Il y a beaucoup de choses qui ne sont pas des nombres réels. La question la plus intéressante est peut-être « quels sont les nombres qui ne sont pas des nombres réels? »
(1) Nombres complexes.
L’extension la plus simple et la plus naturelle des nombres réels consiste à ajouter #i = sqrt(-1) # et tout le reste nécessaire pour le compléter comme ce qu’on appelle un champ fermé sous addition, soustraction, multiplication et division par des nombres non nuls.
En fait #CC # est en quelque sorte beaucoup plus naturel que #RR #.
Certaines choses comme le théorème de Taylor se comportent beaucoup mieux.
(2) Quaternions.
Si vous supprimez l’exigence selon laquelle la multiplication est commutative, au lieu d’une seule paire #+-i # de racines carrées de #-1 #, vous obtenez 3 paires appelées # +-i #, #+-j # et #+-k #. Certaines de ces propriétés sont : #ij = k #, #ji =-k #, #jk =i #, #kj =-i #, etc.
(3) Infini complexe unique.
Imaginez une sphère assise à l’origine du plan complexe. Étant donné n’importe quel point #z # sur le plan complexe, tracez une ligne du haut de la sphère à travers le point #z #. Cela coupera la surface de la sphère en un point autre que le sommet. Si vous utilisez ce point sur la surface de la sphère pour représenter le nombre #z # alors vous avez défini un mappage un-un entre tous les points du plan complexe et tous les points de la surface de la sphère – à l’exception du sommet. Appelez le haut #oo # et laissez #CC_oo # représenter #CC uu{oo} #.
Ceci est un exemple simple de ce qu’on appelle une surface de Riemann. Des fonctions comme #f(z) =(az +b) /(cz +d) # peuvent alors être définies comme prenant la valeur #oo # lorsque #cz +d = 0 # et #f(oo) # peuvent être définies comme #a / c #. Alors la définition #f(z) # résultante est continue et différentiable à l’infini en tous points de #CC_oo #. Il a également la propriété de mapper des cercles en cercles (y compris ceux passant par #oo#).
(4) Cercle à l’infini.
Plutôt que de projeter du haut de la sphère, projeter du centre. Ceci définit une cartographie entre #CC# et la surface hémisphérique inférieure ouverte. Ajoutez l’équateur et vous avez un anneau d’infinis avec des angles polaires différents. Ceux qui correspondent à la ligne réelle sont # + oo # et #-oo #, mais il existe une inifinité complexe unique # oo (cos theta + i sin theta) # pour tout #theta dans [0, 2pi) #.
(5) Infinitésimaux.
À l’autre extrémité de l’échelle, que se passe-t-il si vous essayez d’ajouter des nombres infiniment petits. Eh bien, vous pouvez. C’est généralement un peu désordonné et a tendance à casser diverses choses, mais cela peut être utile.
(6) Champs finis.
(7) Anneaux.