när du använder matematiska symboler för att beskriva Riemann zeta funktion, det representeras som en oändlig serie:
{\displaystyle \ zeta (s)=\sum _{n = 1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\quad \mathrm {Re} (s)>1.}
där R e (s) {\displaystyle \ mathrm {Re} (s)}
är den verkliga delen av det komplexa talet s {\displaystyle s}
. Till exempel, om s = a + i b {\displaystyle s=a+ib}
, då R e ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a}
(där jag 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
).
detta gör en sekvens. De första termerna i denna sekvens skulle vara
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s … {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}\ldots }
och så vidare
detta gäller dock inte för siffror där r e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {re} (s)<1}
, eftersom om vi tolkar denna funktion som en oändlig summa, konvergerar summan inte. Istället avviker det. Det betyder att istället för att närma sig ett visst värde blir det oändligt stort. Riemann använde analytisk fortsättning, så att han kunde ge ett värde till alla siffror utom 1. ( 1) {\displaystyle \ zeta (1)}
representerar den harmoniska serien, som avviker, vilket innebär att summan inte nära något specifikt tal.
Leonhard Euler upptäckte de första resultaten om serien som denna funktion representerar under artonhundratalet. Han bevisade att Zeta-funktionen kan skrivas som en oändlig produkt av primtal. I matematisk notation:
SAC ( s) = sac p / prime 1 1-p-s {\displaystyle \ zeta (s)=\prod _{p / {\text {prime}}} {\frac {1}{1-p^{- s}}}}
