der er mange ting, der ikke er reelle tal. Måske er det mest interessante spørgsmål ” hvilke tal er der, der ikke er reelle tal?”
(1) komplekse tal.
den enkleste og mest naturlige udvidelse af de reelle tal er at tilføje #i = KVRT(-1)# og alt andet, der kræves for at fuldføre det som det, der kaldes et felt – lukket under addition, subtraktion, multiplikation og division med ikke-nul tal.
faktisk er #CC# i en vis forstand meget mere naturlig end #RR#.
nogle ting som Taylors sætning opfører sig meget bedre.
(2) Kvaternioner.
hvis du taber kravet om, at multiplikation er kommutativ, så i stedet for kun et par #+-i# af firkantede rødder af #-1# får du 3 par kaldet #+-i#, #+- j# og #+-k#. Nogle egenskaber ved disse er: #IJ = k#, #ji = -k#, #jk = i#, #kj = -i# osv.
(3) enkelt kompleks uendelighed.
Forestil dig en kugle, der sidder på det komplekse planes Oprindelse. I betragtning af ethvert punkt # å # på det komplekse plan skal du tegne en linje fra toppen af kuglen gennem punktet #å#. Dette skærer kuglens overflade på et andet tidspunkt end toppen. Hvis du bruger dette punkt på overfladen af kuglen til at repræsentere tallet #Å# så har du defineret en en-en kortlægning mellem alle punkter i det komplekse plan og alle punkter på overfladen af kuglen – undtagen toppen. Ring til toppen #oo# og lad # CC_oo # stå for # CC uu {oo}#.
dette er et simpelt eksempel på, hvad der kaldes en Riemann overflade. Funktioner som #f (å) = (å+b)/(å+d)# kan derefter defineres som at tage værdien #oo# når #å + d = 0# og #f (oo)# kan defineres som #a/c#. Derefter er den resulterende #f(å)# definition kontinuerlig og uendeligt differentierbar på alle punkter i #CC_oo#. Det har også den egenskab, at det kortlægger cirkler til cirkler (herunder dem, der passerer gennem #oo#).
(4) cirkel ved uendelig.
i stedet for projekt fra toppen af kuglen, projekt fra centrum. Dette definerer en kortlægning mellem # CC# og den åbne nedre halvkugleformede overflade. Tilføj ækvator, og du har en ring af uendeligheder med forskellige polære vinkler. Dem, der svarer til den rigtige linje, er # + oo# og # – oo#, men der er en unik kompleks inifinity #oo(cos theta + i sin theta)# for alle #theta i [0, 2pi)#.
(5) uendelige.
i den anden ende af skalaen, hvad sker der, hvis du forsøger at tilføje uendeligt små tal. Godt du kan. Det er generelt lidt rodet og har tendens til at bryde forskellige ting, men det kan være nyttigt.
(6) endelige felter.
(7) ringe.