on monia asioita, jotka eivät ole reaalilukuja. Ehkä mielenkiintoisin kysymys on ” mitä numeroita on olemassa, jotka eivät ole todellisia lukuja?”
(1) kompleksiluvut.
yksinkertaisin ja luonnollisin reaalilukujen laajennus on lisätä #i = sqrt (-1)# ja kaikki muu sen täydentämiseen tarvittava niin sanottuna kenttänä – suljettu yhteen -, vähennys -, kerto-ja jakolaskun mukaan muilla kuin nollaluvuilla.
itse asiassa #CC# on jossain mielessä paljon luonnollisempi kuin #RR#.
jotkut asiat kuten Taylorin lause käyttäytyvät paljon paremmin.
(2) Kvaternioita.
jos pudotat vaatimuksen, että kertolasku on kommutatiivinen, niin sen sijaan, että vain yksi pari #+-i# neliöjuurista on #-1#, saat 3 paria, joita kutsutaan #+-i#, #+- j# ja #+-k#. Joitakin ominaisuuksia näistä ovat: #ij = k#, #ji = -k#, #jk = i#, #kj = – i# jne.
(3) Yksi kompleksinen äärettömyys.
Kuvittele pallo, joka istuu kompleksitason alkulähteellä. Koska jokin piste #z# kompleksitasolla, piirretään viiva pallon yläosasta pisteen #z#kautta. Tämä leikkaa pallon pinnan jossain muussa pisteessä kuin yläosassa. Jos käytät tätä pistettä pallon pinnalla edustamaan lukua #z#, niin olet määrittänyt yhden – yhden kartoituksen kompleksitason kaikkien pisteiden ja kaikkien pallopinnan pisteiden välille-paitsi yläosan. Soita alkuun #oo# ja anna #CC_oo# tarkoittaa #CC uu {oo}#.
tämä on yksinkertainen esimerkki niin sanotusta Riemannin pinnasta. Funktiot kuten #f (z) = (az+b)/(cz+d)# voidaan sitten määritellä arvoksi #oo# kun #cz + d = 0# ja #f (oo)# voidaan määritellä arvoksi #a/c#. Tällöin saatu #f(z)# määritelmä on jatkuva ja äärettömän differentioituva kaikissa pisteissä #CC_oo#. Sillä on myös ominaisuus, että se kartoittaa ympyrät ympyröiksi (mukaan lukien #oo#: n kautta kulkevat).
(4) ympyrä äärettömyydessä.
sen sijaan, että projisoitaisiin pallon huipulta, projekti keskeltä. Tämä määrittää kartoituksen #CC#: n ja avoimen alemman puolipallon pinnan välillä. Kun lisätään päiväntasaaja, syntyy äärettömien rengas, jossa on eri napakulmat. Reaaliviivaa vastaavat ovat #+oo# ja # – oo#, mutta on olemassa ainutlaatuinen kompleksinen inifiniteetti #oo (cos theta + i sin theta)# kaikille #theta in [0, 2pi)#.
(5) äärettömän pieni.
asteikon toisessa päässä, mitä tapahtuu, jos yrittää lisätä äärettömän pieniä lukuja. Sinä voit. Se on yleensä hieman sotkuinen ja ei yleensä rikkoa erilaisia asioita, mutta se voi olla hyödyllistä.
(6) äärelliset kentät.
(7) renkaita.