som har en gemensam arm och ett gemensamt vertex kallas intilliggande vinklar.
i figuren ovan är boa-och AOC-värdena för acuc och acuc angränsande vinklar. Deras gemensamma arm är OA och gemensamma vertex är ’O’.
vertikalt motsatta vinklar:
när två linjer skär varandra kallas vinklarna som bildas mittemot varandra vid skärningspunkten (vertex) vertikalt motsatta vinklar.
i figuren ovan är
x och y två skärande linjer.
a och C gör ett par vertikalt motsatta vinklar och 3032>
B och d gör ytterligare ett par vertikalt motsatta vinklar.
vinkelräta linjer: när det finns en rät vinkel mellan två linjer sägs linjerna vara vinkelräta mot varandra.
här sägs linjerna OA och OB vara vinkelräta mot varandra.
parallella linjer:
här är A och B två parallella linjer, korsade av en linje p.
linjen p kallas en tvärgående, den som skär två eller flera linjer (inte nödvändigtvis parallella linjer) vid distinkta punkter.
som framgår av figuren ovan, när en tvärgående skär två linjer, bildas 8 vinklar.
låt oss betrakta detaljerna i en tabellform för enkel referens.
| Types of Angles | Angles |
| Interior Angles | ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 |
| Exterior Angles | ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 |
| Vertically opposite Angles | (∠1, ∠3), (∠2, ∠4), (∠5, ∠7), (∠6, ∠8) |
| Corresponding Angles | (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8) |
| Interior Alternate Angles | (∠3, ∠5), (∠4, ∠6) |
| Exterior Alternate Vinklar | (∠1, ∠7), (∠2, ∠8) |
| inre vinklar på samma sida av tvärgående | (∠3, ∠6), (∠4, ∠5) |
när en tvärgående skär två parallella linjer,
- motsvarande vinklar är lika.
- de vertikalt motsatta vinklarna är lika.
- de alternativa inre vinklarna är lika.
- de alternativa yttre vinklarna är lika.
- paret av inre vinklar på samma sida av tvärgående är kompletterande.
vi kan säga att linjerna är parallella om vi kan verifiera minst ett av de ovan nämnda villkoren.
Låt oss ta en titt på några exempel.
lösta exempel
exempel 1. Om linjerna m och n är parallella med varandra, bestäm sedan vinklarna 6-5 och 7 7.
lösning:
att bestämma ett par kan göra det möjligt att hitta alla andra vinklar. Följande är ett av de många sätten att lösa denna fråga.
∠2 = 125°
∠2 = ∠4 eftersom de är vertikalt motsatta vinklar.
Därför, ∠4 = 125°
∠4 är en av de inre vinklarna på samma sida av tvärgående.
Därför, ∠4 + ∠5 = 180°
125 + ∠5 = 180 → ∠5 = 180 – 125 = 55°
∠5 = ∠7 sedan vertikalt motsatta vinklar.
Därför, ∠5 = ∠7 = 55°
ibland kan linjernas parallella egenskap inte nämnas i problemdeklarationen och linjerna kan tyckas vara parallella med varandra; men de kan inte vara det. Det är viktigt att avgöra om två linjer är parallella genom att verifiera vinklarna och inte genom utseende.
exempel 2. Om a = 120 och h = 60. Bestäm om linjerna är parallella.
lösning:
givet att A = 120 och h = 60.60.
eftersom intilliggande vinklar är tilläggsvinklar, A + B = 180°
120 + ∠B = 180 kg B = 60 kg.
med tanke på att h = 60 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx. Vi kan se att b och h är yttre alternativa vinklar.
när yttre alternativa vinklar är lika är linjerna parallella.
därför är linjerna p och q parallella.
vi kan verifiera detta med andra vinklar.
om H = 60, E = 120, eftersom dessa två är på en rak linje, är de kompletterande.
Nu, A = A = 120 A = 120. A och e är motsvarande vinklar.
när motsvarande vinklar är lika är linjerna parallella.
på samma sätt kan vi bevisa att vi använder andra vinklar också.
exempel 3. Om p och q är två linjer parallella med varandra och 20 e = 50 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx, hitta alla vinklar i figuren nedan.
lösning:
det ges 20 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx.
de två linjerna är parallella
Brasilien motsvarande vinklar är lika.
eftersom E och A är motsvarande vinklar är a = 50 .
Brasilien de vertikalt motsatta vinklarna är lika.
eftersom A och C är vertikalt motsatta varandra, C = 50.
eftersom E och g är vertikalt motsatta varandra, är G = 50.
POV de inre vinklarna på samma sida av tvärbalken är kompletterande.
E + D = 180 50 + D =180 D = 130°
→ ∠d och B i b är vertikalt motsatta vinklar. Så B = 130 Xnumx Xnumx Xnumx Xnumx.