tre dimensionerredigera
Rymdkurva i 3D. positionsvektorn r parametriseras av en skalär t. vid r = A är den röda linjen tangenten till kurvan och det blå planet är normalt för kurvan.
i tre dimensioner kan varje uppsättning tredimensionella koordinater och deras motsvarande basvektorer användas för att definiera platsen för en punkt i rymden—beroende på vilket som är det enklaste för uppgiften till hands kan användas.
vanligtvis använder man det välbekanta kartesiska koordinatsystemet, eller ibland sfäriska polära koordinater eller cylindriska koordinater:
r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t) ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{anpassas}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t) (\mathbf {\hat {e}} _{r}{\stor (}\theta (t),\phi (t){\stor )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t) (\mathbf {\hat {e}} _{r}{\stor (}\theta (t){\stor )} + z (t) \mathbf {\hat {E}} _{z},\\ \ end{aligned}}}
där t är en parameter på grund av deras rektangulära eller cirkulära symmetri. Dessa olika koordinater och motsvarande basvektorer representerar samma positionsvektor. Mer allmänna krökta koordinater kan användas istället och finns i sammanhang som kontinuummekanik och allmän relativitet (i det senare fallet behöver man ytterligare en tidskoordinat).
n dimensionsEdit
linjär algebra möjliggör abstraktion av en n-dimensionell positionsvektor. En positionsvektor kan uttryckas som en linjär kombination av basvektorer:
r = 1 x 1 x 1 + 2 x 2 + 2 + x x x n. {\displaystyle \ mathbf {r} = \ summa _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i} = x_{1}\mathbf {e} _ {1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
uppsättningen av alla positionsvektorer bildar positionsutrymme (ett vektorutrymme vars element är positionsvektorerna), eftersom positioner kan läggas till (vektortillägg) och skalas i längd (skalär multiplikation) för att erhålla en annan positionsvektor i utrymmet. Begreppet” rymd ” är intuitivt, eftersom varje xi (i = 1, 2, …, n) kan ha något värde, definierar värdesamlingen en punkt i rymden.
dimensionen av positionsutrymmet är n (även betecknad dim (R) = n). Koordinaterna för vektorn r med avseende på basvektorerna ei är xi. koordinatvektorn bildar koordinatvektorn eller n-tuple (x1, x2, …, xn).
varje koordinat xi kan parametreras ett antal parametrar t. En parameter xi(t) skulle beskriva en krökt 1D-bana, två parametrar xi(t1, t2) beskriver en krökt 2D-yta, tre xi (T1, t2, t3) beskriver en krökt 3D-volym av rymden och så vidare.
det linjära spännvidden för en basuppsättning B = {e1, e2,…, en} är lika med positionsutrymmet R, betecknat span(B) = R.